1、Heat Capacity of Solids固體熱容 在十九世紀(jì)，由實(shí)驗(yàn)得到在室溫下固體的比熱是由杜隆-珀替定律給出的：BAvKNRC33 熱容是一個(gè)與溫度和材料都無(wú)關(guān)的常數(shù)。其中R=NAKB，NA是阿伏伽德羅常數(shù)（6.031023 atoms /mole）KB是玻爾茲曼常數(shù)（1.3810-16爾格/開(kāi)，爾格是功和能量的單位1焦耳=107爾格）?；叵胍幌?，1卡路里= 4.18焦耳= 4.18107爾格。因此，（2.90）所給出的結(jié)果6vCcal/deg mole（2.91）（2.90）固體比熱的經(jīng)典理論固體比熱的經(jīng)典理論 杜隆-珀替定律的解釋是基于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)的均分定理的基礎(chǔ)之上的，該定理假

2、設(shè)每個(gè)原子關(guān)于它的平衡位置做簡(jiǎn)諧振蕩，那么一個(gè)原子的能量就為：222222222121212zyxkpppmkrmpEzyx（2.92） 在一個(gè)處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)中，能量均分定理指出:TkmpBx2122 對(duì)于上式中的其他項(xiàng)也都適用，因此在溫度T時(shí)每個(gè)原子的能量都為 E=3kBT固體比熱的經(jīng)典理論固體比熱的經(jīng)典理論1摩爾原子的能量則為RTTKNUBA33（2.93） 隨后，Cv, 由（2.90）式給出。后來(lái)發(fā)現(xiàn)，杜隆-珀替定律只適用于足夠高的溫度。對(duì)于一個(gè)典型固體 Cv 的值被發(fā)現(xiàn)隨溫度的影響具有如圖2.9所示的行為。vvTUC固體比熱的經(jīng)典理論固體比熱的經(jīng)典理論 由圖可知，在低溫時(shí)，熱容量不

3、再保持為常數(shù)，而是隨溫度的下降很快趨向于零。固體比熱的經(jīng)典理論固體比熱的經(jīng)典理論 為了解決這一問(wèn)題，愛(ài)因斯坦提出了量子熱容理論。根據(jù)量子理論，各個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量本征值是量子化的，即jjnjnE21（n nj j= =整數(shù)）整數(shù)）Modern Theory of the Specific Heat of Solids 固體比熱的現(xiàn)代理論固體比熱的現(xiàn)代理論 把晶體看作一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡(jiǎn)諧近似下引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)Qi（i=1,23N）來(lái)描述振子的振動(dòng)?？梢哉J(rèn)為這些振子獨(dú)立的子系，每個(gè)諧振子的的統(tǒng)計(jì)平均能量：jjjjjjjjjjexp12expnnBBnnk TEnk TkT1 令121E jejjj 零

4、點(diǎn)能平均熱能Modern Theory of the Specific Heat of Solids 固體比熱的現(xiàn)代理論固體比熱的現(xiàn)代理論jjjjjjjjjjexp12expnnnnEn 1exp2nnn jjjj)exp(1121jjn12exp()1 jjj12Enjjj其中其中1exp1TknBjj 平均聲子數(shù)平均聲子數(shù)在一定溫度下，晶格振動(dòng)的總能量為：在一定溫度下，晶格振動(dòng)的總能量為：01( )2exp1BEEE Tk TjjjjjHeat Capacity of Solids固體熱容121E jejjj 上式對(duì)T求微商，得到晶格熱容： 21/2TkTkBjBjjvBjBjeeTkkd

5、TTEdC上式分析了頻率為j的振子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)，晶體中包含有3N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，總能量為：31EE (T)NjjHeat Capacity of Solids固體熱容 NjNjjjVdTTdC3131V)(EC總熱容就為：愛(ài)因斯坦模型假設(shè)晶體中原子的振動(dòng)是相互獨(dú)立的, , 而且所有原子都以同一頻率 0 0 振動(dòng)。2/ / 20V13C 00kTkTeekTNk0 的值由實(shí)驗(yàn)選定，使理論與實(shí)驗(yàn)一致。的值由實(shí)驗(yàn)選定，使理論與實(shí)驗(yàn)一致。 不足之處：模型過(guò)于簡(jiǎn)化，得到的結(jié)果以指數(shù)形式趨于不足之處：模型過(guò)于簡(jiǎn)化，得到的結(jié)果以指數(shù)形式趨于0，與實(shí)驗(yàn)中以與實(shí)驗(yàn)中以T3 變化不符。變化不符。 Einstein模

6、型趨于零模型趨于零 的速度太快！的速度太快！ 該模型的成功之處：證明該模型的成功之處：證明0C , 0VTEinstein模型模型由固體比熱的現(xiàn)代理論可知： 經(jīng)典的能量均分定理可以很好地解釋室溫下晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。經(jīng)典的能量均分定理可以很好地解釋室溫下晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。困難：低溫下晶格熱容的實(shí)驗(yàn)值明顯偏小，且當(dāng)困難：低溫下晶格熱容的實(shí)驗(yàn)值明顯偏小，且當(dāng)T0時(shí)，時(shí)， CV 0，經(jīng)典的能量均分定理無(wú)法解釋。，經(jīng)典的能量均分定理無(wú)法解釋。2. Einstein模型模型在一定溫度下，由在一定溫度下，由N個(gè)原子組成的晶體的總振動(dòng)能為：個(gè)原子組成的晶體的總振動(dòng)能為： 003exp1BE TNk T 假

7、設(shè)：晶體中各原子的振動(dòng)相互獨(dú)立，且所有原子都假設(shè)：晶體中各原子的振動(dòng)相互獨(dú)立，且所有原子都 以同一頻率以同一頻率 0振動(dòng)。振動(dòng)。0.const即：即：02020exp3exp1BVBBBk TECNkTk Tk T定義定義 Einstein溫度：溫度：0EBk 02020exp3exp1BVBBBk TCNkk Tk Tv 高溫下：高溫下：T E 即即0Bk T2020013expexp22VBBBBCNkk Tk Tk T20200131122BBBBNkk Tk Tk T 3BNk02020exp3exp1BVBBBk TCNkk Tk Tv 在低溫下：在低溫下：T D，即，即0DDxT0

8、2393DxVBBDTCNkx dxNk4032DT91xVBxx e dxCNke403291xBxDTx edxNke40329111122DxVBDTx dxCNkxx v 在低溫下：在低溫下：T D，即，即 DDxT 利用利用Taylor展開(kāi)式：展開(kāi)式：23()(1)()(1)(2)11()2!3!nnnnnnn 40329123xxxVBDTCNkx eeedx40319nxBnDTNkxnedx利用積分公式：利用積分公式：0111!mammmmedaa40319nxBnDTNknx edx 3514!9VBnDTCNknn433125BVDNkTCT 這表明，這表明，Debye模型

9、可以很好地解釋在很低溫度下晶格熱容模型可以很好地解釋在很低溫度下晶格熱容CV T3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 由此可見(jiàn)，由此可見(jiàn)，用用Debye模型來(lái)解釋晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相當(dāng)成功的，尤模型來(lái)解釋晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相當(dāng)成功的，尤其是在低溫下，溫度越低，其是在低溫下，溫度越低，Debye近似就越好。近似就越好。441190nn幾種材料晶格熱容量理論值與實(shí)驗(yàn)值的比較幾種材料晶格熱容量理論值與實(shí)驗(yàn)值的比較 Tqyqx mqmqT 在非常低的溫度下，由于短波聲子的能量太高，不會(huì)被熱激發(fā)，而被在非常低的溫度下，由于短波聲子的能量太高，不會(huì)被熱激發(fā)，而被“冷凍冷凍”下來(lái)。所以下來(lái)。所以 的聲子對(duì)熱容幾乎

10、沒(méi)有貢獻(xiàn)；只有那些的聲子對(duì)熱容幾乎沒(méi)有貢獻(xiàn)；只有那些 的長(zhǎng)波聲子才會(huì)被熱激發(fā)，對(duì)熱容量有貢獻(xiàn)。的長(zhǎng)波聲子才會(huì)被熱激發(fā)，對(duì)熱容量有貢獻(xiàn)。Bk TBk T在在q空間中，被熱激發(fā)的聲子所占的體積比約為空間中，被熱激發(fā)的聲子所占的體積比約為3Tmqq由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所獲得的能量為：由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所獲得的能量為：3( )3BDTE TNk T3312VBDETCNkTT3Tm3DT CV T3必須在很低的溫度下才成立，大約要低到必須在很低的溫度下才成立，大約要低到T D/50，即約，即約10 K以下才能觀察到以下才能觀察到CV隨隨T3變化。變化。 Debye模型在解釋晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果方面已經(jīng)證明是相

11、當(dāng)成功模型在解釋晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果方面已經(jīng)證明是相當(dāng)成功的，特別是在低溫下，的，特別是在低溫下， Debye理論是嚴(yán)格成立的。但是，需要指出的理論是嚴(yán)格成立的。但是，需要指出的是是Debye模型仍然只是一個(gè)近似的理論，仍有它的局限性，并不是一個(gè)模型仍然只是一個(gè)近似的理論，仍有它的局限性，并不是一個(gè)嚴(yán)格的理論。嚴(yán)格的理論。In的的Debye溫度溫度 D隨溫度的變化隨溫度的變化density of states模式密度（態(tài)密度？）g()確定振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)方法 晶格振動(dòng)的q關(guān)系，稱格波的色散關(guān)系，也稱晶格振動(dòng)譜。原則上聲子對(duì)X-ray、光子和中子的散射可以通過(guò)入射波的非彈性散射反映，測(cè)量散射束可以得到聲子信息。 固體物理學(xué)書(shū)上介紹的是中子的非彈性散射，也是最重要的實(shí)驗(yàn)方法，除此之外還有X射線散射，光的散射等。中子的非彈性散射： 為什么說(shuō)中子的