1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)教學(xué)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)教學(xué)上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級(jí)數(shù)在其收存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以斂域內(nèi)以f(x)為和函為和函數(shù)數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: 1.如果能展開(kāi)如果能展開(kāi), 是什么是什么?na2.展開(kāi)式是否唯一展開(kāi)式是否唯一?3.在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?第1頁(yè)/共27頁(yè)證明證明即即內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010 內(nèi)具有任意階導(dǎo)在如果函數(shù)定理oxUxf 1 的冪級(jí)數(shù)內(nèi)能展開(kāi)成且在數(shù)ooxxxU,0nnonxxax

2、f即 , 2 , 1 !10nxfnann則其系數(shù)且展開(kāi)式是唯一的第2頁(yè)/共27頁(yè) )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的,.)(的展開(kāi)式是唯一的的展開(kāi)式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)第3頁(yè)/共27頁(yè)問(wèn)題問(wèn)題nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0

3、0 x的的麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) . . 處任意階可導(dǎo)則冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)如果0 xxf 泰勒級(jí)數(shù)稱為在點(diǎn)的000!nnnxxnxf定義定義第4頁(yè)/共27頁(yè) 0, 00,)(21xxexfx例如例如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)為的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)為. 0)(),( xs內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù)該級(jí)數(shù)在該級(jí)數(shù)在可見(jiàn)可見(jiàn)).()(,0 xfxfs于于的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂外外除除 在在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo)點(diǎn)任意可導(dǎo),第5頁(yè)/共27頁(yè)定理定理 2 2 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xU

4、 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .證明證明必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)設(shè)設(shè)xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 第6頁(yè)/共27頁(yè)充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒級(jí)數(shù)收斂于的泰勒級(jí)數(shù)收斂于 對(duì)上有定義，在設(shè)定理, 0 30MxUxf MxfRxRxxn恒有,00 內(nèi)可展在則，RxRxxfn00,),2 ,

5、 1 , 0(的泰勒級(jí)數(shù)開(kāi)成點(diǎn)0 x泰勒級(jí)數(shù)的開(kāi)成點(diǎn)0 x泰勒級(jí)數(shù)的開(kāi)成點(diǎn)0 x第7頁(yè)/共27頁(yè)證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收斂收斂在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故.0的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)可展成點(diǎn)可展成點(diǎn)x),(00RxRxx 第8頁(yè)/共27頁(yè)1.1.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)

6、間內(nèi)收第9頁(yè)/共27頁(yè)例例1解解.)(展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)將將xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx第10頁(yè)/共27頁(yè)例例2.sin)(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成展開(kāi)成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n

7、)()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x第11頁(yè)/共27頁(yè)例例3.)()1()(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成展開(kāi)成將將xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R第12頁(yè)/共27頁(yè)若若內(nèi)內(nèi)在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()

8、1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用第13頁(yè)/共27頁(yè))()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 第14頁(yè)/共27頁(yè)即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式注意注意: :.1的取值有關(guān)的取值有關(guān)處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(

9、1 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為;1 , 1(11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為.1 , 11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為第15頁(yè)/共27頁(yè)有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘第16頁(yè)/共27頁(yè)2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見(jiàn)展開(kāi)式利用常見(jiàn)展開(kāi)式, 通過(guò)通過(guò)變量代換變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分等方等方法法,求展開(kāi)式

10、求展開(kāi)式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn第17頁(yè)/共27頁(yè) xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn 1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x第18頁(yè)/共27頁(yè)例例4處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)在在將將141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成展開(kāi)成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x

11、第19頁(yè)/共27頁(yè)xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 第20頁(yè)/共27頁(yè)1.如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù);2.泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法.第21頁(yè)/共27頁(yè)思考思考題題什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)法？什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)法？第22頁(yè)/共27頁(yè)思考題解答思考題解答 從已知的展開(kāi)式出發(fā)從已知的展開(kāi)式出發(fā), 通過(guò)變量代換、四則運(yùn)通過(guò)變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦

12、法,求出給定函數(shù)求出給定函數(shù)展開(kāi)式的方法稱之展開(kāi)式的方法稱之.第23頁(yè)/共27頁(yè)一一、 將將下下列列函函數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,并并求求展展開(kāi)開(kāi)式式成成立立的的區(qū)區(qū)間間: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 將將函函數(shù)數(shù)3)(xxf 展展開(kāi)開(kāi)成成)1( x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,并并求求展展開(kāi)開(kāi)式式成成立立的的區(qū)區(qū)間間 . .三三、 將將 函函 數(shù)數(shù)231)(2 xxxf展展 開(kāi)開(kāi) 成成)4( x的的 冪冪 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) . .四四、 將將級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)成成)1( x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) . .練練 習(xí)習(xí) 題題第24頁(yè)/共27頁(yè)練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12() !()!2(21122 xxnnnxn