1、GM(1,1)預測模型應用舉例灰色預測是基于GM(1,1)預測模型的預測，按其應用的對象可有四種類型：(1) 數(shù)列預測。這類預測是針對系統(tǒng)行為特征值的發(fā)展變化所進行的預測。(2) 災變預測。這類預測是針對系統(tǒng)行為的特征值超過某個闕值的異常值將在何時出現(xiàn)的預測。(3) 季節(jié)災變預測。若系統(tǒng)行為的特征有異常值出現(xiàn)或某種事件的發(fā)生是在一年中的某個特定的時區(qū)，則該預測為季節(jié)性災變預測。(4) 拓撲預測。這類預測是對一段時間內(nèi)系統(tǒng)行為特征數(shù)據(jù)波形的預測。例1(數(shù)列預測)：設原始序列X(0)二(x(0)(1),x(o)(2),x(o)(3),x(o)(4),x(o)(5)二(2.874,3.278,3.3

2、37,3.390,3.679)試用GM(1,1)模型對X(0)進行模擬和預測，并計算模擬精度。解：第一步：對X(0)進行一次累加，得X(1)二(2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步：對X(0)作準光滑性檢驗。由()x(0)(k)P(k)二x(k1)得p沁0.54,p(4)沁0.36<0.5,p(5)沁0.29<0.5。當k>3時準光滑條件滿足。第三步：檢驗X是否具有準指數(shù)規(guī)律。由x(1)(k)G(i)(k)=1+P(k)x(1)(k1)得61)沁1.54Q(4)沁1.36Q(5)沁1.29當k>3時，6D(k)w1,1.5,8<0

3、.5，準指數(shù)規(guī)律滿足,故可對X建立GM(1,1)模型。第四步：對X(i)作緊鄰均值生成，得Z(1)二(4.513,7.820,11.184,14.718)于是z(1)(2)1-4.5131X(0)(2)3.278-z(3)1-7.8201,Y=X(0)3.337一z1-11.1841X(0)(4)3.39(_-z(1)(5)1-14.7181X(0)(5)3.67丫B第五步：對參數(shù)列a=a,bT進行最小二乘估計。得&=(BtB)-1BtY=-0.037卡30653第六步：確定模型如-0.0372(1)=3.0653dt及時間響應序列bbX(k+1)=(x(o)(1)-)e-ak+=85

4、.276151e0.0372k-82.402151aa第七步：求X(1)的模擬值X=(X(1),X(2),X(1),X(1)(4),X(5)=(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.555)8第八步：還原求出X(0)的模擬值。由X(0)(k+1)=a(1)X(1)(k+1)=X(1)(k+1)-X(1)(k)得X(0)=(X(0),X(0)(2),X(0)(3),X(0)(4),X(0)(5)=(2.874,30.232,30.354,35.481,37.613)6第九步：檢驗誤差。由下表可算出殘差平方和誤差檢驗表序號實際數(shù)據(jù)X(0)(k)模擬數(shù)據(jù)X(0)(k)殘差&

5、#163;(k)=X(0)(k)-X(0)(k)相對誤差A=1£(k)lkX(0)(k)23.2783.23000.04601.40%33.3373.3545-0.01750.52%43.3903.4817-0.09172.71%53.6793.61360.06541.78%第十步：預測X(k+1)平均相對誤差1.6025%x(1)(6)=85.276151e0.0372x5-82.402151=20.3063X(0)(6)=3.7505X(1)(7)=85.276151e0.0372x6-82.402151=24.1991X(0)(7)=3.8928例2(災變預測)：某企業(yè)生產(chǎn)用原

6、料屬受自然災害影響較大的農(nóng)產(chǎn)品。一般來說，自然災害的發(fā)生有其偶然性，但對歷史數(shù)據(jù)的整理，仍可發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律性。為盡量減少生產(chǎn)不受自然災害的影響，該企業(yè)希望了解影響原料供應的規(guī)律性并提前做好原料儲備，所收集數(shù)據(jù)見下表，并規(guī)定每畝平均收獲量小于320千克時為欠收年份，將影響原料的正常供應，現(xiàn)應用灰色災變預測來預測下次發(fā)生欠收的年份。原料收獲統(tǒng)計表年份199119921993199419951996199719981999收獲量(千克)390.6412320559380542553310561年份20002001200220032004200520062007收獲量(千克)300632540406.

7、2314576587318第一步：將上表中年份用序號替換，并找出收獲量小于320千克的年份序號形成初始序列®(0)。本例初始序列：®(0)=(3,8,10,14,17)一次累加生成序列：®(1)二(3,11,21,35,52)®(1)的緊鄰均值生成序列：Z(1)二(7,16,28,43.5)第二步：按Z(1)建GM(1,1)模型。a二(btb)-1bty二-0.253616.25834z(1)(2)1-71o(0)(2)-8_z(1)(3)1161,Y=o(0)(3)10z(1)(4)1281o(0)(4)14_z(5)143.51o(0)(5)17bb

8、co(1)(t+1)=®(0)(t)e-at+=27.67702e0-25361t24.67702aa第三步：預測當t=6時，0(1)(6)二73.684亦(0)(6)二21.6848因此，下次發(fā)生收獲量小于320千克的年份為：2011年至2012年，即四至五年后將出現(xiàn)欠收年份。其他預測類型見參考書。二殘差GM(1,1)模型當GM(1,1)模型精度不符合要求時，可使用殘差序列建立GM(1,1)模型，對原來模型進行修正，以提高精度。定義4設8(0)=(8(0)(1),8(0)(2),.,8(0)(n)其中，8(k)=x(o)(k)-x(1)(k)為X的殘差序列。若存在k°，滿

9、足1. Vk>k,8(k)的符號一致；02. n一k>4，則稱0(|8(0)(k)|,|(n)|)00為可建模殘差尾段，仍記為8=(8(0)(k),8(0)(k+1),.,8(0)(n)00命題1設8(0)二(8(0)(k),8(k+1),.,8(n)為可建模殘差尾段，其一次累加序00列8(1)=(8(1)(k),8(1)(k+1),.,8(1)(n)00的GM(1,1)模型的時間響應式為k>k0k>k0bb8(1)(k+1)=(8(0)(k)一8-)e-a8(k-k0)+4,0aa88則殘差尾段的模擬序列為8=(C(0)(k),8(0)(k+1),.,8(0)(n)0

10、0其中b8(0)(k+1)=(一a)(8(0)(k)一8-)e一侄伙一©),80a8定義5若用8八(0)修正X(1)則稱修正后的時間響應式(X(0)(1)e-ak+2,x(k+1)=<aabbb(x(0)(1)e一ak+±a(8(0)(k)8-)e一a8(k一鈿,k>kaa80a08為殘差修正GM(1,1)模型，簡稱殘差GM(1,1)。其中殘差修正值4)e-a£k-k。a(0)(k+1)二(-a)(e(0)(k)-e0的符號應與殘差尾段e(0)的符號保持一致。b定義6若x(o)(k)=X(k)-x(i)(k-1)=(1-ea)(X(0)(1)-)e-a

11、(k-i)則相應的殘差修ab(1一ea)(x(0)(1)一)e-ak,k<ka0x(0)(k+1)=正時間響應式1bb(1-ea)(x(0)(1)-)e-ak±a(e(0)(k)e一ae(k-k0,ae0a稱為累減還原式的殘差修正模型。例題湖北省云夢縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù)為X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5),x(0)(6),x(0)(7),x(0)(8),.,x(0)(13)=(6,20,40,25,40,45,35,21,14,18,15.5,17,15)建立GM(1,1)模型，得時間響應式為x(1)(k+1)=567.999

12、e-0.06486k+573.999作累減還原，得X(0)=X(0)(k)132=(35.6704，33.4303，31.3308，29.3682，27.5192，25.7900，24.1719，22.6534，21.230719.8974，18.6478，17.4768)檢驗其精度：列出誤差檢驗表誤差檢驗表序號實際數(shù)據(jù)x(0)(k)模擬數(shù)據(jù)x(0)(k)殘差e(k)=x(0)(k)-x(0)(k)相對誤差A=1e(k)lkx(0)(k)22035.6704-15.670478.3540%34033.43036.569716.4242%42531.3308-6.330825.3232%5402

13、9.368210.631826.5795%64527.519217.480838.8642%73525.79019.209926.3140%82124.1719-3.171915.1043%91422.6534-8.653461.8100%101821.2307-3.230717.9483%1115.519.8974-4.397428.3703%121718.6478-1.64789.6926%131517.4768-2.476816.5120%平均相對誤差30.11%由此可見，相對精度不到70%，需采用殘差模型進行修正。取k0=9,得殘差尾段£(0)二(£(0)(9),&

14、#163;(0)(10),£(0)(11),£(0)(12),£(0)(13)二(一8.653,43.230,74.397,41.647,-82.476)8此為可建模殘差尾段，去絕對值，得£(0)二(8.6534,3.2307,4.3974,1.6478,2.4768)建立GM(1,1)模型，得£(0)的一次累加序列£(1)的時間響應式：£(1)(k+1)=24e-0.16855(k-9)+32.7其導數(shù)還原值為£(0)(k+1)=(0.16855)(24)e-0.168(%一9)=4.0452e-0.168(%一

15、9)b由X(0)(k+1)=X(k+1)-X(1)(k)=(1-ea)(x(0)(1)一_)e-ak=38.0614e-0.06486k可得累a減還原式殘差修正模型為入ZJ八38.0614e-0.06486k,k<9X(0)(k+1)=<38.0614e-0.06486k-4.0452e-0.16855(k-9),k>9其中，£,0)(k+1)的符號與原始殘差序列的符號一致。按此模型，可對k=10,11,12,13四個模擬值進行休整，修正后的精度如下表：誤差檢驗表序號實際數(shù)據(jù)X(0)(k)模擬數(shù)據(jù)X(0)(k)殘差£(k)=X(k)-X(0)(k)相對誤差

16、A二1£(k)|kX(0)(k)101817.18580.81424.52%1115.516.4799-0.97996.32%121715.76041.23967.29%131515.0372-0.03720.25%平均相對誤差4.595%殘差修正GM(1,1)模型的模擬精度得到了明顯提高。因此時殘差序列已不滿足建模要求，若對殘差精度仍不滿意，就只有考慮采用其它模型或?qū)υ紨?shù)據(jù)序列進行適當取舍。三.GM(1,1)模型群在實際建模中，原始數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)不一定全部用來建模。我們在原始數(shù)據(jù)序列中取出一部分數(shù)據(jù)，就可以建立一個模型。一般來說，去不同的數(shù)據(jù)，建立的模型也不一樣，即使都建立同類的

17、GM(1,1)模型，選擇不同的數(shù)據(jù)，參數(shù)a,b的值也不一樣。這種變化，正是不同情況、不同條件對系統(tǒng)特征的影響在模型中的反映。例如我國的糧食產(chǎn)量，若采用建國以來的數(shù)據(jù)建立GM(1,1)模型，發(fā)展系數(shù)-a偏??；而舍去1978年以前的數(shù)據(jù)，用剩余的數(shù)據(jù)建模，發(fā)展系數(shù)-a明顯增大。定義1設序列X(0)=(x(0)(1),x(2),.,x(o)(n)將x(o)(n)取為時間軸的原點，則稱tvn為過去，t=n為現(xiàn)在，t>n為未來。b定義2設序列X(0)=(x(1),x(2),.,x(0)(n)，x(o)(k+1)=(1-ea)(x(o)一一)e-ak，a為其GM(1,1)時間相應式的累減還原值，貝V

18、：1. 當t<n時，稱x(0)(t)為模型模擬值；2. 當t>n時，稱x(0)(t)為模型預測值。建模的主要目的是預測，為提高預測精度，首先要保證有充分高的模擬精度，尤其是t=n時的模擬精度。因此建模數(shù)據(jù)一般應取為包括x(n)在內(nèi)的一個等時距序列。定義3設原始數(shù)據(jù)序列X(0)=(x(1),x(2),.,x(0)(n)1. 用X(0)=(x(0)(1),x(2),.,x(0)(n)建立的GM(1,1)模型稱為全數(shù)據(jù)GM(1,1)；2. Vk>1，用X(0)=(x(0)(k),x(0)(k+1),.,x(0)(n)建立的GM(1,1)模型稱為部分000數(shù)據(jù)GM(1,1)；3. 設

19、x(n+1)為最新信息，將x(n+1)置入X(0)，稱用X=(x(0)(1),x(2),.,x(n),x(0)(n+1)建立的模型為新信息GM(1,1)；4. 置入新信息x(0)(n+1)，去掉最老信息x(0)(1)，稱用X=(x(2),.,x(0)(n),x(0)(n+1)建立的模型為新陳代謝GM(1,1)。很顯然，新信息模型和新陳代謝模型預測效果會更好。任何一個系統(tǒng)隨著時間的推移，將會不斷地有一些隨機擾動或驅(qū)動因素進入系統(tǒng)，使系統(tǒng)的發(fā)展受到影響。因此，在實際預測中，必須不斷地將每一個新數(shù)據(jù)置入，已考慮到這些隨機或驅(qū)動因素。相比之下，新陳代謝模型是最理想的模型。隨著系統(tǒng)的發(fā)展，老數(shù)據(jù)的信息意

20、義將逐步降低，在不斷補充新信息的同時，及時地去掉老數(shù)據(jù)，建模序列更能反映系統(tǒng)在目前的特征。四.GM(1,1)模型的適用范圍可以證明，當GM(1,1)的發(fā)展系數(shù)丨a1>2時，GM(1,1)模型無意義。因此，(一也一222,+8)是GM(1,1)發(fā)展系數(shù)a的禁區(qū)。在此區(qū)間，GM(1,1)模型失去意義。一般地，當Ia1<2時，GM(1,1)模型有意義。但是，隨著a的不同取值，預測效果也不同。通過數(shù)值分析，有如下結(jié)論：(1) 當-a<0.3時，GM(1,1)的1步預測精度在98%以上，2步和5步預測精度都在97%以上，可用于中長期預測；(2) 當0.3<-a<0.5時，GM(1,1)的1步和2步預測精度都在90%以上，10步預測精度也高于80%，可用于短期預測，中長期預測慎用；(3) 當0.5<-a<0.8時，GM(1,1)用作短期預測應十分慎重；(4) 當0.8<-a<1時，GM(1,1)的1步預測精度已低于70%，應采用殘差修正模型；(5) 當-a>1時，不宜采用GM(1,1)模型。