1、Tankertanker DesignTankertanker DesignModern Control Theory張張 雯雯ankertanker DesignTankertanker Design2課程介紹課程介紹1 1、課程性質(zhì)：專業(yè)基礎(chǔ)課程（、課程性質(zhì)：專業(yè)基礎(chǔ)課程（3 3學(xué)分）學(xué)分） 2 2、學(xué)時(shí)：、學(xué)時(shí)：4848學(xué)時(shí)（學(xué)時(shí)（4040學(xué)時(shí)理論學(xué)時(shí)理論+8+8學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)）學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)）3 3、考試方式：閉卷考試、考試方式：閉卷考試Tankertanker DesignTankertanker Design3課程介紹課程介紹4 4、教材、教材 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理

2、論 鄭大鐘鄭大鐘 清華大學(xué)出版社清華大學(xué)出版社線性系統(tǒng)理論習(xí)題與解答線性系統(tǒng)理論習(xí)題與解答 鄭大鐘鄭大鐘Tankertanker DesignTankertanker Design4課程介紹課程介紹4 4、教材、教材參考教材參考教材線性系統(tǒng)理論和設(shè)計(jì)線性系統(tǒng)理論和設(shè)計(jì)仝茂達(dá)仝茂達(dá) 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 胡壽松胡壽松 科學(xué)出版社科學(xué)出版社 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 段廣仁段廣仁 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社Tankertanker DesignTankertanker Design5課程安排課程安排Ch1 緒論緒論Ch2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)

3、空描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空描述 Ch3 線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析Ch4 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性線性系統(tǒng)的能控性和能觀性Ch5 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性Ch6 線性反饋系統(tǒng)的時(shí)間域綜合線性反饋系統(tǒng)的時(shí)間域綜合Tankertanker DesignTankertanker Design緒論緒論第一章第一章 Tankertanker DesignTankertanker Design7課程內(nèi)容課程內(nèi)容控制理論的發(fā)展控制理論的發(fā)展一一 線性控制理論線性控制理論二二線性線性控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二二Tankertanker DesignTankertanker Desig

4、n一一 控制理論的發(fā)展控制理論的發(fā)展控制理論來(lái)源于人們的生產(chǎn)生活。早在控制控制理論來(lái)源于人們的生產(chǎn)生活。早在控制理論沒(méi)有出現(xiàn)時(shí)，人們?cè)谏a(chǎn)生活中已經(jīng)不理論沒(méi)有出現(xiàn)時(shí)，人們?cè)谏a(chǎn)生活中已經(jīng)不知不覺(jué)的用到了自動(dòng)控制知不覺(jué)的用到了自動(dòng)控制. . 自動(dòng)受水壺自動(dòng)受水壺公元前三世紀(jì)公元前三世紀(jì)候風(fēng)地動(dòng)儀候風(fēng)地動(dòng)儀 張衡張衡 東漢東漢離心式調(diào)速器離心式調(diào)速器瓦特瓦特 第一次工業(yè)革命第一次工業(yè)革命Tankertanker DesignTankertanker Design又稱古典控制理論又稱古典控制理論或自動(dòng)控制理論或自動(dòng)控制理論建立在頻率響應(yīng)法建立在頻率響應(yīng)法和根軌跡法基礎(chǔ)上和根軌跡法基礎(chǔ)上9一一 控制理

5、論的發(fā)展控制理論的發(fā)展20世紀(jì)世紀(jì)60年代前年代前Tankertanker DesignTankertanker Design一一 控制理論的發(fā)展控制理論的發(fā)展1 1、古典控制理論階段、古典控制理論階段麥克斯韋麥克斯韋MaxwellMaxwell 18681868年解決了年解決了蒸汽機(jī)調(diào)速系蒸汽機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中出現(xiàn)的劇統(tǒng)中出現(xiàn)的劇烈振蕩的不穩(wěn)烈振蕩的不穩(wěn)定問(wèn)題，提出定問(wèn)題，提出了簡(jiǎn)單的了簡(jiǎn)單的穩(wěn)定穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù)性代數(shù)判據(jù)。赫爾維茨赫爾維茨 HurwitzHurwitz 18951895年把麥克年把麥克斯韋的思想擴(kuò)展斯韋的思想擴(kuò)展到高階微分方程到高階微分方程描述的更復(fù)雜的描述的更復(fù)雜的系統(tǒng)中提出了系

6、統(tǒng)中提出了勞勞斯判據(jù)和赫爾維斯判據(jù)和赫爾維茨判據(jù)茨判據(jù)。奈奎斯特奈奎斯特H.NyquistH.Nyquist19321932年提出了年提出了頻率響應(yīng)法頻率響應(yīng)法，為具有高動(dòng)態(tài)為具有高動(dòng)態(tài)品質(zhì)和靜態(tài)準(zhǔn)品質(zhì)和靜態(tài)準(zhǔn)確度的軍用控確度的軍用控制系統(tǒng)提供了制系統(tǒng)提供了所需的分析工所需的分析工具具勞斯勞斯RouthRouth伊萬(wàn)斯伊萬(wàn)斯W.R.EwansW.R.Ewans19481948年提出了年提出了復(fù)數(shù)域內(nèi)研究復(fù)數(shù)域內(nèi)研究系統(tǒng)的系統(tǒng)的根軌跡根軌跡法法Tankertanker DesignTankertanker Design一一 控制理論的發(fā)展控制理論的發(fā)展1 1、古典控制理論階段、古典控制理論階段韋

7、納韋納N.WeinerN.Weiner19471947年控制論的奠基人美國(guó)數(shù)學(xué)家韋年控制論的奠基人美國(guó)數(shù)學(xué)家韋納把控制論引起的自動(dòng)化同第二次產(chǎn)納把控制論引起的自動(dòng)化同第二次產(chǎn)業(yè)革命聯(lián)系起來(lái)，并與業(yè)革命聯(lián)系起來(lái)，并與19481948年出版了年出版了控制論控制論關(guān)于在動(dòng)物和機(jī)器中控制關(guān)于在動(dòng)物和機(jī)器中控制與通訊的科學(xué)與通訊的科學(xué)，書(shū)中論述了控制理，書(shū)中論述了控制理論的一般方法，推廣了反饋的概念，論的一般方法，推廣了反饋的概念，為控制理論這門(mén)學(xué)科奠定了基礎(chǔ)為控制理論這門(mén)學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。Tankertanker DesignTankertanker Design又稱古典控制理論又稱古典控制理論或自動(dòng)控

8、制理論或自動(dòng)控制理論建立在頻率響應(yīng)法建立在頻率響應(yīng)法和根軌跡法基礎(chǔ)上和根軌跡法基礎(chǔ)上12一一 控制理論的發(fā)展控制理論的發(fā)展以現(xiàn)代數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上的控制理論20世紀(jì)世紀(jì)60年代前年代前20世紀(jì)世紀(jì)60年代開(kāi)始年代開(kāi)始Tankertanker DesignTankertanker Design一一 控制理論的發(fā)展控制理論的發(fā)展2 2、現(xiàn)代控制理論、現(xiàn)代控制理論貝爾曼貝爾曼BellmanBellman 五十年代后期，貝五十年代后期，貝爾曼等人提出了爾曼等人提出了狀狀態(tài)分析法態(tài)分析法；在；在19571957年提出了動(dòng)態(tài)規(guī)劃。年提出了動(dòng)態(tài)規(guī)劃?？柭柭麷almanKalman196019

9、60年在控制系統(tǒng)年在控制系統(tǒng)的研究中成功地應(yīng)的研究中成功地應(yīng)用了用了狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法，并提出了可并提出了可控性和控性和可觀測(cè)性的新概念可觀測(cè)性的新概念。定義定義：建立在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上的一種控制理論Tankertanker DesignTankertanker Design一一 控制理論的發(fā)展控制理論的發(fā)展2 2、現(xiàn)代控制理論、現(xiàn)代控制理論理論研究分支理論研究分支線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論非線性系統(tǒng)理論非線性系統(tǒng)理論最優(yōu)控制理論最優(yōu)控制理論隨機(jī)控制理論隨機(jī)控制理論自自適應(yīng)控制理論適應(yīng)控制理論系統(tǒng)辨識(shí)理論系統(tǒng)辨識(shí)理論最優(yōu)估計(jì)理論最優(yōu)估計(jì)理論 Tankertanker DesignTankert

10、anker Design又稱古典控制理論又稱古典控制理論或自動(dòng)控制理論或自動(dòng)控制理論建立在頻率響應(yīng)法建立在頻率響應(yīng)法和根軌跡法基礎(chǔ)上和根軌跡法基礎(chǔ)上15一一 控制理論的發(fā)展控制理論的發(fā)展以現(xiàn)代數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)在狀態(tài)空間法基礎(chǔ)上的控制理論20世紀(jì)世紀(jì)60年代前年代前20世紀(jì)世紀(jì)60年代開(kāi)始年代開(kāi)始智能控制理論復(fù)雜系統(tǒng)理論大系統(tǒng)理論魯棒控制20世紀(jì)世紀(jì)70年代末年代末Tankertanker DesignTankertanker Design一一 控制理論的發(fā)展控制理論的發(fā)展3 3、后現(xiàn)代控制理論、后現(xiàn)代控制理論20世紀(jì)70年代，大量實(shí)際系統(tǒng)的高維性及系統(tǒng)信息的模糊性、不確定性、偶然性和不完全性給控制理

11、論帶來(lái)巨大的挑戰(zhàn)，推動(dòng)控制理論向新的階段發(fā)展。該階段有智能控制理論和大系統(tǒng)理論等多個(gè)發(fā)展方向。 魯棒控制，分布式控制，網(wǎng)絡(luò)協(xié)同控制v發(fā)展方向之一：( 對(duì)現(xiàn)代控制理論的進(jìn)一步發(fā)展和完善對(duì)現(xiàn)代控制理論的進(jìn)一步發(fā)展和完善)專家控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、仿生控制 v發(fā)展方向之二：( 模擬人類(lèi)思維和活動(dòng)的智能控制模擬人類(lèi)思維和活動(dòng)的智能控制)Tankertanker DesignTankertanker Design二二 線性控制理論線性控制理論線性系統(tǒng)理論：是一門(mén)以研究線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)的分析分析與綜合綜合的理論和方法為基礎(chǔ)的學(xué)科。它是現(xiàn)代控制理論的分支。u 研究對(duì)象：線性系統(tǒng)（滿足疊加原理）研究對(duì)

12、象：線性系統(tǒng)（滿足疊加原理）當(dāng)系統(tǒng)的輸入分別是當(dāng)系統(tǒng)的輸入分別是 和和 時(shí)，輸出分別是時(shí)，輸出分別是 和和 ， 和和 是常量，是常量，若滿足：若滿足：則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng))(1tx)(2tx)()(11txHty)()(22txHtyab)()()()(2121tbxtaxHtbytay分為分為線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)Tankertanker DesignTankertanker Design二二 線性控制理論線性控制理論u 研究任務(wù)：系統(tǒng)分析與綜合研究任務(wù)：系統(tǒng)分析與綜合系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析系統(tǒng)綜合系統(tǒng)綜合目的目的：認(rèn)識(shí)和避免線性系統(tǒng)中可能發(fā)生的有害行為。

13、：認(rèn)識(shí)和避免線性系統(tǒng)中可能發(fā)生的有害行為。分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律定量分析（求解方程）定量分析（求解方程）分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性定性分析定性分析當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)不能滿足希望的性能時(shí)，就需要對(duì)系當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)不能滿足希望的性能時(shí)，就需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行干預(yù)、調(diào)節(jié)或控制來(lái)改變?cè)邢到y(tǒng)，使改統(tǒng)進(jìn)行干預(yù)、調(diào)節(jié)或控制來(lái)改變?cè)邢到y(tǒng)，使改變后的系統(tǒng)滿足性能要求。這樣一個(gè)完整的過(guò)程變后的系統(tǒng)滿足性能要求。這樣一個(gè)完整的過(guò)程稱為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)或控制系統(tǒng)綜合。稱為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)或控制系統(tǒng)綜合。Tankertanker DesignTankertanker Design二二 線性控制理論線性控制理論u 線性

14、控制理論與經(jīng)典控制理論的差異線性控制理論與經(jīng)典控制理論的差異 經(jīng)典控制理論經(jīng)典控制理論 現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 研究對(duì)象研究對(duì)象單輸入單輸出系統(tǒng)單輸入單輸出系統(tǒng)(SISO):(SISO):一階微分方程一階微分方程 多輸入多輸出系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO) :(MIMO) :高階微分方程高階微分方程 研究方法研究方法傳遞函數(shù)法傳遞函數(shù)法( (外部描述外部描述) ) 狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法( (內(nèi)部描述內(nèi)部描述) ) 研究工具研究工具拉普拉斯變換拉普拉斯變換 線性代數(shù)矩陣線性代數(shù)矩陣 分析方法分析方法頻域頻域( (復(fù)域復(fù)域), ),頻率響應(yīng)和根頻率響應(yīng)和根軌跡法軌跡法 復(fù)域、實(shí)域，能控和能觀復(fù)

15、域、實(shí)域，能控和能觀測(cè)測(cè) 性性設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法PIDPID控制和校正網(wǎng)絡(luò)控制和校正網(wǎng)絡(luò) 狀態(tài)反饋和輸出反饋狀態(tài)反饋和輸出反饋 其他其他 頻率法的物理意義直觀、頻率法的物理意義直觀、實(shí)用，難于實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制實(shí)用，難于實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制易于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制和最優(yōu)易于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制和最優(yōu)控制控制Tankertanker DesignTankertanker Design二二 線性控制理論線性控制理論u 線性控制理論的學(xué)派線性控制理論的學(xué)派狀態(tài)空狀態(tài)空間法間法幾何法幾何法多變量多變量頻域理頻域理論論代數(shù)代數(shù)理論理論Tankertanker DesignTankertanker Design三三 線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基

16、礎(chǔ)線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) （一）矩陣的定義（一）矩陣的定義1矩陣矩陣 矩陣定義為矩陣陣列，它的元素可以是實(shí)數(shù)、矩陣定義為矩陣陣列，它的元素可以是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、函數(shù)或算子。一個(gè)復(fù)數(shù)、函數(shù)或算子。一個(gè)n行行m列的矩陣表示為列的矩陣表示為nmnnmmaaaaaaaaaA212222111211稱為稱為 矩陣。矩陣。 mnTankertanker DesignTankertanker Design三三 線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2方陣方陣 方陣是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。一個(gè)方陣是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。一個(gè) 矩陣矩陣稱為稱為n階方陣。階方陣。nn3向量向量1）只有一列的矩陣稱為列向量。）

17、只有一列的矩陣稱為列向量。 具有具有n個(gè)元素的列向量個(gè)元素的列向量 稱為稱為n維列向量。維列向量。 nxxxx212）只有一行的矩陣稱為行向量。）只有一行的矩陣稱為行向量。 具有具有n個(gè)元素的行向量個(gè)元素的行向量 稱為稱為n維維行向量。行向量。 nxxxx21Tankertanker DesignTankertanker Design三三 線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 4對(duì)角線矩陣對(duì)角線矩陣 如果除方陣如果除方陣A的主對(duì)角線元素外，其余的元素均的主對(duì)角線元素外，其余的元素均為零，則稱矩陣為零，則稱矩陣A為對(duì)角線矩陣，寫(xiě)成為對(duì)角線矩陣，寫(xiě)成 ,22112211nnnnaaadia

18、gaaaA5單位矩陣單位矩陣主對(duì)角線上元素全為主對(duì)角線上元素全為1的對(duì)角線矩陣稱為單位矩陣，即的對(duì)角線矩陣稱為單位矩陣，即 1 , 1 , 1 111diagITankertanker DesignTankertanker Design三三 線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 6零矩陣：零矩陣：所有元素都為零的矩陣。所有元素都為零的矩陣。7轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣 如果如果 矩陣矩陣A的行和列互相交換，則由此得的行和列互相交換，則由此得到的到的 矩陣稱為矩陣矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，用的轉(zhuǎn)置矩陣，用AT表示。表示。 mnnmnmnnmmaaaaaaaaaA212222111211nmmmnn

19、TaaaaaaaaaA212221212111矩陣轉(zhuǎn)置的規(guī)律：矩陣轉(zhuǎn)置的規(guī)律：1）(AT )T = A 2）(A+B )T = AT+ BT 3）(AB )T = BT AT 4）(kA )T = kATTankertanker DesignTankertanker Design三三 線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 設(shè)方陣設(shè)方陣A的行列式為的行列式為|A|，如果，如果|A|=0，則稱，則稱A為奇為奇異矩陣；如果異矩陣；如果|A|0，則稱，則稱A為非奇異矩陣。為非奇異矩陣。9對(duì)稱矩陣和斜對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣和斜對(duì)稱矩陣8奇異矩陣與非奇異矩陣奇異矩陣與非奇異矩陣1）對(duì)稱矩陣）對(duì)稱矩陣：如

20、果方陣如果方陣A的元素相對(duì)于主對(duì)角線對(duì)稱，的元素相對(duì)于主對(duì)角線對(duì)稱，則稱則稱A為對(duì)稱矩陣（也可以這樣說(shuō)：如果方陣為對(duì)稱矩陣（也可以這樣說(shuō)：如果方陣A等于它的等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，即轉(zhuǎn)置矩陣，即A=AT，則，則A為對(duì)稱矩陣）。為對(duì)稱矩陣）。2）斜對(duì)稱矩陣）斜對(duì)稱矩陣：如果方陣如果方陣A等于它的轉(zhuǎn)置矩陣的負(fù)值，等于它的轉(zhuǎn)置矩陣的負(fù)值，即即A= - -AT，則方陣，則方陣A稱為斜對(duì)稱矩陣（反號(hào)對(duì)稱矩陣）稱為斜對(duì)稱矩陣（反號(hào)對(duì)稱矩陣）. Tankertanker DesignTankertanker Design三三 線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) （二）逆矩陣（二）逆矩陣（）1子式子式Mi

21、j ：從從n階方陣階方陣A中去掉第中去掉第i行和第行和第j列后所列后所得到的是一個(gè)得到的是一個(gè)(n-1)階方陣，該階方陣，該(n-1)階方陣的行列階方陣的行列式便稱為式便稱為n階方陣階方陣A的子式的子式Mij。 2余因子余因子Aij ：矩陣矩陣A的一個(gè)元素的一個(gè)元素aij的余因子的余因子Aij是是用方程用方程Aij=(- -1)i+jMij來(lái)定義的，即元素來(lái)定義的，即元素aij的余因子的余因子Aij是以是以(- -1)i+j乘矩陣乘矩陣A中去掉第中去掉第i行和第行和第j列后構(gòu)成的列后構(gòu)成的矩陣的行列式矩陣的行列式子式子式Mij。Tankertanker DesignTankertanker D

22、esign三三 線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 3伴隨矩陣：伴隨矩陣：矩陣矩陣A的伴隨矩陣是以的伴隨矩陣是以A的余因子為的余因子為元素所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，即元素所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，即nnnnnnAAAAAAAAAadjA2122212121114矩陣的逆矩陣：矩陣的逆矩陣：若方陣若方陣A的行列式的行列式|A|不等于零，即不等于零，即A為非奇異，則矩陣為非奇異，則矩陣A有逆矩陣存在，其計(jì)算式為有逆矩陣存在，其計(jì)算式為AadjAA1Tankertanker DesignTankertanker Design三三 線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 5逆矩陣的特性：逆

23、矩陣的特性：1）AA- -1 = A- -1A = I （I為單位矩陣）為單位矩陣）2）若）若|A| 0，|B| 0，則，則(BA)- -1=A- -1B- -13）如果）如果|A| 0，則，則(AT)- -1=(A-1)T4）(A- -1)- -1 = A（三）矩陣的秩（三）矩陣的秩（） 如果矩陣如果矩陣A的的m階子矩陣存在，且至少有一階子矩陣存在，且至少有一個(gè)個(gè)m階子矩陣的行列式不為零，而階子矩陣的行列式不為零，而A的的r階子矩陣階子矩陣（rm+1）構(gòu)成的行列式均為零，則稱矩陣）構(gòu)成的行列式均為零，則稱矩陣A的的秩等于秩等于m，記為，記為rankA = m。Tankertanker Des

24、ignTankertanker Design三三 線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) （四）矩陣的初等變換（四）矩陣的初等變換（） 如果對(duì)矩陣的元素實(shí)行了下列三種變換之一，如果對(duì)矩陣的元素實(shí)行了下列三種變換之一，就說(shuō)這個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)了一次就說(shuō)這個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)了一次初等變換，即初等變換，即1）將任意兩行（或兩列）的元素互換位置；）將任意兩行（或兩列）的元素互換位置；2）將任意一行（或一列）的元素乘上不等于）將任意一行（或一列）的元素乘上不等于0的數(shù)的數(shù);3）將任意一行（或一列）元素的）將任意一行（或一列）元素的c倍加到另一行倍加到另一行（或另一列）的元素上去。（或另一列）的元素上去。 矩陣的初

25、等變換有下述兩個(gè)重要定理：矩陣的初等變換有下述兩個(gè)重要定理：1）一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)任何一種初等變換后，其秩不變。）一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)任何一種初等變換后，其秩不變。2）任意一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)一系列的初等變換后，總能變）任意一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)一系列的初等變換后，總能變成階梯形矩陣。成階梯形矩陣。Tankertanker DesignTankertanker Design三三 線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 階梯形矩陣：階梯形矩陣：矩陣任一行第一個(gè)非零元素的下方矩陣任一行第一個(gè)非零元素的下方全為零。例如全為零。例如 因?yàn)殡A梯形矩陣很容易確定它的秩，因此利因?yàn)殡A梯形矩陣很容易確定它的秩，因此利用上述兩個(gè)定理，先

26、把矩陣變成階梯形矩陣，再用上述兩個(gè)定理，先把矩陣變成階梯形矩陣，再確定階梯形矩陣的秩，即為原矩陣的秩。確定階梯形矩陣的秩，即為原矩陣的秩。000010001210,300120101Tankertanker DesignTankertanker Design三三 線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) （五）向量的線性相關(guān)和線性獨(dú)立（五）向量的線性相關(guān)和線性獨(dú)立(或稱線性無(wú)關(guān)或稱線性無(wú)關(guān)) ()設(shè)有設(shè)有m個(gè)個(gè)n維向量維向量mnmmmnn21222212112111,如果存在一組不全為零的數(shù)如果存在一組不全為零的數(shù) ，使得，使得mccc,2102211mmccc則稱向量組則稱向量組 是線性相關(guān)的。如果只有當(dāng)是線性相關(guān)的。如果只有當(dāng) 時(shí)，才能使時(shí)，才能使m,21021mccc02211mmccc則稱這則稱這m個(gè)向量是