1、2.3.2平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示和運算及坐標(biāo)表示和運算湖南師大附中湖南師大附中 張汝波張汝波一般地一般地, ,實數(shù)實數(shù) 與向量與向量 的積是一個向量的積是一個向量, ,記作記作: : aa(1)(2)當(dāng)當(dāng) 時時, 的方向與的方向與 的方向相同的方向相同; 當(dāng)當(dāng) 時時, 的方向與的方向與 的方向相同的方向相同;(3)當(dāng)當(dāng) 時時,或或 時時,| | a a| |=| | | | |a a| |; ;000a0aaaa0a 一、數(shù)乘的定義：一、數(shù)乘的定義：它的長度和方向規(guī)定如下它的長度和方向規(guī)定如下:二、數(shù)乘的運算律：二、數(shù)乘的運算律：(2)(2)第一分配律第一分配律: :(

2、1)(1)結(jié)合律結(jié)合律: :(3)(3)第二分配律第二分配律: :()()aa ()aaa()abab1.1.定理定理: : 向量向量 與非零向量與非零向量 共線的等價條共線的等價條件是有且只有一個實數(shù)件是有且只有一個實數(shù) , ,使得使得. . abba三、共線向量基本定理：三、共線向量基本定理：2).證明三點共線證明三點共線:1).證明向量共線證明向量共線3).證明兩直線平行證明兩直線平行:AB BC AB=BC (1).A,B,C三點共線 AB= BC(2).A,B,C三點共線 OA=xOB+yOC(其中x+y=1)1 1212a = xe + ye ,b = me +neyxa ， b共

3、 線 a = b =.mn四四. .平面向量基本定理平面向量基本定理: : 假設(shè)假設(shè) 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那那么對這一平面內(nèi)的任一向量么對這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對，有且只有一對實數(shù)實數(shù) ， 使使1 12 2aee12, 12,e e a闡明：基底不唯一，且基底是不共線的兩個向量。 (1).A,B,C,D四點共面 AB= AC+AD(2).A,B,C,D四點共面 OA=xOB+yOC+zOD (其中x+y+z=1)a與b的夾角是90 ，則a與b垂直，記作a b新授：新授：1.向量的夾角：向量的夾角：已知兩個非零向量a和b如圖，那么AOB= （01

4、80）叫做向量的夾角當(dāng) =0 時，a與b同向當(dāng) =180時， a與b反向oBAab共起點ABC思索:正ABC中,向量AB與BC的夾角為幾度?D2.向量的正交分解向量的正交分解 12112212一個平面向量用一組基底e ,e 表示成= e + e的形式，我們稱它為向量的分解。當(dāng)e ,e 互相垂直時，就稱為向量的正交分解。 在平面上在平面上, ,如果選取互相垂直的向量作為如果選取互相垂直的向量作為基底時基底時, ,會為我們研究問題帶來方便會為我們研究問題帶來方便. .3.3.平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示OOxy平面內(nèi)的任一向量平面內(nèi)的任一向量 , ,有且只有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù)x,y,

5、x,y,使使 成立成立aaxiy j則稱則稱(x(x，y)y)是向量是向量 的坐標(biāo)的坐標(biāo)aji 如圖如圖, ,在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中, ,分別取與分別取與x x軸、軸、y y軸軸正方向同向的兩個單位向量正方向同向的兩個單位向量 作基底作基底. .i j 、記作：記作：( , )ax y(1) (1) 與與 相等的向量的坐標(biāo)均為相等的向量的坐標(biāo)均為(x, (x, y)y)aa留意：留意：a(4)(4)如圖以原點如圖以原點O O為起點作為起點作 , ,點點A A的位置被的位置被 唯一確定唯一確定. .aOA a 1212abxxyy且此時點此時點A A的坐標(biāo)即為的坐標(biāo)即為 的坐標(biāo)的坐

6、標(biāo)a（5 5區(qū)別點的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)區(qū)別點的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)相等向量的坐標(biāo)是相同的相等向量的坐標(biāo)是相同的, ,但起點、終點的坐標(biāo)可以不同但起點、終點的坐標(biāo)可以不同 (2) i=i+0j=(1,0)j=0i+j=(0,1)0=(0,0)（1 1與與 相等的向量的坐標(biāo)均為相等的向量的坐標(biāo)均為x,y)x,y)a留意：留意：（3 3兩個向量兩個向量 相等的充要條件：相等的充要條件：1122( ,),(,)ax ybxy(6)(6)22axy 3.3.平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示aa(x, y)(x, y)A AO Ox xy yji例1.如圖,用基底 ， 分別表示向量 并求它們的坐標(biāo)解：由圖可知解

7、：由圖可知 12a=AA +AA =2i+3j(2,3)a同理，同理，23( 2,3)bij 23( 2, 3)cij 23(2, 3)dij , , ,a b c d jiA1A1A AA2A2y yx xO O1 1abcd ij3.3.平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1 a= 4,6 ,a=2b,b 、且且那那么么 的的坐標(biāo)是坐標(biāo)是 .(2,3)2a= x-2,3b= 1,y+2 、若若向向量量與與向向量量相相等等，那那么么x= ,y= .3AB= x,y , B -2,1 ,OA 、已已知知的的坐坐 是是那那么么的的標(biāo)標(biāo)坐標(biāo)為坐標(biāo)為 .(-2-x,1-y)3 14a

8、= 1, 1 ,b= 1, -1 ,c= -1, 2 ,c13133131 A -a+b Ba-b Ca-b D -a+b22222222 、若若向向量量那那么么等等于于、B5a= 3,-1 ,b= -1,2 ,-3a-2b 、已已知知那那么么等等于于_ _ _ _ _6B m,n ,AB 、已已知知 的的坐坐是是標(biāo)標(biāo)的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(i,j),(i,j),則點則點A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(m-i,n-j)-7 -1 ，問題探究：問題探究：則已知),(),(2211yxbyxa 1 1、根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示及向量的運算、根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示及向量的運算，你能完成下面的問題嗎？，你能完成下面的

9、問題嗎？(1)你能用你能用 表示表示 嗎？嗎？ji和ba和？的坐標(biāo)是什么？為什么ababa,（2）的坐標(biāo)是什么？則，AByxByxA),(),(2211),(11yxA),(22yxBx xy yO O 一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo) 2.2.知知問題探究：問題探究： 1122a+b=(x i+y j)+(x i+y j)1212=(x +x )i+(y +y )j 1212a+b=(x +x ,y +y )同理可得：同理可得：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩 個 向

10、 量 相 應(yīng) 坐 標(biāo) 的 和 與 差兩 個 向 量 相 應(yīng) 坐 標(biāo) 的 和 與 差 1212a-b=(x -x ,y -y ) 1122已知a=(x ,y ),b=(x ,y ),求a+b,a-b,a的坐4.4.平面向量的坐標(biāo)運算平面向量的坐標(biāo)運算()xyaij.xyij (,). xya實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)3.3.平面向量的坐標(biāo)運算平面向量的坐標(biāo)運算xyo22(,)B xy11( ,)A x yABOBOA 2211(,)( ,)xyx y2121(,).xx yy例題講解例題講解如圖,已知A(x1,y1

11、),B(x2,y2),求 坐標(biāo).AB 一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)(2,1),( 3,4), aba b a b ab已知求 + , - , 3 +4的坐標(biāo).(2,1)( 3,4)( 1,5); ab(2,1)( 3,4)(5, 3); ab343(2,1)4( 3,4)(6,3)( 12,16)( 6,19). ab例題講解例題講解例題講解例題講解解法解法1 1：設(shè)頂點：設(shè)頂點D D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為x x，y y）( 123 112AB （），）（， ）(3,4)DCxyABDC 由，得(1,

12、2)(3,4)xy1324xy22xy知知ABCDABCD的三個頂點的三個頂點A A、B B、C C的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為( (2,1)2,1)、( (1,3)1,3)、(3,4),(3,4),求頂點求頂點D D的坐標(biāo)的坐標(biāo)11yxOABCD11yxOABCD解法解法2:2:由向量加法的平行四邊形法則可知由向量加法的平行四邊形法則可知BDBAADBABC -2- -1 ,1-33- -1 ,4-33,-1ODOBBD -1,3 + 3,-12,2課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：( 2 , 4 )（-3，9）（-5，5） /1.若點O（0，0），A（1，2），B（-1，3），且OA =2OA, OB =3OB 則點A 的坐標(biāo)為_點B 的坐標(biāo)為_,向量A B 的坐標(biāo)為_) 3, 5 . 2( 2.平行四邊形ABCD的對角線交于O,且AD= 3,7 , AB= -2,1 ,則OB 的坐標(biāo)為_.3.已知點P、A（3，7）、B（4，6），C（1， -2），是一個平行四邊形的四個頂點，求P的坐標(biāo).課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：4.已知a=(1,0)、b=(1,1),c=(-1,0),求實數(shù)與，使c=a+b.課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：(1