1、沙理工大數(shù)學與計算科學學院實驗報告實驗項目名稱使用黃金分割法確定步長的牛頓法所屬課程名稱最優(yōu)化方法實驗類型算法編程實驗日期201班級信學號姓名一、實驗概述：【實驗目的】(1)掌握Matlab數(shù)值計算的基本方法；(2)掌握最速下降法；(3)掌握黃金分割法確定步長?！緦嶒炘怼?.黃金分割法：一維搜索是解函數(shù)極小值的方法之一，其解法思想為沿某一已知方向求目標函數(shù)的極小值點。一維搜索的解法很多，這里主要采用黃金分割法(0.618法)。該方法用不變的區(qū)間縮短率0.618代替斐波那契法每次不同的縮短率，從而可以看成是斐波那契法的近似，實現(xiàn)起來比較容易，也易于人們所接受。黃金分割法是用于一元函數(shù)f(x)在

2、給定初始區(qū)間a,b內(nèi)搜索極小點xmin的一種方法。它是優(yōu)化計算中的經(jīng)典算法，以算法簡單、收斂速度均勻、效果較好而著稱，是許多優(yōu)化算法的基礎，但它只適用于一維區(qū)間上的凸函數(shù)，即只在單峰區(qū)間內(nèi)才能進行一維尋優(yōu)，其收斂效率較低。其基本原理是：依照“去劣存優(yōu)”原則、對稱原則、以及等比收縮原則來逐步縮小搜索區(qū)間。具體步驟是：在區(qū)間a,b內(nèi)取點：a1,a2把a,b分為三段。如果f(a1)f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+0.618*(b-a);如果f(a1)23+21=01=0618所謂的“黃金分率廠是指將一線段分成兩段的方.法，使整成K與較長段的長度比值等于較長段與較短段的比曲，即:A=A:

3、(-A)算法流程圖：圖12.牛頓法：設f(x)是二次可微實函數(shù)，xkwRn,Hesse矩陣bf(xk)正定。在xk附近用二次Taylor展開近似f,f(xk+s)qtk)(s)=f(xkTs+f(xkfs+1sT2f(xk)s2s=x-xk,q(k*s)為f(x)的二次近似。將上式右邊極小化，便得：_.-4xk4t=xk-f(xk)1Vf(xk),這就是牛頓法的迭代公式。在這個公式里，步長因子=1。令Gk=2f(Xk)項=Vf(Xk),則上式也可寫成：1xki=xk-Gkgk顯然，牛頓法也可以看成在橢球范數(shù)|L下的最速下降法。事實上，對于f(Xk+s產(chǎn)f(Xk)+g：s,TSk是極小化問題mi

4、n猾的解。該極小化問題依賴于所取的范數(shù)，當采取12范sRn閭數(shù)時，Sk=-gk,所得方法為最速下降法。當采用橢球范數(shù)Uh時，W=-Gjgk,所得方法即為牛頓法。【實驗環(huán)境】Windows7Matlab7.0二、實驗內(nèi)容：【實驗方案】算例：f(x1,x2)=x12+x22x1x210x14x2+60的極小值，00.001o要求：1、利用使用黃金分割法確定步長的牛頓法編寫一維搜索方法(含黃金分割法確定步長)；2、在使用共物梯度法梯度法進行搜索時可以調(diào)用一維搜索方法?！緦嶒炦^程】1.黃金分割法程序流程圖1/?F-steplengtli=07336683bb=0T000001x01=7.99988(1

5、xtl=S.999869最后結(jié)毗解為,-xLI1=5.999869最小值為：迭央次數(shù)為：n=42Pressanykeytocontinue【實驗小結(jié)】（收獲體會）這次實驗，使戢優(yōu)化方法這門課的一些理論知識與實踐相結(jié)合，更加深刻了我對這門課的認識，鞏固了我的理論知識。我個人得到了不少的收獲，一方面加深了我對課本理論的認識，另一方面也提高r個人對于實際問題的解答能力。對于牛頓法和黃金分割法的原理與應用有個深刻認識，也將老師在課堂上的講解真正的融會貫通，這次的實驗非常后意義.三、指導教師評語及成績：評語評語等級優(yōu)良中及格/、及格1.實驗報告按時完成，字跡清楚，文字敘述流暢，邏輯性強2.實驗方案設計合

6、理3.實驗過程（實驗步驟詳細，記錄完整，數(shù)據(jù)合理，分析透徹）4實驗結(jié)論正確.成績：指導教師簽名：批閱日期：附錄1:源程序#include#include#include/原函數(shù)#definef(x1,x2)x1*x1+x2*x2-x1*x2-10*x1-4*x2+60梯度模#definetdm(x1,x2)sqrt(2*x1-x2-10)*(2*x1-x2-10)+(2*x2-x1-4)*(2*x2-x1-4)/x1的偏導數(shù)#defineG1(x1,x2)2*x1-x2-10/x2的偏導數(shù)#defineG2(x1,x2)2*x2-x1-4/一維搜索/進退法求搜索區(qū)間constfloateps=

7、0.001;/eps為計算精度；doubleHJFC(doublex1,doubles1)(intk=1,i,j;doublea0=1,b0=0.5,a1,b1,a3,f3,y32,m,n,ak2,c;/a0為初始步長，b0為初始步長增量；a1,b1為進退法確定的最終區(qū)間;a0=a0;a1=a0+b0;for(i=0;i2;i+)for(j=0;j2;j+)yij=x1j+ai*s1j;for(i=0;if1)while(k)(b0=2*b0;a2=a1+b0;for(j=0;jf1)(m=a0;n=a2;k=0;else(k=1;a1=a2;f1=f2;elsewhile(k)(b0=2*b

8、0;a2=a0-b0;for(j=0;jf0)(m=a2;n=a1;k=0;else(k=1;a0=a2;f0=f2;/黃金分割法求最佳步長a1=m;b1=n;a0=n-0.618*(n-m);a1=m+0.618*(n-m);for(i=0;i2;i+)for(j=0;j2;j+)yij=x1j+ai*s1j;for(i=0;i2;i+)fi=f(yi0,yi1);do(if(f0f1)(n=a1;a1=a0;f1=f0;a0=n-0.618*(n-m);for(j=0;j2;j+)y0j=x1j+a0*s1j;f0=f(y00,y01);else(m=a0;a0=a1;f0=f1;a1=m

9、+0.618*(n-m);for(j=0;jeps);ak2=(m+n)/2;returnak2;共輾梯度法voidmain()doublex2,s2,g4,bita,arph;arph/x數(shù)組為函數(shù)解白轉(zhuǎn)置矩陣；s數(shù)組為搜索方向的轉(zhuǎn)置矩陣；g數(shù)組為梯度轉(zhuǎn)置矩陣;為最優(yōu)步長；intk=1;/k為迭代次數(shù)；賦初值；printf(請輸入初始x1、x2:nn);scanf(%d%d,&x0,&x1);printf(過程如下：nn);g0=G1(x0,x1);g1=G2(x0,x1);while(tdm(x0,x1)eps)迭代終止準則；if(k=1)s0=-g0;s1=-g1;bita=0;else

10、bita=(g0*g0+g1*g1)/(g2*g2+g3*g3);s0=-g0+bita*s0;s1=-g1+bita*s1;10arph=HJFC(x,s);x0=x0+arph*s0;x1=x1+arph*s1;g2=g0;g3=gi;g0=G1(x0,x1);g1=G2(x0,x1);printf(第次迭代：nn,k);printf(步長steplength=%ft,arph);printf(bb=%ftn,bita);printf(x0=%ftx1=%fnnn,x0,x1);k+;)k-;printf(最后結(jié)果為：n);printf(最優(yōu)解為：nx0=%fnx1=%fn最小值為：min=%fn迭代次數(shù)為：n=%dn,x0,x1,f(x0,x1),k);)附錄2:實驗報告填寫說明1 .實驗項目名稱：要求與實驗教學大綱一致。2 .實驗目的：目的要明確，要抓住重點，符合實驗教學大綱要求。3 .實驗原理：簡要說明本實驗項目所涉及的理論知識。4 .實驗環(huán)境：實驗用的軟、硬件環(huán)境。5 .實驗方案（思路、步驟和方法等）：這是實驗報告極其重要的內(nèi)容。概括整個實驗過程。對于驗證性實驗，要寫明依據(jù)何種原理、操作方法進行實驗，要寫明需要經(jīng)過哪幾個步驟來實現(xiàn)其操作。對于設計性和綜合性實驗，在上述內(nèi)容基礎上還應該畫出流程圖、設計思路和設計方法，再配以相應的文字說明。對于創(chuàng)新