1、第三章第三章 量子力學(xué)初步量子力學(xué)初步 1、微觀粒子的波粒二象性微觀粒子的波粒二象性 2 2 、測不準(zhǔn)原理、測不準(zhǔn)原理 3、波函數(shù)及其物理意義、波函數(shù)及其物理意義 4、薛、薛定諤波動方程定諤波動方程 5、 量子力學(xué)問題的幾個簡例量子力學(xué)問題的幾個簡例 6、量子力學(xué)對氫原子的描述、量子力學(xué)對氫原子的描述1900年，普朗克，黑體輻射，輻射能量量子化1905年，愛因斯坦，光電效應(yīng)，光量子1913年，玻爾，氫原子光譜，量子態(tài)3.1 微觀粒子的波粒二象性微觀粒子的波粒二象性一、光的波粒二象性一、光的波粒二象性 1672年，牛頓，光的微粒說 1678年，惠更斯，光的波動說 19世紀(jì)末，光是一種電磁波 20

2、世紀(jì)初，光量子 hphE -光的波粒二象性 ,E Pv二、德布羅意關(guān)系式二、德布羅意關(guān)系式 微觀粒子和光子一樣，在一定的條件下顯示出波 動性。具有一定能量E和一定動量p的自由粒子，相當(dāng)于具有一定頻率和一定波長的平面波，二者之間的關(guān)系為：EknhphE hp -德布羅意關(guān)系式。與實(shí)物粒子相應(yīng)的波稱為德布羅意波或物質(zhì)波，稱為德布羅意波長。德布羅意關(guān)系式還可以寫成 式中， ：角頻率； ：傳播方向上的單位矢量2n適用條件：適用條件：(1)(1)電子，電子，(2)(2)非相對論非相對論(U(U不能太大不能太大) )。 220/1cmmm1eUm221)(225. 12/2VUnmemUhmeUmhnk2

3、sJh3410054588. 12：波矢量mhph粒子的德布羅意波長：1當(dāng) 時，2當(dāng) 時， omm經(jīng)過電場加速的電子： cc三、德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證三、德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 1927年，戴維遜和革末，電子衍射實(shí)驗(yàn)，測量了電子波的波長，證實(shí)了德布羅意假設(shè)。1實(shí)驗(yàn)裝置 2實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果(1)當(dāng)U不變時，I與的關(guān)系如圖不同的，I不同；在有的上將出現(xiàn)極值。(2)當(dāng)不變時，I與U的關(guān)系如圖當(dāng)U改變時，I亦變；而且隨了U周期性的變化3實(shí)驗(yàn)解釋 晶體結(jié)構(gòu)：當(dāng) 時加強(qiáng)-布拉格公式。 ndsin22)12(sin2nnd波程差：實(shí)驗(yàn)證明了電子確實(shí)具有波動性，也證明了德布羅意公式的正確性。并進(jìn)一步證明：一切

4、實(shí)物粒子(電子、中子、質(zhì)子等都具有波動性。 )(225. 1VUnm2 , 1n 可見，當(dāng)、滿足此式時，測得電流的極大值。 對于通過電壓U加速的電子：當(dāng)U不變時，改變，可使某一滿足上式，出現(xiàn)極大值 當(dāng)不變時，改變U，可使某一U滿足上式，出現(xiàn)極大值。觀測到的量子圍欄量子圍欄（quantum corral） M.F.Crommie-1993 3.2 測不準(zhǔn)原測不準(zhǔn)原理理2dx sinppxppxsinxd2sinxppx2hppxx22/hpxx一、電子的單縫衍射(1961年，約恩遜成功的做出)sind電子以速度沿著y軸射向A屏，其波長為 ，經(jīng)過狹縫時發(fā)生衍射，到達(dá)C屏。第一級暗紋的位置：hpx方

5、向上，粒子坐標(biāo)的不確定度為又粒子動量的不確定度為 2/hpxx狹縫對電子束起了兩種作用：一是將它的坐標(biāo)限制在縫寬d的范圍內(nèi)，一是使電子在坐標(biāo)方向上的動量發(fā)生了變化。這兩種作用是相伴出現(xiàn)的，不可能既限制了電子的坐標(biāo)，又能避免動量發(fā)生變化。如果縫愈窄，即坐標(biāo)愈確定，則在坐標(biāo)方向上的動量就愈不確定。因此，微觀粒子的坐標(biāo)和動量不能同時有確定的值。0 xxp/ 2xxph 1927年，海森堡首先推導(dǎo)出不確定關(guān)系：2/xpx2/ypy2/zpz2/p2/tE二、不確定關(guān)系二、不確定關(guān)系三、討論三、討論1不確定關(guān)系只適用于微觀粒子不確定關(guān)系只適用于微觀粒子 2例1： 設(shè)電子與 的子彈均沿x方向運(yùn)動， ， 精

6、確度為 ，求測定x 坐標(biāo)所能達(dá)到的最大準(zhǔn)確度。kgm01. 0smx/500%01. 0smsmx/105/10500242/xpxxxmpx/電子：子彈：mmx3 . 2mx31101 . 22/tE0.00.51.01.52.0051015202530 Intensity (arb.units)Time (ms)0.00.51.01.52.0051015202530 Intensity (arb.units)Time (ms)3.3 波函數(shù)及其物理意義波函數(shù)及其物理意義時間后，波面?zhèn)鞯紸B，其上任一點(diǎn)P的振動和時間前AB上任一點(diǎn)O的振動相同： 2costao一、波函數(shù)一、波函數(shù)自由粒子 平

7、面波設(shè)一平面波沿速度 的方向傳播，該方向的單位矢量為 ，即 ， 時刻，波面AB上O點(diǎn)的振動：vnvvntnrrcosOPr ) t (2cosnra) t (2nripAe沿 方向傳播的、波長為、頻率為的平面簡諧波方程。)(2costap歐拉公式： 取“”cossiniein用波方程來描寫實(shí)物粒子，根據(jù)德布羅意關(guān)系：hE nhp)(prEtipAe 自由粒子的波函數(shù)，描寫動量為自由粒子的波函數(shù)，描寫動量為 、能量為、能量為E E的自由粒子。的自由粒子。p經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué) 位置和速度位置和速度 量子力學(xué)量子力學(xué) 波函數(shù)波函數(shù)波函數(shù)體現(xiàn)了波粒二象性，其中的波函數(shù)體現(xiàn)了波粒二象性，其中的E E和和

8、是描寫粒子性是描寫粒子性的物理量，卻處在一個描寫波的函數(shù)中。的物理量，卻處在一個描寫波的函數(shù)中。p 二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋電子衍射的強(qiáng)度分布圖 用粒子的觀點(diǎn)，極大值處用粒子的觀點(diǎn)，極大值處意味著到達(dá)的電子多，極小意味著到達(dá)的電子多，極小值處意味著到達(dá)的電子少。值處意味著到達(dá)的電子少。 從波的觀點(diǎn)來看，極大值處從波的觀點(diǎn)來看，極大值處表示波的強(qiáng)度大，極小值處表示波的強(qiáng)度大，極小值處表示波的強(qiáng)度小。表示波的強(qiáng)度小。 玻恩的觀點(diǎn)就能將粒子和玻恩的觀點(diǎn)就能將粒子和波的概念統(tǒng)一起來。波的概念統(tǒng)一起來。波函波函數(shù)數(shù)代表發(fā)現(xiàn)粒子的幾率代表發(fā)現(xiàn)粒子的幾率 干涉圖像的出現(xiàn)體現(xiàn)了干涉圖像的出現(xiàn)體

9、現(xiàn)了微觀粒子的共同特性，而且微觀粒子的共同特性，而且它并不是由微觀粒子相互作它并不是由微觀粒子相互作用產(chǎn)生的而是個別微觀粒子用產(chǎn)生的而是個別微觀粒子屬性的集體貢獻(xiàn)屬性的集體貢獻(xiàn) 表示t時刻、（x、y、z）處、單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。 2),(tzyx 即波的強(qiáng)度表示t時刻、（x、y、z）處發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度。如果 大，則電子出現(xiàn)幾率大，因而電子出現(xiàn)的目也多，此處為衍射極大值處；反之，如果 小，則電子出現(xiàn)幾率小，電子出現(xiàn)的數(shù)目也少，此處為衍射極小值處。 2),(tzyx2),(tzyx2),(tzyxt時刻、xx+dx、yy+dy、zz+dz、的體元 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率：dxdydzdV dVt

10、zyxtzyxdW2),(),(*),(2tzyxW 表示t時刻、（x、y、z）處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度。1.波恩的波函數(shù)幾率解釋是量子力學(xué)基本原理之一2.經(jīng)典波振幅是可測量，而波函數(shù)是不可測量，可測是幾率3.單縫、雙縫干涉實(shí)驗(yàn)在1961年前是假想實(shí)驗(yàn)討討 論論 2歸一化條件由于粒子總在空間某處出現(xiàn)，故在整個空 間出現(xiàn)的總幾率應(yīng)當(dāng)為1：1),(2dVtzyx三、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件及歸一化三、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件及歸一化1波函數(shù)必須單值、有限、連續(xù)。 單值：在任何一點(diǎn)，幾率只能有一個值。 有限：幾率不能無限大。 連續(xù)：幾率一般不發(fā)生突變。STM 觀測到的量子圍欄量子圍欄（quantum corral） M

11、.F.Crommie-1993 對x、y、z分別求二次偏導(dǎo)：)()(zyxzpypxpEtiprEtipAeAeppEitppEtipxppixpxpxppxpix2222pyppiypypyppypiy2222pzppizpzpzppxpiz22225.4 薛定諤薛定諤波動波動方程方程一、薛定諤方程的建立一、薛定諤方程的建立1自由粒子的薛定諤方程自由粒子的薛定諤方程對t求一次偏導(dǎo)：自由粒子的薛定諤方程。 pzyxppppppzyx)(122222222222222222zyxppp22222122pEpppE22ppti222三者相加：拉普拉斯算符：自由粒子: ),(22trUpE則有： 處

12、在以勢能表征的力場中的微觀粒子所滿足的運(yùn)動方程，稱之為薛定諤方程),(222trUti2一般粒子的薛定諤方程一般粒子的薛定諤方程222pEhv),tr（),tr（),( trUF一般粒子常受到力場的約束，用 表示力場，則粒子在力場中受到的力為： ，假設(shè)假設(shè)處于這種處于這種力場中的微觀粒子的波函數(shù)為力場中的微觀粒子的波函數(shù)為 ，假設(shè) 仍滿足方程： 但此時 ,Ur tEti),(22trUpEE為一常數(shù))(222rUti)()(),(tfrtrErrUrdttdftfi)()(2)(1)()(22)()()(222rErrU)(rU二、定態(tài)薛定諤方程二、定態(tài)薛定諤方程能量不隨時間變化的狀態(tài)稱為定態(tài)

13、。設(shè)作用在粒子上的力場不隨時間改變，即勢能 中不顯含時間t，將其代入方程：波函數(shù)分離變量： )()(tEfdttdfiEdtitftdf)()(Etiertr)(),()(*)()(*)(),(*),(rrerertrtrEtiEtiEtiCetf)(解出：定態(tài)波函數(shù)1定態(tài)中E不隨時間變化，粒子有確定的能量2定態(tài)中粒子的幾率密度不隨時間變化)()()(222rErrU3 定態(tài)薛定諤方程)()(zyxzpypxpEtiprEtipAeAennnc如果 、是方程的解，那么它們的的線性組合 也是方程的解， 為任意常數(shù)。即如果 、是體系可能的狀態(tài)，那么它們的的線性組合 也是體系一個可能的狀態(tài) n2nn

14、nnncccc2211ic12n14態(tài)迭加原理),(trU3具體的勢場 決定粒子狀態(tài)變化的情況，如果給出勢能函數(shù) 的具體形式，只要我們知道了微觀粒),(trU三、薛定諤方程的討論三、薛定諤方程的討論ttr),(),(trU),(tr1薛定諤方程描述了微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài) 在勢場 中隨時間變化 的規(guī)律。2薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它不能從更基本的假設(shè)中推導(dǎo)出來。它的正確性只有通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相一致來得到證明。 子初始時刻的狀態(tài) 。原則上說，只要通過薛原則上說，只要通過薛定諤方程，就可以求出任意時刻的狀態(tài)定諤方程，就可以求出任意時刻的狀態(tài) 。),(tr),(00tr5在薛定諤方程的建立中，應(yīng)用了

15、 ，所 ),(22trUpE2),(tr),(tr),( tr4薛定諤方程中有虛數(shù)單位i，所以 一般是復(fù)數(shù)形式。 表示概率波， 是表示粒子在時刻t、在空間某處出現(xiàn)的概率。因而薛定諤方程所描述的狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律，是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。以是非相對論的結(jié)果；同時方程不適合一切 的粒子，這是方程的局限性。0例1：一個粒子在如圖所示的勢場中運(yùn)動，它的勢能為 這種勢場稱為一維無限深勢阱。在一維無限深勢阱中粒子如何運(yùn)動？它的波函數(shù)如何？能量如何？ 0)(xUaxxax, 00 222dxd解：由于粒子做一維運(yùn)動，所以有 )(xU 由于勢能中不顯含時間，故用定態(tài)薛定諤方程求解。Etiextx)(),(方程的解為

16、定態(tài)解)()()()(2222xExxUdxxd因此一維定態(tài)薛定諤方程為axx , 0U0)(xaxx , 0(1) 所以波函數(shù)為零，即粒子不可能跑到阱外去，ax 00UEdxd2222(2) 時， ， 方程為2222Edxd22EK0222Kdxd 令 0cossin)(KxBKxAxaxxax, 00二階齊次微分方程，它的通解為KxBKxAxcossin)(式中A、B為兩常數(shù)。 )()()()(2222xExxUdxxd2常數(shù)的確定及能量量子化根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，波函數(shù)應(yīng)連續(xù)，0 x00cos) 0( B0B ax 0sin)(KaAa0A0sinKanKa 3 , 2 , 1n0n，(

17、 ？)xanAxsin)(0n0)(x當(dāng)時，表明幾率處處恒為0，即不存在粒子，這是不可能的。0cossin)(KxBKxAx波函數(shù)的歸一化： 0sin2)(xanaxaxxax, 00 aA2122aAdxxanAdxa0222sin1 22EanKanE2222 能量是量子化的 3討論討論(1)能量不能任意取值，束縛在一維無限深勢阱中的粒子的能量是量子的。這是由薛定諤方程加上標(biāo)準(zhǔn)條件自然地導(dǎo)出的，不用再做量子化的假定。(2)波函數(shù)的物理意義處在不同能級的粒子，在勢阱中的幾率分布不同。(3)實(shí)際意義：金屬內(nèi)的自由電子，可看成在勢阱中運(yùn)動的粒子。 例2 勢壘貫穿勢壘貫穿粒子受到的勢能為： 00)

18、(1UxU22110 xxxxxxx1UE 計(jì)算粒子在三個區(qū)出現(xiàn)的幾率。粒子具有的能量為E，123 解：設(shè)粒子在I、II、III區(qū)的波函數(shù)分別為 ，它們滿足的薛定諤方程為：122122Edxd221222)(2EUdxd322322Edxd 2212EK2122)(2EUK令 121212Kdxd222222Kdxd323232Kdxd 方程的解為：)sin(1111xKAxKeB222)sin(3133xKA根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)條件和歸一化條件可以確定常數(shù)，結(jié)果如圖： 1UE 可見，雖然， 粒子仍可以穿過II區(qū)進(jìn)入III區(qū)，這種貫穿勢壘的效應(yīng)稱為隧道效應(yīng)。粒子從I區(qū)到III區(qū)的幾率為DEUe)(

19、221EUxxD112 掃描隧道顯微鏡掃描隧道顯微鏡(Scanning Tunneling MicroscopySTM)STM原理原理 . 0.1nm, 0.01nm)exp(2/1SAVIT1986年，賓尼博士和羅雷爾與發(fā)明電子顯微鏡的魯斯卡獲諾貝爾物理學(xué)獎。 5.5 氫原子的量子力學(xué)處理氫原子的量子力學(xué)處理一、氫原子的薛定諤方程一、氫原子的薛定諤方程電子在原子核的庫侖場中運(yùn)動： reU024定態(tài)薛定諤方程： )()(420222rErre氫原子問題是球?qū)ΨQ問題，通常采用球坐標(biāo)系： cossinrx sinsinry cosrz )(1222rrrr)(sinsin12r2222sin1r氫

20、原子在球坐標(biāo)下的定態(tài)薛定諤方程： )(12222rrrr)(sinsin12rsin12222rEre024),(r二、分離變量二、分離變量1 ),()(),(YrRr代入方程，并用 乘以兩邊： ),()(/2YrRr2202222422)(1rrerEdrdRrdrdRsin1)(sinsin11222YYY是一個與 無關(guān)的常數(shù)。 , r徑向方程徑向方程：0422)(12202222RrRreREdrdRrdrdr角方程角方程：YYY222sin1)(sinsin12 )()(),(YYYY222sin1)(sinsin1代入方程，并 用乘以兩邊： )()(/sin22221sin)(sin

21、sinddddd是一個與 無關(guān)的常數(shù)。 ,0)sin()(sinsin12dddd022d三、 三方程的解R,1 方程的解022d2m0222md方程的解為：imAe)(波函數(shù)單值： )2()(2)2(imimimimeAeAeAe12sin2cos2mimeim3, 2, 1, 0m波函數(shù)歸一化：12*220220AdAd21Aime21)(3, 2, 1, 0m2 方程的解0)sin()(sinsin122mdddd關(guān)聯(lián)勒讓德方程。求解過程中發(fā)現(xiàn)，為了得到符合波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件的解，必須對 和 加以限制：m) 1( ll3 , 2 , 1 , 0lml 3, 2, 1, 0m方程的解為關(guān)聯(lián)勒讓

22、德多項(xiàng)式： )(cos)(mllmlmPB3 , 2 , 1 , 0l3, 2, 1, 0m)!(2) 12()!(mllmlBlmlmlmlmlmlxdxdxlxP) 1()1 (!21)(222cosx)(cos)(mllmlmPB)!(2) 12()!(mllmlBlmlmlmlmlmlxdxdxlxP) 1()1 (!21)(2220l2100B0m100P21001l1m2310Bcos01Pcos23101l0m4311Bsin11Psin43112l0m2520B) 1cos3(21202P) 1cos3(852203 方程的解R0) 1()4(2)(1202222RrllreE

23、drdRrdrdr關(guān)聯(lián)拉蓋爾方程，方程的解為關(guān)聯(lián)拉蓋爾多項(xiàng)式)()(1212lnlnlnlLeCR02nar102112!)!12()!1()!() 1()(lnkkkllnkklklnlnL330)!(2)!1()2(lnnlnnaCnl3 , 2 , 1n12 , 1 , 0nl22004mea 玻爾半徑只要給出了 、 的一對具體的數(shù)值，就可以得到一個満足標(biāo)準(zhǔn)條件的解。 nl四、四、H原子的波函數(shù)原子的波函數(shù))()()(),(,mlnlnmlnrRr3 , 2 , 1n12 , 1 , 0nllm3, 2, 1, 0對應(yīng)一組量子數(shù) ，就能給出 波函數(shù)的一個具體形式，因此 確定了原子的狀態(tài)。

24、mln ,),(,rmlnmln ,當(dāng) 時， 取任何值都能使R滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的 解。所以正值的能量是連續(xù)的，相當(dāng)于自由電子 與H+離子結(jié)合為原子時釋放的能量。 0EE5.6 量子力學(xué)對氫原子運(yùn)動狀態(tài)的描量子力學(xué)對氫原子運(yùn)動狀態(tài)的描繪繪mln ,一、量子數(shù) 的物理意義n1主量子數(shù) 與能量量子化0E224202)4(1nmeEn3 , 2 , 1n當(dāng) 時， 能量是量子化的，自然得出。 2角量子數(shù) 和角動量角子化 角動量是量子化的，自然得出。 舊量子論： 當(dāng)角動量很大時， ， ，二者一致， 所以玻爾理論給出了近似的結(jié)果。l) 1( llL12 , 1 , 0nlnp nn2 , 11 ll) 1( l

25、L 3磁量子數(shù) m 和空間量子化 個 角動量在外場方向的分量也是量子化的，即空間取 向量子化，自然得出。lzmL lml2, 1, 012 l由于薛定諤方程是非相對論的，沒有導(dǎo)出自旋量子數(shù) 和自旋磁量子數(shù) 。 ssm2( , , )( , , )nlmnlmrr 222)()()(mlmnlrR因此，在 附近、 內(nèi)找到電子的幾率為： 在球坐標(biāo)中 ，, rdVdVrnlm),(dVrRmlmnl222)()()(ddrdrdVsin2二、電子的幾率分布二、電子的幾率分布2)(m)(2lm)(2rRnl ：代表幾率隨角度的分布； ：代表幾率隨角度的分布； ：代表幾率隨矢徑的分布；dVrnlm),(1sin20*02022dddrrRmmlmnl歸一化：1)(022drrrRnl1sin02dlm120*dmmdddlmlm2)(21)(),(dddsinmlldd ， 之間的圓錐體的立體角 由 的值決定，對給定的 ，它有確定的值。 對不同的 、 ， 不同。lmlmmlm1幾率隨幾率隨角的分布角的分布21)()(*mm- 幾率密度的分布繞幾率密度的分布繞Z軸旋轉(zhuǎn)對稱軸旋轉(zhuǎn)對