1、1第三章第三章 換面法換面法一、問題的提出一、問題的提出 如何求一般位置直線的實長？如何求一般位置直線的實長？ 如何求一般位置平面的真實大小？如何求一般位置平面的真實大?。?換換 面面 法：法： 物體本身在空間的位置不動，而用某物體本身在空間的位置不動，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使面，使物體相對新的投影面處于解題所需物體相對新的投影面處于解題所需要的有利位置要的有利位置，然后將物體向新投影面進，然后將物體向新投影面進行投射。行投射。解決方法：更換投影面。解決方法：更換投影面。2VHXABabab 老投影體系老投影體系V/H新投影面新投影面

2、V1新投影體系新投影體系V1/HX1新軸新軸老軸老軸a1b1新投影新投影被替換被替換的投影的投影被保留被保留的投影的投影被保留被保留的投影面的投影面被替換被替換的投影面的投影面 3VHAB a b ab二、新投影面的選擇原則二、新投影面的選擇原則1. 新投影面必須對空間物體處于新投影面必須對空間物體處于最有利的解最有利的解 題位置。題位置。 平行于新的投影面平行于新的投影面 垂直于新的投影面垂直于新的投影面2. 新投影面必須新投影面必須垂直于垂直于某某一保留的原投影面，一保留的原投影面， 以構(gòu)成一個相互垂直的兩投影面的新體系。以構(gòu)成一個相互垂直的兩投影面的新體系。Pa1b14VHA a a a

3、xX 更換一次投影面更換一次投影面 舊投影體系舊投影體系 X VH 新投影體系新投影體系P1HX1 A點的兩個投影：點的兩個投影：a， a A點的兩個投影：點的兩個投影：a，a1 新投影體系的建立新投影體系的建立三、點的投影變換規(guī)律三、點的投影變換規(guī)律X1P1a1ax1 VHXP1HX1 a aa1axax1.5ax1 VHXP1HX1 a aa1VHA a axXX1P1a1ax1 新舊投影之間的關(guān)系新舊投影之間的關(guān)系 aa1 X1 a1ax1 = a ax 點的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影點的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影 到原投影軸的距離。到原投影軸的距離。axa 一般

4、規(guī)律：一般規(guī)律： 點的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直點的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直 于新投影軸。于新投影軸。.6 XVHaa ax更換更換H面面 求新投影的作圖方法求新投影的作圖方法 VHXP1HX1 由點的不變投影向新投影軸作由點的不變投影向新投影軸作垂線垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。于被代替的投影到原投影軸的距離。aa X1P1H a1axax1ax1更換更換V面面a1作圖規(guī)律：作圖規(guī)律：.7 更換兩次投影面更換兩次投影面先把先把V面換成平面面換成平面P1， P1 H，得到中間新投影體系，得

5、到中間新投影體系:P1HX1 再把再把H面換成平面面換成平面P2， P2 P1，得到新投影體系，得到新投影體系: X2 P1 P2 新投影體系的建立新投影體系的建立按次序更換按次序更換AaVH a axXX1P1a1ax1P2X2ax2a2 8ax2 a aXVH 求新投影的作圖方法求新投影的作圖方法a2X1HP1X2P1P2 作圖規(guī)律作圖規(guī)律 a2a1 X2 軸軸 a2ax2 = aax1a1 axax1 .9VHAB a b ab四、換面法的六個基本問題四、換面法的六個基本問題1. 把一般位置直線變換成投影面平行線把一般位置直線變換成投影面平行線用用P1面代替面代替V面，在面，在P1/H投

6、影體系中，投影體系中，AB/P1。X1HP1P1a1b1空間分析空間分析： 換換H面行嗎？面行嗎？不行！不行！作圖：作圖：例：求直線例：求直線AB的實長及與的實長及與H面的夾角。面的夾角。 a b abXVH新投影軸的位置？新投影軸的位置？a1b1與與ab平行。平行。 .102 .將投影面的平行線變換為投影面的垂直線將投影面的平行線變換為投影面的垂直線功用功用:一次換面后可用于求點與直線一次換面后可用于求點與直線,兩直線間的距兩直線間的距離等。離等。問題的關(guān)鍵：新軸要垂直于反映實長的那個問題的關(guān)鍵：新軸要垂直于反映實長的那個投影。投影。X1VHXABababH1a1b1X1H1Va1 b1XV

7、Habab一般位置直線變換為垂直線一般位置直線變換為垂直線11a1b1VH a aXB b bA3. 把一般位置直線變換成投影面垂直線把一般位置直線變換成投影面垂直線空間分析：空間分析：a b abXVHX1H1P1P1P2X2作圖：作圖：X1P1a1b1X2P2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸的位置？軸的位置？a2 b2ax2a2 b2 .與與a1b1垂直垂直一次換面把直線變成投影面平行線；一次換面把直線變成投影面平行線；12例例 1 已知等腰三角已知等腰三角形形ABC的底邊的底邊為為AB，試用，試用換面法求出等換面法求出等腰三角形腰三角形

8、ABC的正面投影。的正面投影。abXVHcabX1HV1b1c1a1cee1 13功用：可求解平面與投影面的傾角，功用：可求解平面與投影面的傾角， 點與平面的距離，點與平面的距離， 兩平行面間的距離等。兩平行面間的距離等。4. 把一般位置平面變換成投影面垂直面把一般位置平面變換成投影面垂直面問題的關(guān)鍵：在平面上作一條投影面問題的關(guān)鍵：在平面上作一條投影面平行線平行線，新軸新軸必須必須垂直垂直與該平行線與該平行線反映實長的那個投影反映實長的那個投影。14 一般位置直線變換一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？幾次變換？ a b c abcdVHABCDX d 如果把平

9、面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。 P1X1c1b1 a1 d1空間分析：空間分析： 在平面內(nèi)在平面內(nèi)取一條取一條投影面平行線投影面平行線，經(jīng)一，經(jīng)一次換面后變換成新投次換面后變換成新投影面的垂直線，則該影面的垂直線，則該平面變成新投影面的平面變成新投影面的垂直面。垂直面。作圖方法：作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進行一次變換？能否只進行一次變換？ 思考：思考：若變換若變換H面，需在面面，需在面內(nèi)取什么位置直線？內(nèi)取什么位置直線？正平線！

10、正平線！15 a b c acbXVH例例2、把、把三角形三角形ABC變變換換成投影面垂直面。成投影面垂直面。HP1X1作作 圖圖 過過 程：程： 在平面內(nèi)取一條水平在平面內(nèi)取一條水平 線線AD。d d 將將AD變換成新投影變換成新投影 面的垂直線。面的垂直線。d1a1 d1c1 反映平面對哪反映平面對哪個投影面的夾角？個投影面的夾角？.16 5 . 將投影面的垂直面變成投影面的平行面將投影面的垂直面變成投影面的平行面功用：功用： 一次換面后可求解一次換面后可求解平面實形、形心、平面實形、形心、兩直線交角等兩直線交角等 問題的關(guān)鍵：問題的關(guān)鍵： 新投影軸新投影軸必須必須平行于平行于該平面的積該

11、平面的積聚性投影。聚性投影。VbacHV1ABCbaa1c1b1X1c展開圖展開圖17a1 b1需經(jīng)幾次變換？需經(jīng)幾次變換？一次換面一次換面, 把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。二次換面，再變換成新投影面的平行面。X2P1P26. 把一般位置平面變換成投影面平行面把一般位置平面變換成投影面平行面ab a c b XVHc作作 圖：圖：AB是水平線是水平線空間分析：空間分析：a2c2b2c1X2軸軸的位置？的位置？平面的實形平面的實形.X1HP1.與其平行與其平行18例例 3 、已知直線、已知直線AB與與 CDE平面平

12、行，且相距平面平行，且相距20mm，求直線，求直線AB的水平投影。的水平投影。XVHedcdecaba1b1X1VH1c1e1 d1ba20mm191 、求直線實長和與投影面的傾角、求直線實長和與投影面的傾角 將直線變換成投影面的平行線。將直線變換成投影面的平行線。2 、求平面實形和形心、求平面實形和形心 將平面變換成投影面的平行面。將平面變換成投影面的平行面。3、 求平面與投影面的傾角求平面與投影面的傾角 將平面變換成投影面的垂直面。將平面變換成投影面的垂直面。4、 求距離求距離（1）點與直線之間）點與直線之間 a 將直線變換成投影面垂直線。將直線變換成投影面垂直線。 b 將點與直線組成的平

13、面變換成投影面的將點與直線組成的平面變換成投影面的 平行面。平行面。五、換面法的應(yīng)用五、換面法的應(yīng)用20（2） 點與平面之間點與平面之間 將平面變換成投影面垂直面。將平面變換成投影面垂直面。（3） 兩平行線之間兩平行線之間 將兩直線變換成投影面垂直線。將兩直線變換成投影面垂直線。（4） 兩平行平面之間兩平行平面之間 將兩平面變換成投影面垂直面。將兩平面變換成投影面垂直面。 5 、求夾角、求夾角（1）兩直線之間）兩直線之間 將兩直線組成的平面變換成投影面平行面。將兩直線組成的平面變換成投影面平行面。 （2） 兩平面之間兩平面之間 將兩平面變換成投影面的垂直面，即應(yīng)將兩將兩平面變換成投影面的垂直面

14、，即應(yīng)將兩平面的交線變換成投影面的垂直線。平面的交線變換成投影面的垂直線。 21b1 距離距離dd1X1HP1X2P1P2c2 d 例例4、求點求點C到直線到直線AB的距離，并求垂足的距離，并求垂足D。c c b a abXVH 如下圖：當(dāng)直線如下圖：當(dāng)直線AB垂直于投影面時，垂直于投影面時，CD平平行于投影面，其投影反映行于投影面，其投影反映實長。實長。APBDCca b d作圖作圖: 求求C點到直線點到直線AB的距離，的距離，就是求垂線就是求垂線CD的實長。的實長?？臻g及投影分析：空間及投影分析：c1 a1 a2 b2 d2 過過c1作線平行于作線平行于x2軸。軸。.如何確定如何確定d1點

15、的位置？點的位置？22b a abcdc 例例5、已知兩交叉直線、已知兩交叉直線AB和和CD的公垂線的長度的公垂線的長度 為為MN， 且且AB為水平線，求為水平線，求CD及及MN的投影。的投影。MNm d a1b1m1n1c1d1n空間及投影分析：空間及投影分析：VHXHP1X1圓半徑圓半徑=MNn m 當(dāng)直線當(dāng)直線AB垂直于投影垂直于投影面時，面時，MN平行于投影面，平行于投影面，這時它的投影這時它的投影m1n1=MN,且且m1n1c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作圖：作圖：請注意各點的投請注意各點的投影如何返回？影如何返回？求求m點是難點。點是難點。.23空間及投影分析空

16、間及投影分析：AB與與CD都平行于投影面時，其投影都平行于投影面時，其投影的夾角才反映實大（的夾角才反映實大（60），因此需將），因此需將AB與與C點所確定的點所確定的平面變換成投影面平行面。平面變換成投影面平行面。例例6、過、過C點作直線點作直線CD與與AB相交成相交成60角。角。 d X1HP1X1P1P2ab a c b XVHc作作 圖：圖：c2c1a1 b1a2d2db2 幾個解？幾個解？兩個解！兩個解！ 已知點已知點C是等邊三角形的頂點，另兩個頂點在直線是等邊三角形的頂點，另兩個頂點在直線AB上，上，求等邊三角形的投影。求等邊三角形的投影。思考：思考：如何解？如何解？解法相同！解法

17、相同！60D點的投影點的投影如何返回？如何返回？.24P2P1X2HP1X1c d b a dacbd1c1a1d2b1c2a2 b2VHX例例7、求平面、求平面ABC和和ABD的兩面角。的兩面角。空間及投影分析空間及投影分析： 由幾何定理知：兩面角為兩平面同時與第三平面垂直由幾何定理知：兩面角為兩平面同時與第三平面垂直相交時所得兩交線之間的夾角。相交時所得兩交線之間的夾角。 在投影圖中在投影圖中, 兩平面的交線垂直于投影面時，則兩平面兩平面的交線垂直于投影面時，則兩平面垂直于該投影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為垂直于該投影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為所求。所求。.25

18、小小 結(jié)結(jié) 本章主要介紹了投影變換的一種常用方法本章主要介紹了投影變換的一種常用方法 換面法換面法。一、一、 換面法就是換面法就是改變投影面的位置改變投影面的位置，使它與所給物，使它與所給物 體或其幾何元素處于體或其幾何元素處于解題所需的特殊位置解題所需的特殊位置。二、二、 換面法的關(guān)鍵是要注意換面法的關(guān)鍵是要注意新投影面的選擇條件新投影面的選擇條件， 即必須使即必須使新投影面與某一原投面保持垂直關(guān)系新投影面與某一原投面保持垂直關(guān)系， 同時又有利于解題需要，這樣才能使正投影規(guī)同時又有利于解題需要，這樣才能使正投影規(guī) 律繼續(xù)有效。律繼續(xù)有效。三、三、點的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎(chǔ)點的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎(chǔ)，四個基本，四個基本 問題是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。問題是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。26換面法的四個基本問題：換面法的四個基本問題： 2. 把一