1、會計學1函數(shù)的求導法則函數(shù)的求導法則10)( cxxcos)(sin xxsin)(cos aaaxxln)( xxee )(axxaln1)(log xx1)(ln 1)( xx1)( nnnxx基本導數(shù)公式：基本導數(shù)公式：兩個重要關系：兩個重要關系：axfxfaxf )()()(000可導可導連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)可導可導第1頁/共26頁定理定理并且并且可導可導處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導處可導在點在點如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()( )()()2();()( )

2、()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu一、和、差、積、商的求導法則一、和、差、積、商的求導法則第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的求導法則函數(shù)的求導法則(I)第2頁/共26頁證證(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設設hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .第3頁/共26頁hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(

3、lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導處可導在在xxf第4頁/共26頁推論推論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf )()()()()()()()()( )()3(2121211xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfnnnnii 第5頁/共26頁例例1 1.sin223的導數(shù)的導數(shù)求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的導數(shù)的導數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .co

4、s x .2sin1ln2cos2xxxx 第6頁/共26頁例例3 3.tan的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得第7頁/共26頁例例4 4.sec的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos0 .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得第8頁/共26頁);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xv

5、xuxvxu 注意注意:第9頁/共26頁定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有內(nèi)也可導內(nèi)也可導在對應區(qū)間在對應區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導內(nèi)單調(diào)、可導在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)即即 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).二、反函數(shù)的導數(shù)二、反函數(shù)的導數(shù)第10頁/共26頁定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導數(shù)為且其導數(shù)為可導可導在點在點則復合函數(shù)則復合函數(shù)可導可導在點在點而而可導可導在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對自變量求導因變

6、量對自變量求導, ,等于因變量對中間變量求導等于因變量對中間變量求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(.(鏈式法則鏈式法則:chain rule:chain rule) )三、復合函數(shù)的求導法則三、復合函數(shù)的求導法則第11頁/共26頁推推廣廣),(),(),(xvvuufy 設設.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導數(shù)為的導數(shù)為則復合函數(shù)則復合函數(shù) 例例1 1.sinln的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 第12頁/共26頁例例2 2.)1(102的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函

7、數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例3 3.arcsin22222的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a第13頁/共26頁例例4 4.1sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 第14頁/共26頁思考思考題題 若若)(uf在在0u不可導，不可導，)(xgu 在在0 x可導，且可導，且)(00 xgu ，則，則)(xgf在在0

8、x處（處（ ） （1）必可導；（）必可導；（2）必不可導；（）必不可導；（3）不一定可導；）不一定可導； ).(, 2ln)13cos()(. 22xfexxfx 求求設設1.21)13sin(6)(. 22 xexxxf.)13sin(6)(2xexxxf .) |(ln . 3 x求求,1)(ln) |(ln,0 . 3xxxx 時時)(1) )(ln() |(ln,0 xxxxx時時,1x .1) |(lnxx .)( . 4 xx求求xxxexln . 4 )ln()()(ln xxxexxxxx)1(ln xxx第15頁/共26頁思考題解答思考題解答1. 正確地選擇是正確地選擇是（3

9、）例例|)(uuf 在在 處不可導，處不可導，0 u取取xxgu )(在在 處可導，處可導，0 x|)(xxgf 在在 處不可導處不可導，0 x )1(取取2)(xxgu 在在 處可導，處可導，0 x22|)(xxxgf 在在 處可導，處可導，0 x )2(第16頁/共26頁一般冪指函數(shù)的導數(shù)公式一般冪指函數(shù)的導數(shù)公式:).(,)(),(,)()()(xxgxfxfxxg 求求均可導均可導其中其中設設)()()( xgxfx )(ln)( xfxge )(ln)()()( xfxgxfxg )(ln)()()( xfxgxfxg)(ln)()()(1)()()(xfxgxfxfxgxfxg )

10、.(ln)()()()()()(1)(xfxfxgxfxfxgxgxg 第17頁/共26頁一、高階導數(shù)的概念一、高階導數(shù)的概念第三節(jié)第三節(jié) 高階導數(shù)高階導數(shù)引例引例,sin)(2xxxfy 設設,cos2)(xxxfy 則則,sin2) )()(xxfy ,cos) )()(xxfy 的二階導數(shù)的二階導數(shù)y的三階導數(shù)的三階導數(shù)y的一階導數(shù)的一階導數(shù)y定義定義 函數(shù)的函數(shù)的n-1階導數(shù)的導數(shù)階導數(shù)的導數(shù),稱為該函數(shù)的稱為該函數(shù)的n階導數(shù)階導數(shù).二階及二階以上的導數(shù)稱為二階及二階以上的導數(shù)稱為高階導數(shù)高階導數(shù).階導數(shù)階導數(shù)的的0y第18頁/共26頁二階導數(shù)二階導數(shù),.)(,),(2222dxxfd

11、dxydyxf或或 ,階導數(shù)階導數(shù)n.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或四階導數(shù)四階導數(shù), .,),(33dxydyxf 三階導數(shù)三階導數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf第19頁/共26頁例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設設解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù)由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù).二、二、 高階導數(shù)求法舉例高階導數(shù)求法舉例第

12、20頁/共26頁例例2 2.),()(nyRxy求求設設 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 第21頁/共26頁例例4 4.,sin)(nyxy求求設設 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得第22頁/共26頁協(xié)作練習題協(xié)作練習題設設 連續(xù)，且連續(xù)，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 第23頁/共2