1、會計學1經(jīng)濟經(jīng)濟(jngj)數(shù)學建模數(shù)學建模第一頁，共37頁。第1頁/共36頁第二頁，共37頁。一、單利(dnl)模型設(shè)年利率為r,初始(ch sh)資金量為S0,n年后資金量為Sn01nSSnr（）n年后的本利和為第2頁/共36頁第三頁，共37頁。01nSSrn（）1、離散型復利(fl)模型每年(minin)結(jié)算一次，n年后的本利和為每年結(jié)算m次，n年后的本利和為01mnnrSSm（）第3頁/共36頁第四頁，共37頁。連續(xù)結(jié)算(ji sun)（瞬時結(jié)算(ji sun)），n年后的本利和為00lim1mnrnnmrSSS em（）第4頁/共36頁第五頁，共37頁。三、現(xiàn)值模型(mxng)1、單

2、利(dnl)現(xiàn)值模型若n年后的資金量是Sn,則初期(chq)的資金量為01nSSnr在現(xiàn)值模型中，年利率r也稱為折現(xiàn)率第5頁/共36頁第六頁，共37頁。-01nnSSr（）2、復利(fl)現(xiàn)值模型每年(minin)折現(xiàn)一次，若n年后的資金是Sn,則初期的資金為第6頁/共36頁第七頁，共37頁。每年(minin)折現(xiàn)m次，若n年后的資金量是Sn,則初期的資金量為01mnnrSSm（）連續(xù)(linx)折現(xiàn),若n年后的資金量是Sn,則初期的資金量為0rnnSS e第7頁/共36頁第八頁，共37頁。 模型二模型二 生豬生豬(shngzh)出售問題出售問題第8頁/共36頁第九頁，共37頁。飼養(yǎng)場每天投入

3、飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料元資金，用于飼料(slio)、人力、設(shè)備、人力、設(shè)備，估計使當前，估計使當前80千克重的生豬每天增加千克重的生豬每天增加2公斤。公斤。問問題題(wnt)市場價格目前為每千克市場價格目前為每千克8元，但是預(yù)測每天會降低元，但是預(yù)測每天會降低 0.1元，問生豬應(yīng)何時元，問生豬應(yīng)何時(h sh)出售。出售。如果如果估計估計和和預(yù)測預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何影響。有誤差，對結(jié)果有何影響。分分析析投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大少，故存在最佳出售時機，使利潤最大第9頁/共36頁第十頁

4、，共37頁。trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售天后出售(chshu)，可多得利，可多得利潤潤20元元建模及求解建模及求解(qi ji)生豬生豬(shngzh)體重體重 w=80+rt出售價格出售價格 p=8-gt銷售收入銷售收入 R=pw資金投入資金投入 C=4t利潤利潤 Q=R-C=pw -C生豬的增長速度生豬的增長速度r=2，若當前出售，利潤為若當前出售，利潤為808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640收購價格降低速度收購價格降低速度g=0.1第10頁/共36頁第十一頁，共37頁。敏感性分析敏感性分

5、析(fnx)研究研究 r, g變化時對模型結(jié)果變化時對模型結(jié)果(ji gu)的影響的影響 估計估計r=2，g=0.1rggrt2404 設(shè)設(shè)g=0.1不變不變 5 . 1,6040rrrtt 對對r 的（相對的（相對(xingdu)）敏感度）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生豬每天體重增加量生豬每天體重增加量r 增加增加1%，出售時間推遲，出售時間推遲3%。 1.522.5305101520rt第11頁/共36頁第十二頁，共37頁。敏感性分析敏感性分析(fnx)估計估計r=2， g=0.1rggrt2404研究研究(ynji) r, g變化時對模型結(jié)果變化

6、時對模型結(jié)果的影響的影響 設(shè)設(shè)r=2不變不變 15. 00,203gggtt 對對g的（相對的（相對(xingdu)）敏感度）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生豬價格每天的降低量生豬價格每天的降低量g增加增加1%，出售時間提前，出售時間提前3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt第12頁/共36頁第十三頁，共37頁。 模型模型(mxng)三三 森林救火問題森林救火問題第13頁/共36頁第十四頁，共37頁。森林失火后，要確定森林失火后，要確定(qudng)派出消防隊員的數(shù)派出消防隊員的數(shù)量。量。隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員

7、多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用可能更大。隊員少，森林損失大，救援費用可能更大。綜合考慮損失費和救援費，確定綜合考慮損失費和救援費，確定(qudng)隊員數(shù)隊員數(shù)量。量。問題問題(wnt)分析分析問題問題(wnt)記隊員人數(shù)記隊員人數(shù)x, 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 時刻時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費損失費f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費救援費f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當?shù)拇嬖谇‘數(shù)?/p>

8、x，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小NoImage第14頁/共36頁第十五頁，共37頁。 關(guān)鍵關(guān)鍵(gunjin)是對是對B(t)作出合理的作出合理的簡化假設(shè)簡化假設(shè).問題問題(wnt)分分析析失火失火(sh hu)時刻時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅滅火時刻火時刻t2, 畫出時刻畫出時刻 t 森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的的大致圖形大致圖形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度速度dB/dt.第15頁/共36頁第十六頁，共37頁。模型模型(mxng)假設(shè)假設(shè) 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正

9、比，系數(shù)(xsh)c1 (燒毀單位面燒毀單位面積損失費）積損失費） 1）0tt1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢火勢(hush)蔓延速度）蔓延速度） 2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊員的平均滅火為隊員的平均滅火速度）速度） 4）每個）每個隊員的單位時間滅火費用隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用一次性費用c3假設(shè)假設(shè)1）的解釋的解釋 rB火勢以失火點為中心，均火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半勻向四周呈圓形蔓延，半徑徑 r與與 t 成正比成正比面積面積 B與與 t2成正比，成正比， dB/dt與與 t成正比成正比.第16頁/共36頁第十七頁

10、，共37頁。xbtt12202)()(tdttBtB模型模型(mxng)建立建立dtdBb0t1tt2x假設(shè)假設(shè)1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標目標(mbio)函數(shù)函數(shù)總費用總費用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)3）4）xttt112假設(shè)假設(shè)2）)(222212212xttbt第17頁/共36頁第十八頁，共37頁。模型模型(mxng)應(yīng)應(yīng)用用c1,c2,c3已知已知, t1可估可估計計(gj), c3 , x 結(jié)果結(jié)果(ji gu)解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費燒毀單位面積損失費, c2每個每個隊員單位時間滅火費隊員

11、單位時間滅火費, c3每個每個隊員一次性費用隊員一次性費用, t1開始救火時刻開始救火時刻, 火火勢蔓延速度勢蔓延速度, 每個每個隊員平均滅火隊員平均滅火速度速度. , 可可設(shè)置一系列數(shù)值設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊員數(shù)量由模型決定隊員數(shù)量x c1, t1, x 2c第18頁/共36頁第十九頁，共37頁。 模型四模型四 產(chǎn)品銷售問題產(chǎn)品銷售問題(wnt)（擴展）（擴展）第19頁/共36頁第二十頁，共37頁。 一種耐用新產(chǎn)品進入市場后，一般會經(jīng)過一個(y )銷售量先增加，然后下降的過程，稱為產(chǎn)品的生命周期，簡記為PLC。PLC曲線可能有若干種情況，其中有一種為鐘型，建立數(shù)學模型分析此現(xiàn)象。第20頁

12、/共36頁第二十一頁，共37頁。問題問題(wnt)(wnt)分析分析商品信息傳播一般有兩個途徑：商品信息傳播一般有兩個途徑：消費者外部信息消費者外部信息: :廣告、親眼看到商品等。廣告、親眼看到商品等。消費者內(nèi)部信息消費者內(nèi)部信息: :部分部分(b fen)(b fen)人使用并有所評價人使用并有所評價, ,使周圍人了解到有關(guān)產(chǎn)品信息。使周圍人了解到有關(guān)產(chǎn)品信息。 由于是耐用消費品，所以由于是耐用消費品，所以(suy)(suy)一般不會重復購買，一般不會重復購買，故產(chǎn)品累計銷售量可以認為是購買者人數(shù)。故產(chǎn)品累計銷售量可以認為是購買者人數(shù)。第21頁/共36頁第二十二頁，共37頁。n1n1應(yīng)與未購

13、買者人數(shù)應(yīng)與未購買者人數(shù)(rn sh)(rn sh)成正成正比，即比，即 ttnKan1第22頁/共36頁第二十三頁，共37頁。n2n2應(yīng)與已購買者人數(shù)應(yīng)與已購買者人數(shù)(rn sh)(rn sh)、未購買者人數(shù)、未購買者人數(shù)(rn (rn sh)sh)之積成正比，即之積成正比，即 2( )( )nbn tKn tt（a，b 0為比例(bl)系數(shù)） ( )( )( )( )n ta Kn ttbn tKn tt 21nnn 在在 t ,t+t t ,t+t 中，中，n n 總數(shù)總數(shù)(zngsh)(zngsh)為為第23頁/共36頁第二十四頁，共37頁。所以所以(suy)(suy)銷售量的數(shù)學模型

14、為銷售量的數(shù)學模型為: :( )( )(0)0dnKn tabn tdtn ()()1 1a bK ta bK ten tKbKea其曲線其曲線(qxin)(qxin)即為即為PLC PLC 曲線曲線(qxin)(qxin)，它，它的圖形為鐘型。的圖形為鐘型。 第24頁/共36頁第二十五頁，共37頁。二、兩家競爭的銷售二、兩家競爭的銷售(xioshu)模型模型假設(shè)假設(shè)1 1、兩家企業(yè)銷售、兩家企業(yè)銷售(xioshu)(xioshu)同一種商品，而市同一種商品，而市場容量是場容量是 有限的，設(shè)有限的，設(shè)t t時刻的市場容量為時刻的市場容量為M(t).M(t).2、設(shè)設(shè)N(t)N(t) 是是t t

15、時刻市場的潛在銷量，時刻市場的潛在銷量， 分別是甲廠和乙廠的銷量。分別是甲廠和乙廠的銷量。)( )(21tStS、3、甲、乙兩廠銷量的變化率都與潛在(qinzi)的市場 銷量N(t)成正比。第25頁/共36頁第二十六頁，共37頁。建立建立(jinl)模模型型(3) )()()()(2) (1) 212211tStStMtNNCdtdSNCdtdS將（將（1 1）、（）、（2 2）兩式相除并兩端）兩式相除并兩端(lin (lin dun)dun)積分：積分：4132CSCS第26頁/共36頁第二十七頁，共37頁。CBeASdtdSt 11將上式代入（3），再代入（1），得不妨假設(shè)市場不妨假設(shè)市場

16、(shchng)容量函數(shù)為容量函數(shù)為 ( )(1) tM te,0 為常數(shù)tt0M(t) 第27頁/共36頁第二十八頁，共37頁。解得3 t211)(KeKeKtSAt3 t212)(MeMeMtSAt其中 都是常數(shù)。321321,MMMKKK由此可見，甲、乙兩廠的銷售模型是同一(tngy)類型。同理第28頁/共36頁第二十九頁，共37頁。 模型五模型五 最優(yōu)價格最優(yōu)價格(jig)問題問題第29頁/共36頁第三十頁，共37頁。) 1 ()0, 0(aMMexap其中M 為市場最大需求量，a 是價格(jig)系數(shù)。同時，生產(chǎn)部門根據(jù)對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析，對每臺電視機的生產(chǎn)成本 c 有如下測算：)2(

17、) 1, 0(ln0 xkxkcc第30頁/共36頁第三十一頁，共37頁。分析：在生產(chǎn)和銷售分析：在生產(chǎn)和銷售(xioshu)(xioshu)商品過程中，商品銷售商品過程中，商品銷售(xioshu)(xioshu)量、量、生產(chǎn)成本與銷售生產(chǎn)成本與銷售(xioshu)(xioshu)價格價格 是相互影響的。廠商只有選是相互影響的。廠商只有選擇合理的銷售擇合理的銷售(xioshu)(xioshu)價格價格最優(yōu)價格最優(yōu)價格, ,才能獲得最大利潤。才能獲得最大利潤。第31頁/共36頁第三十二頁，共37頁。( , , , , )L x p c ()pc x()apxMe0(ln )(4)cckx第32頁/共36頁第三十三頁，共37頁。()0(5)xLpckx0(6)appLxaM0(7)cLx 0(8)apLxMe0ln0(9)Lcckx第33頁/共36頁第三十四頁，共37頁。)10()(ln0apMkcc由(8)(