1、第三節(jié)極限承載力的計(jì)算在土力學(xué)的發(fā)展中，已經(jīng)提出了許多極限荷載公式，1920年普朗特首先根據(jù)塑性平衡理論導(dǎo)出了介質(zhì)達(dá)到極限荷載時(shí)，沿著曲面發(fā)生滑動的數(shù)學(xué)方程，并認(rèn)為介質(zhì)的抗剪強(qiáng)度性質(zhì)，可以用強(qiáng)度指標(biāo)C,9表示，但是，他的研究結(jié)果只適用于無重量的介質(zhì)的極限平衡平面課題。隨后不少學(xué)者根據(jù)他的研究結(jié)果，引用來求解地基土的極限荷載，并進(jìn)一步作了不同形式的修正和補(bǔ)充，以便在工程中加以應(yīng)用。太沙基根據(jù)普朗特相似的概念，導(dǎo)出了考慮地基土自重影響的極限荷載公式。但這些公式都忽略了基礎(chǔ)底面以上覆蓋土層的抗剪強(qiáng)度的影響，故只適用于計(jì)算淺基礎(chǔ)的極限荷載。梅耶霍夫進(jìn)一步考慮了基礎(chǔ)底面以上覆蓋層的抗剪強(qiáng)度的影響，從而提

2、出了淺基礎(chǔ)和深基礎(chǔ)的極限荷載公式。一普朗特爾極限承載力公式普朗特爾公式是求解寬度為b的條形基礎(chǔ)，置于地基表面，在中心荷載P作用下的極限荷載Pu值。普朗特爾的基本假設(shè)及結(jié)果，歸納為如下幾點(diǎn)：（1）地基土是均勻，各向同性的無重量介質(zhì)，即認(rèn)為土的丫二0，而只具有C，9的材料。（2）基礎(chǔ)底面光滑，即基礎(chǔ)底面與土之間無摩擦力存在，所以基底的壓應(yīng)力垂直于地面。（3）當(dāng)?shù)鼗幱跇O限平衡狀態(tài)時(shí)，將出現(xiàn)連續(xù)的滑動面，其滑動區(qū)域?qū)⒂衫士现鲃訁^(qū)I，徑向剪切區(qū)II或過渡區(qū)和朗肯被動區(qū)III所組成。其中滑動區(qū)I邊界BC或AC為直線，并與水平面成（45+9/2）角；即三角形ABC是主動應(yīng)力狀態(tài)區(qū)；滑動區(qū)II的邊界CE或C

3、D為對數(shù)螺旋曲線，其曲線方程為r=re%0，r0為起始矢徑；e為射線r與r0夾角，滑000動區(qū)III的邊界EG，DF為直線并與水平面成（45G/2）角。（4）當(dāng)基礎(chǔ)有埋置深度d時(shí)，將基礎(chǔ)底面以上的兩側(cè)土體用相當(dāng)?shù)木汲dq二丫d來代替。根據(jù)上述的基本假設(shè)，采用剛體平衡方法或特征線法，可以得到地基極限承載力為：p=rdN+cNuqc式中：r：基礎(chǔ)兩側(cè)土的容重d：基礎(chǔ)的埋置深度N,N:承載力系數(shù)，它們是土的內(nèi)摩擦角®的函數(shù)，可查下表:qcQ其中Nq=e冗tg®tg2(45o+)2Nc=(Nq一l)ctg®NrNqNcNrNqNc001.005.14246.909.61

4、19.320.011.205.69269.5311.922.340.051.436.172813.114.725.860.141.726.823018.118.430.280.272.067.523225.023.235.5100.472.478.353434.529.542.2120.762.979.293648.137.850.6141.163.5810.43867.448.961.4161.724.3311.64095.564.275.4182.495.2513.14213785.493.7203.546.4014.844199115118224.967.8216.94524113413

5、3二、斯肯普頓地基極限承載力公式對于矩形基礎(chǔ)，斯肯普頓(1952年)給出的地基極限承載力公式為:P5c(1+-b)(1+d)+ydu5l5b0c地基土粘聚力；b、l分別為基礎(chǔ)的寬度和長度；Y0基礎(chǔ)埋置深度d范圍內(nèi)土的重度。三太沙基極限承載力公式對于均勻地基上的條形基礎(chǔ)，當(dāng)受中心荷載作用時(shí)，若把土作為有重量的介質(zhì)，即Y不等于零，求其極限承載力時(shí)，太沙基作了如下假設(shè)：1基礎(chǔ)底面粗糙，即的與土之間有摩擦力存在當(dāng)?shù)鼗_(dá)到破壞并出現(xiàn)連續(xù)的滑動面時(shí)，其基底下有一部分土體將隨著基礎(chǔ)一起移動而處于彈性平衡狀態(tài)，該部分土體稱為彈性核或叫彈性契體，如圖8-9中ABC所示。彈性核的邊界AC或BC為滑動面的一部分，它

6、與水平面的夾角為9，而它的具體數(shù)值又與基底的粗糙程度有關(guān)。2. 當(dāng)把基底看作是完全粗糙時(shí)，則滑動區(qū)域由徑向過渡區(qū)剪切區(qū)II和朗肯被動區(qū)III所組成。其中滑動區(qū)域II的邊界CE和DC為對數(shù)螺旋曲線，其曲線方程為(r0為起始矢徑)朗肯區(qū)域III的邊界DFA為直線，它與水平面成(450G/2)角。3. 當(dāng)基礎(chǔ)有埋置深度時(shí)，則基底以上兩側(cè)的土體用相當(dāng)?shù)木汲dq=yd來代替。根據(jù)上述假定，經(jīng)推導(dǎo)可得地基的極限承載力+qN+cNqc1二一rbN2r式中：Nr，叫，Nc稱為承載力系數(shù)，都是土的內(nèi)摩擦角9的函數(shù)。3e（2兀9）tg9其中：Nq=2cos2（45o+才）Nc=（Nq一1）ctg9但對Nr，太沙

7、基并未給出公式。太沙基將Nr，叫，Nc可以查表84得。幾點(diǎn)說明：(1) 當(dāng)把基礎(chǔ)底面假定為光滑時(shí)，則基底以下的彈性核就不存在，而成為朗肯主動因了,而AC面與水平面的夾角巾=(45o+©/2)而整個(gè)滑動區(qū)域?qū)⑼耆c普朗特爾的情況相似,因此，由C,q所引起的承載力系數(shù)即可直接取用普朗特爾的結(jié)果，即：N=e冗tg9tg2(45o+)q2N=(Nq一1)ctg9c而由土容重丫所引起的承載力系數(shù)則采用下列半經(jīng)驗(yàn)公式來表達(dá)：N=1.8Nctg29r將N=e兀tg申tg2(45o+)q2N=(N一l)ctg申cqN=1.8Ntg2申rc1代入：p=rbN+qN+cNu2rq即可得基礎(chǔ)底面完全光滑情

8、況下的太沙基地基極限承載力，或Nq,Nc，Nr可直接查表取得。2）太沙基承載力公式都是在整體剪切破壞的條件下得到的，對于局部剪切破壞時(shí)的承載力，應(yīng)進(jìn)行修正。-2c=c32tg=3tg申,再用修正后的C，p，就可計(jì)算局部剪切破壞時(shí)松軟土的地基承載力=1rbN'+qN'+CN2rqc式中：N，N'，N:修正后的承載力系數(shù)。cqr3）對于方形或圓形基礎(chǔ)，太沙基建議用下列修正公式計(jì)算地基極限承載力：圓形基礎(chǔ)：p=0.6rRN+rdN+1.2cN整體破壞urrqcpur=0.6rRN'+rdN'+1.2CN'rqc局部破壞方形基礎(chǔ)：p=0.4rbN+rdN

9、+1.3cN整體破壞usrqcp=0.4rbN'+rdN'+1.3cN'局部破壞usrqc4地基的容許承載力將上述各公式算出的極限承載力Pu，除以安全系數(shù)K，即得到地基的容許承載力p=分在設(shè)計(jì)時(shí)，基底壓力p應(yīng)滿足pWp的要求。例題1：某辦公樓采用磚混結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)。設(shè)計(jì)基礎(chǔ)寬度b=1.50m,基礎(chǔ)埋深d=1.4m,地基為粉土，Y=18.0kN/m3,申=30度，c=10kPa,地下水位深7.8m,計(jì)算此地基的極限荷載和地基承載。1解：(1)條形，由太沙基公式：p二rbN+qN+cNu2rqc因?yàn)樯甓?0o，查得，N=19,N=35,N=18rcq代入公式p=18.0X1.5X

10、192+10X35+18.0X1.4X18=1060.1kPaup(2)地基承載力：p=p=1060.1/3.0=353.4kPaK例題2：在例題1中，若地基的申為20度，其余條件不變，求p和pu解：(1)當(dāng)0二20。，查曲線：Nr=4，Nc=17.5,Nq=7,1二一rbN2r+qNq+cNcp=18.0X1.5X4三2+10X17.5+18.0X1.4X7=405.4kPaup(2)p=-=405.4/3.0=135kPaK評論：由上兩例計(jì)算結(jié)果可見：基礎(chǔ)的形式，尺寸與埋深相同，地基土的丫，c不變，只是P由30度減小為20度，極限荷載與地基承載力均降低為原來的38%，可知：P的大小，對p和

11、p影響很大。u四、考慮其它因素影響時(shí)的極限承載力計(jì)算公式1、漢森極限承載力公式對于均質(zhì)地基基礎(chǔ)底面完全光滑，在中心傾斜荷載作用下，漢森建議按下式計(jì)算豎向地基極限承載力。1p=ybNsdid+ydNsdi+csdiNu2rrrrrqqqqccccc式中：(1)s，s，s為基礎(chǔ)的形狀系數(shù)，丫qc?。篵=1-0.4i>0.6lr=1+isin申lq=1+0.2-ilcNb=1+qNlcb=1+嚴(yán)申=1-0.4-l(2)ir,iq,ic為荷載傾斜系數(shù)10.7P人0ir=1-h©0p+cActg=(1-(°.7-H0/4500)ph)5©0p+cActgiq=(1-0

12、.5P)5©0p+cActgic=(iq-N-)Nq-13)d,d,d深度修正系數(shù)rqc=1=1+2tg申(1-sin申)2B=1+0.40D,d=1+0.35Bcb4)g,g,g地面傾斜系數(shù)rqcgrgc=(1-0.5tg卩)5x1475) -,-,-基底傾斜系數(shù)rqc-=exp(-2.7qtgqr-=exp(-2qtgq)q-=1-n/14.7c6) Nr，Nc，Nq承載力系數(shù)，由下式表示Nq=e冗tg®2Nc=(Nq-1)ctg®上式中Bn分別為地面和基底的傾角。Nr=1.8Nctg2®幾點(diǎn)說明：(1) 應(yīng)用公式時(shí)，應(yīng)滿足p7<CaA+ptg

13、5，以保證基底不因水平力過大而產(chǎn)生水平滑h動。Ph：作用在基底上的水平分力P：作用在基底上的垂直分力Ca:為基底與土之間的粘滯力5：為基底與土之間的摩擦力A=LXB(2) 當(dāng)基底受到偏心荷載作用時(shí)，先將其換成有效的基底面積，然后按中心荷載情況下的極限承載力公式進(jìn)行計(jì)算。若條形基礎(chǔ)，其荷載的偏心距為e,則用有效寬度B'=B-2e，來代替原來的寬度B。若是矩形基礎(chǔ)，并且在兩個(gè)方面均有偏心，則用有效面積A'=B'XL'來代替原來的面積A。其中B'=B-2eB,L'=L-2eL(3) 對于成層土所組成的地基，當(dāng)各土層的強(qiáng)度相差不大的情況下，漢森建議按下式

14、近似確定持力層的深度。Z=NBmax式中：入：為系數(shù)，根據(jù)土層平均內(nèi)摩擦角和荷載的傾角B從下表查出：B：為基礎(chǔ)的原寬度。入值表：單位為(度)tgB、W2021353645W0.20.61.202.000.210.300.40.901.600.310.400.20.601.20持力層范圍內(nèi)土的容重和強(qiáng)度指標(biāo)按層厚求其平均值：_工rihir=二乙hi_工cihic=乙hi工申ihi0=E式中tq,叫分別為第i土層的容重，凝聚力和內(nèi)摩擦角，hi為第i層的厚度。例題：有一寬4m的條形基礎(chǔ)，埋置在中砂層下2米深處，其上作用中心傾斜荷載（豎直分量P=900Kn/m,水平方向Ph=150Kn/m）中砂層的內(nèi)

15、摩擦角巾=32度，濕容重r=18.5Kn/m3浮容重r'=9.5Kn/m3,距基底2米處有一粘土層，其固結(jié)不排水剪的強(qiáng)度指標(biāo)為C=18Kn/mj巾=22度，浮容重r'=9.7Kn/m3,設(shè)地下水位與基底齊平，試按漢森公式確定地基的極限承載力。解：荷載的傾斜率：tgB=Ph/P=150/900=0.17該地基屬層狀地基，應(yīng)先確定持力層的最大深度Zmax值，為此固結(jié)tgB=0.17并假設(shè)土層的平均內(nèi)摩擦角曠=2135之間，從表查得入=1.2，于是公式Zmax=NB可得Zmax=1.2X4=4.8m,求持力層內(nèi)土層的平均指標(biāo)：rh+rh9.5x2+9.7x2.8.r=亠=9.6Kn/m3h+h2+2.812_ch+ch0x2+18x2.8“十.c=-1=10.5Kn/m3h+h2+2.832X2+22X282602+2.812申h+申h卩=11h+h12可見求得的曠在假設(shè)范圍內(nèi)，查表可得:Nr=9.53，Nq=11.90，Nc=22.3求荷載傾斜系數(shù)：i=(1-0.7Ph)5=0.57rp+cBctgi=(1-0.-)5=0.67qp+cBctg申1-i1-0.67i=(i-j)=0.67-沁0.64cqNq-111.90-1求深度修正系數(shù)：d=1rd=1+2tg申(1-sin申)2=1.158qB=1+04J=12gr所以gc地面傾斜系數(shù)：a=0,