1、高等幾何試題一、填空題（每題3分，共27分）1、兩個三角形面積之比是（）。2、相交于影消線的二直線必射影成（）。3、如果兩個三點形的對應(yīng)頂點連線共點，則這個點叫做（）。4、一點X二（x,x,x）在一直線u=li,u,u上的充要條件是123123（）。5、已知(pp,pp)=3,則(pp,pp)=(12344321)，(p1p3,p2p4)=(）。6、p3,p4和pi，p2如果四直線p,p,p,p滿足(pp,pp)=1,則稱線偶12341234）。7、兩個點列間的一一對應(yīng)是射線對應(yīng)的充要條件是（）。8、不在二階曲線上的兩個點P（ppp），Q（qqq）關(guān)于二階曲線123123S三乂axx=0成共軛

2、點的充要條件是（）。ijij9、仿射變換成為相似變換的充要條件是（）。二、計算題（每題8分，共56分）1、計算橢圓的面積（橢圓方程：乂+竺=1a,b>0）a2b22、求共點四線l:y=kx，l:y=kx，l:y=kx，l:y=kx的父比。11223344px'=-x1 i3、求射影變換Jpx'=x的不變元素。2 2pxr=x、334、求二階曲線6x2-x2-24x2+11xx二0經(jīng)過點P（1,2,1）的切線方程。123235、求雙曲線x2+2xy-3y2+2x-4y二0的漸近線方程。6、求拋物線2x2+4xy+2y24x+1二0的王軸和頂點。7、求使三點0(0,X)，E(

3、1,1)，P(1,-1)順次變到點O2,3)，E，(2,5)，P(3,7)的仿射變換。三、已知A(1,2,3)，B(5,-1,2)，C(11,0,7)，D(6,1,5)，驗證它們共線并求(AB,CD)的值。(8分)四、求證：兩個不同中心的射影對應(yīng)線束對應(yīng)直線的交點構(gòu)成一條二階曲線。(9分)答案1、仿射不變量2、平行直線3、透視中心4、7、ux+ux+ux=0112233任何四個對應(yīng)點的交比相等5、326、8、9、這個變換使圓點保持不變調(diào)和分離S=0pqa2b2x=x經(jīng)過仿射變換ay=yb其對應(yīng)圖形為圓。x2+y2=a2在仿射變換之下，AT，BTB，OTO，所以MOB對應(yīng)AAOBr，1、解：設(shè)在

4、笛氏直角坐標系下橢圓的方程為乂+22=i其中A三A，根據(jù)定理3.6推論2,有橢圓面積圓面積Saaobaa'ob'所以橢圓面積ab2因此所給橢圓的面積為兀ab。2、解：化為齊次方程：l:x-kx=01211l:x-kx=03231取a:x=0,b:x=0為基線，則有211 :x-kx=02 221l:x-kx=04241l(a一kb),l(a一kb),l(a一kb),l(a一kb)11223344由定理1.11的推論，得(ll,ll)二1234(-k+k)(k+k)1 32(-k+k)(-k+k)2 3143、解：由方程一1一卩0001y0=0(1+卩)(1卩)(1卩)=0所以y

5、1y=1（重根）2將y=1代入（3.4.3）得'（1一1）y+0y+0y=0123<0y+（11）y+0y=01230y+0y+（11）y=0123于是得y=0為不變點列（即y軸），y=0這條直線上的點都是不變點,11因此這條直線是不變直線。4、解：將P點的坐標代入二階曲線方程中得S=0pq所以P點在二階曲線上，故切線方程為S=0p(60、0(x)即(1,2,1)0一1%1x201%24Vx丿3V/2丿亦即12x+7x26x=0=0為所求切線方程。1235、解：設(shè)漸近線的方程為ax+ax+ax+k(ax+ax+ax)=0111122133121222323根據(jù)（2.9）有3k2+

6、2k+1=0解之，得k=1,k=-1，所以漸近線方程為123x+y+1+(x-3y-2)=0和x+y+1-3(x-3y-2)=0化間，得所求為2x2y1=0和2x+6y+5=0。代入(4.11)，得主軸為即4(2x+2y-2)+4(2x+2y)=02x+2y-1=0因為A=2-2=4,A=-2-2=-4312032206、解：于是有解此方程組，得a=2，a=3，1323故所求的仿射變換為2=a133=a232=a+a+a1112135=a+a+a2122233=a-a+a111213-7=a-a+a2122231，1!=，a二112122aa=-4，a=62122解方程12x2+4xy+2y2

7、-4x+1=02x+2y-1=0得頂點之坐標為(_,_)。887、解：設(shè)所求仿射變換為x=ax+ay+a11121323y'=ax+ay+a21221=x一2y'=-4x+6y+3三、解：因為I 23512=0II 07所以A,B,C,D共線。設(shè)C二A+九B,D=A+九B12由11=1+2x5,0=2+2x(1),7=3+2x2得V=21同理可得V=12所以V(AB,CD)=才=22四、證明：射影平面上建立了射影坐標后，設(shè)兩個線束的方程分別為：a九B=0（1）«/九0=0（2）3)1.3)由于它們是射影對應(yīng)，所以九,”滿足：a九九'+b九+c九'+d二0(adbc豐0)從(1),(2),(3)中消去九,V得（B）（B）+b（B）+c（B）+d=0即aaaf+baP'+cap+d