1、會(huì)計(jì)學(xué)1條件概率與獨(dú)立性條件概率與獨(dú)立性第1頁(yè)/共95頁(yè) 事件A的概率：已知事件B發(fā)生的條件下，事件A的概率：vvAAPA樣本點(diǎn)數(shù)樣本點(diǎn)數(shù))()()(BPABPvvvvBABBABvBvABBAP樣本點(diǎn)數(shù)樣本點(diǎn)數(shù))|(第2頁(yè)/共95頁(yè)P(yáng)(AB)P(A|B)P(B)vvAAPA樣本點(diǎn)數(shù)樣本點(diǎn)數(shù))(BABvBvABBAP樣本點(diǎn)數(shù)樣本點(diǎn)數(shù))|(方法1： 用原樣本空間計(jì)算條件概率方法2：用新樣本空間B計(jì)算條件概率第3頁(yè)/共95頁(yè)說(shuō)明： 條件概率也是概率 條件概率滿足概率性質(zhì)：利用條件概率的定義，推出P(AB)與P(A) 的大小關(guān)系。ABP(A B)P(A)P(AB)P(A)ABAP(A B)P(A)P

2、(B)P(B)BAP(A B)P(A)P(AB)P(B)ABBP(A B)1P(A)P(B)P(B) AB0P(A B)P(A)P(AB)P()P(A)P(A B)0P(B)P(B) 若第4頁(yè)/共95頁(yè)條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)1、非負(fù)性、非負(fù)性 對(duì)任一事件B，必有P(B|A) 02、規(guī)范性、規(guī)范性 3、可加性、可加性1)()(1)(AAPAPABPBA特別地，則若1121)()(,kkkknABPABPBBB則件，為一列兩兩互不相容事，若常用P(B A)1P(B A)第5頁(yè)/共95頁(yè)一個(gè)家庭中有二個(gè)小孩，已知其中有一個(gè)是女孩，問(wèn)這時(shí)另一個(gè)小孩也是女孩的概率為多大（假定一個(gè)小孩是男還是女是等

3、可能的）？解解 樣本空間=(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女) A=已知有一個(gè)是女孩=(男,女)，(女,男)，(女,女) B=另一個(gè)也是女孩=(女，女)則314/34/1)()()(APABPABP第6頁(yè)/共95頁(yè)P(yáng)(AB)P(B)0.4P(B|A)0.5P(A)P(A)0.8第7頁(yè)/共95頁(yè)11691210261221012211C C6 93P(A )P10 95P6 51P(A A )P10 93P(A A )5P(A |A )P(A )9第8頁(yè)/共95頁(yè)215P(A |A )9第9頁(yè)/共95頁(yè)第10頁(yè)/共95頁(yè)121312n12n 11231212n 1n111212n 11

4、2n 1n P(A )P(A |A )P(A |A A )P(A |A AA)P(A A A )P(A A )P(A AAA )P(A )P(A )P(A A )P(A AA)P(A AAA )第11頁(yè)/共95頁(yè)一批產(chǎn)品的次品率為，正品中一等品率為75，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意取一件，試求恰好取到一等品的概率。 解解72. 075. 096. 0)()()()(75. 0)(,96. 0)(,04. 0)(BAPBPBAPAPBAABABAPBPBPBBA故則取到正品取到次品，取到一等品第12頁(yè)/共95頁(yè)1213121334333318第13頁(yè)/共95頁(yè)1122P(B )0.92 P(B )0.93

5、 P(B |B )0.85第14頁(yè)/共95頁(yè)11221221221122P(B B )P(B (B )P(BB B )P(B)P(B B )P(B )P(B )P(B |B )0.930.08 0.850.862 第15頁(yè)/共95頁(yè)對(duì)某種產(chǎn)品要依次進(jìn)行三項(xiàng)破壞性試驗(yàn)。已知產(chǎn)品不能通過(guò)第一項(xiàng)試驗(yàn)的概率是；通過(guò)第一項(xiàng)而通不過(guò)第二項(xiàng)試驗(yàn)的概率是；通過(guò)了前兩項(xiàng)試驗(yàn)卻不能通過(guò)最后一項(xiàng)試驗(yàn)的概率是。求該產(chǎn)品未能通過(guò)破壞性試驗(yàn)的概率。解：解：設(shè)A為題設(shè)所求事件，Ai=產(chǎn)品未能通過(guò)第i項(xiàng)破壞性試驗(yàn) i=1,2,3 顯然A=A1A2A3123121312P(A) 1 P(A) 1 P(AA A )1 P(A )

6、P(A A )P(A AA )1 0.7 0.8 0.90.496 故 121312121312P(A )0.3P(A A )0.2P(A A A )0.1P(A )0.7P(A A )0.8P(A A A )0.9第16頁(yè)/共95頁(yè)例例9 一批零件共100個(gè)，次品率為1。每次從其中任取一個(gè)零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。解解9890)(999)(10010)()(. 3 , 2 , 1213121321AAAPAAPAPAAAPiiAi顯然則所求概率為，次取出的零件是次品第設(shè)123121312P A A AP AP A AP A A A109900.008410099

7、98第17頁(yè)/共95頁(yè) 一個(gè)人依次進(jìn)行四次考試，他第一次考試及格的概率為p(0p0，A與B獨(dú)立 P(B|A)=P(B)P(AB)=P(A)P(B|A) 由A、B獨(dú)立，有 P(AB)=P(A)P(B) P(A)0，P(B|A)=P(B) (2) (2) P(B)0， A與B獨(dú)立 P(A|B)=P(A) P(AB)=P(B)P(A|B) 由A、B獨(dú)立，有 P(AB)=P(A)P(B) P(B)0，P(A|B)=P(A)第46頁(yè)/共95頁(yè)A, B; A, B; A, B; A, B P ABP AABP AP ABP AP A P BP A 1 P BP A P B又A 、B第47頁(yè)/共95頁(yè) BP

8、APBAPBA相互獨(dú)立，、 P ABP BABP BP ABP BP AABP BP AP ABP BP AP A P BP BP A1P BP BP A P BP B 1P AP B P A又 相互獨(dú)立。、所以BA BPAPBAPBA相互獨(dú)立，、 P ABP AABP AP ABP AP A P BP A 1 P BP A P B又相互獨(dú)立。、所以BA第48頁(yè)/共95頁(yè) BPAPBAPBA相互獨(dú)立，、 P ABP AABP AP ABP AP BAB又 APBPBPAPBPAPAPAPBPAPBPAPBPAPBAPBPAP11所以，A、B事件相互獨(dú)立。第49頁(yè)/共95頁(yè)ABABABBB或第5

9、0頁(yè)/共95頁(yè) 甲、乙同時(shí)向一敵機(jī)炮擊，已知甲擊中敵機(jī)的概率為，乙擊中敵機(jī)的概率為，求敵機(jī)被擊中的概率。 記。敵機(jī)被擊中，乙擊中敵機(jī)，甲擊中敵機(jī) P CP ABP AP BP ABP AP BP A P B0.60.50.60.50.8第51頁(yè)/共95頁(yè)2nC3nCnnC第52頁(yè)/共95頁(yè)設(shè)某型號(hào)的高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率為，現(xiàn)在用此型號(hào)的炮若干門(mén)同時(shí)各發(fā)射一發(fā)炮彈，問(wèn)至少需要設(shè)置幾門(mén)高射炮才能以不小于的概率擊中來(lái)犯的敵機(jī)（可以認(rèn)為各門(mén)高射炮的射擊相互獨(dú)立）？ 設(shè)需要設(shè)置的高射炮數(shù)為n 令A(yù)i=第i門(mén)炮擊中敵機(jī) (i=1,2,n) A=敵機(jī)被擊中 則有 A=A1A2An 求n使得 P(

10、A)=P(A1A2An第53頁(yè)/共95頁(yè)12n12n12nn即得P(A)1P(A1P AAA1P A AA1P(A P(A )P(A )10.40.99 ) = lg 0.012n5.026lg 0.40.3979故至少需要設(shè)置6門(mén)高射炮。第54頁(yè)/共95頁(yè)第55頁(yè)/共95頁(yè)第56頁(yè)/共95頁(yè))2( )1)(1 (1 )(1)(1 1)()(1 ) (1)(1)(1nnnnrrrrBPAPBPAPBAPBAPBAPR第57頁(yè)/共95頁(yè)iiiiiii2iiP(C )P(AB )1 P(AB )1 P(A B ) 1 P(A )P(B )1 (1 r)r(2r) 212n12nnnRP(C CC

11、)P(C )P(C )P(C ) r (2r)f (r)f (r)0第58頁(yè)/共95頁(yè)第59頁(yè)/共95頁(yè)第60頁(yè)/共95頁(yè)D = 至多只有 1 臺(tái)機(jī)需要照管 P(D ) = P(AB C) + P(A BC) + P(ABC) + P(A B C) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) = 0.876P(D) = 1 - P(D) = 1 - 0.876 = 0.124第61頁(yè)/共95頁(yè)第62頁(yè)/共95頁(yè) n n重伯努利重伯努利( ( Bernoulli )Bernoulli )試驗(yàn)試驗(yàn) 如果每次試驗(yàn)的可能結(jié)

12、果只有兩種，即只有兩個(gè)可能事件A與，且 P(A)=p，P()=1-p=q則這n重獨(dú)立試驗(yàn)又稱為n重伯努利( Bernoulli )試驗(yàn)，或稱伯努利概型。 第63頁(yè)/共95頁(yè)試驗(yàn)試驗(yàn)11電腦故障電腦故障 某電腦公司售出200臺(tái)電腦，公司在考慮售后服務(wù)維修人員的安排時(shí)需處理P(A)=p，n=200的伯努利試驗(yàn)問(wèn)題。其中p是電腦故障率。試驗(yàn)試驗(yàn)22疾病發(fā)生疾病發(fā)生 某疾病的發(fā)生率為。當(dāng)衛(wèi)生部門(mén)要對(duì)一個(gè)擁有5000名員工的單位估計(jì)此種疾病的發(fā)病情況時(shí)，需用p= 的n重伯努利試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，其中n=5000。第64頁(yè)/共95頁(yè)試驗(yàn)試驗(yàn)3產(chǎn)品抽樣產(chǎn)品抽樣 在產(chǎn)品抽驗(yàn)中，如果采用不放回方式抽取n次(每次取一件產(chǎn)品

13、)，那么這n次試驗(yàn)就不是重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)(此時(shí)，每次試驗(yàn)條件不完全重復(fù)，每次抽取正品的概率也不相等)。 但是，如果采用放回抽樣，即每次抽取檢查后放回，這樣所作的n次試驗(yàn)就是重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)。第65頁(yè)/共95頁(yè) 在實(shí)際問(wèn)題中，完全滿足n重獨(dú)立試驗(yàn)的兩個(gè)條件是不多見(jiàn)的，常常是近似滿足條件，此時(shí)，可用 n重獨(dú)立試驗(yàn)來(lái)近似處理。例如，以抽樣問(wèn)題為例，當(dāng)產(chǎn)品數(shù)量很大時(shí)，相對(duì)來(lái)說(shuō)，抽取的產(chǎn)品件數(shù)n很小，即使所作的是無(wú)放回抽取，我們可以近似地當(dāng)作有放回抽取，近似地把它看成是n重獨(dú)立試驗(yàn)（此時(shí)，每次試驗(yàn)出現(xiàn)正品的可能性相等）。第66頁(yè)/共95頁(yè)2235C 0.8 (10.8)第67頁(yè)/共95頁(yè)第68頁(yè)/共95頁(yè)kkn

14、-knnP (k) = C p q (q1 pP(A),k = 0,1,2,n) 式中knC 也作b(k,n,p)可表。第69頁(yè)/共95頁(yè)再由試驗(yàn)結(jié)果的獨(dú)立性得 P(A1A2Akk+1n) =P(A1)P(A2)P(Ak)P(k+1)P(n) =pk(1 - p)n-k =pkqn-k n重貝努利試驗(yàn)中出現(xiàn)k 次的方式就是至n的n個(gè)自然數(shù)中取出 k個(gè)數(shù)的一種組合，即共有 個(gè)事件。而這些事件是兩兩互斥的，故 （k=0,1,2,n) kknknnP (k)C p qknC第70頁(yè)/共95頁(yè)注：注：1)1)由于上式剛好是二項(xiàng)式(p+q)n的展開(kāi)式中第k+1項(xiàng) 的系數(shù)，故我們把它稱為二項(xiàng)概率公式。 顯

15、然： 2) 也被記作b(k,n,p) nnnkkn knnk 0k 0PkC p qpq1kkn knC p q第71頁(yè)/共95頁(yè) 例例2626 某車(chē)間有臺(tái)車(chē)床，每臺(tái)車(chē)床由于種種原因，時(shí)常需要停車(chē)，設(shè)各臺(tái)車(chē)床的停車(chē)或開(kāi)車(chē)是相互獨(dú)立的，若每臺(tái)車(chē)床在任意時(shí)刻處于停車(chē)狀態(tài)的概率為1/3，求任意時(shí)刻車(chē)間里有臺(tái)車(chē)床處于停車(chē)狀態(tài)的概率。解解 把任一時(shí)刻對(duì)一臺(tái)車(chē)床的觀察看成是一次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果只有停車(chē)或開(kāi)車(chē)兩種可能，且各車(chē)床的停車(chē)或開(kāi)車(chē)是相互獨(dú)立的，故我們可用二項(xiàng)概率公式計(jì)算，得 212-22121211P2= C1 -0.127233 第72頁(yè)/共95頁(yè)97. 0)8 . 01 (8 . 0)(k10(1

16、06101010610106kkkkkkCkPP個(gè)人被治愈”）人中恰好有“第73頁(yè)/共95頁(yè) 這個(gè)結(jié)果說(shuō)明：這個(gè)結(jié)果說(shuō)明： 服用此藥，人中至少有人被治愈的可能性是很大的。 反之，沒(méi)有人以上被治愈的事很少會(huì)發(fā)生（概率為 ）。 如果我們做一次這樣的試驗(yàn)，結(jié)果沒(méi)有人以上被治愈，我們應(yīng)當(dāng)對(duì)此藥的“治愈率為 ”的說(shuō)法表示懷疑。 小概率事件不可能在一次試驗(yàn)中發(fā)生的原理是假設(shè)檢驗(yàn)的理論根據(jù)。第74頁(yè)/共95頁(yè)第75頁(yè)/共95頁(yè)444488P(B )= P(4)= C p (1-p)第76頁(yè)/共95頁(yè)作業(yè)：作業(yè)：P33363、6、12、15、20、22第77頁(yè)/共95頁(yè)P(yáng)(B|A)0.98 P(B|A)0.9

17、9 P(A)0.03第78頁(yè)/共95頁(yè)P(yáng)(AB)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.03 0.980.75200.03 0.980.97 0.01P(AB)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.03 0.020.00060.03 0.020.97 0.99第79頁(yè)/共95頁(yè)第80頁(yè)/共95頁(yè)第81頁(yè)/共95頁(yè)P(yáng)(A|C)0.04 P(A|C)0.06112233P(C)P(B )P(C|B )P(B )P(C|B )P(B )P(C|B )120112117 0.77423253 16322第82頁(yè)/

18、共95頁(yè)P(yáng)(AC)P(C)P(A|C)P(C|A)P(A)P(A)0.7742 (1 0.04) 0.98210.7568P(A)P(C)P(A|C)P(C)P(A|C) 0.7742 (1 0.04)0.2258 0.060.7568第83頁(yè)/共95頁(yè)作業(yè)講解作業(yè)講解4. 解解相互獨(dú)立。與CBABAPCPBPAPBPAPCPCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACPBCACPBCACCBA)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(第84頁(yè)/共95頁(yè)5. 解解3 . 04 . 02001506 . 0100)()(4 . 0)(6 . 0)()()()(

19、1)(1)()(3 , 2 , 12131211213121321321yxyxyAAAPxAAPAPAPAAAPAAPAPAAAPAAAPAPiiAAi則設(shè)次擊中目標(biāo)射手第射手擊中目標(biāo)832. 07 . 06 . 04 . 01)(7 . 0)(6 . 0)(3 . 0)(4 . 0)(2131221312APAAAPAAPAAAPAAP第85頁(yè)/共95頁(yè)6. 解解A=點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù) B=點(diǎn)數(shù)之和等于818536/1836/5)()()()()()4 , 4()3 , 5()5 , 3( , )2 , 6( , )6 , 2(18APBPAPABPABPBrA，第86頁(yè)/共95頁(yè)7. 解解

20、設(shè)Ai=第i人破譯出密碼 i=1,2,3123123123123111P(A ),P(A ),P(A )534P(AAA )1 P(A A A )1 P(A )P(A )P(A )42315340.6 第87頁(yè)/共95頁(yè)8. 解解10110/110/110/13443, 4)()()() 1 (221121PPPPAPABPABP)4 , 3(),3 , 4(),2 , 5(),5 , 2(),1 , 6(),6 , 1(761100/6100/17100/1)()()()2(2121其中PBPABPBAP第88頁(yè)/共95頁(yè)13. 解解A=產(chǎn)品為正品B=產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)為正品0545. 005. 09 . 095. 001. 0)()()()()() 1 (99. 0)(9 . 0)(95. 0)(APABPAPABPBPABPABPAP1743. 00545. 095. 001. 0)()()()()()()2(BPAPABPBPBAPBAP第89頁(yè)/共95頁(yè)15 . 解解 A=被診斷患有肺癌 B=確實(shí)患有肺癌P(A)P(A B)P(B)P(A B)P(B)0.98 0.030.01 0.970.0391P(A B)P(B)P(AB)P(B A)P(A)P(A)0.98 0.030.75190.0391P(A B)P(B)P(AB)P(B A)P(A)P(A)0.02