1、第二節(jié)第二節(jié) 命題及其關系、充分條命題及其關系、充分條件與必要條件件與必要條件四種命題關系及真假的判定四種命題關系及真假的判定 若a、b、cR，寫出命題“若ac0，則ax2bxc0有兩個不相等的實數根”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這三個命題的真假 分析認清命題的條件p：ac0和結論q：b24ac0，然后按定義寫出逆命題、否命題、逆否命題根據方程ax2bxc0有兩個不相等的實數根的條件，得b24ac0，根據不等式ac0和不等式b24ac0的關系，判斷三個命題的真假解逆命題：若ax2bxc0(a、b、cR)有兩個不相等的實數根，則ac0，是假命題如當a1，b3，c2時，方程x23x20有兩個

2、不等實根x11，x22，但ac20.否命題：若ac0，則方程ax2bxc0(a、b、cR)沒有兩個不相等的實數根，是假命題因為它和逆命題互為逆否命題，而逆命題是假命題逆否命題：若ax2bxc0(a、b、cR)沒有兩個不相等的實數根，則ac0，是真命題因為原命題是真命題，它與原命題等價規(guī)律總結由一個命題可以寫出其他三種形式的命題，其關鍵是認清原命題的條件和結論，嚴格按照逆命題、否命題、逆否命題的形式定義依次寫出判斷命題的真假，需要依據相關的定義、公式、定理和結論等知識當然，有些命題間有“同真假關聯性”，也可以作為判斷的依據 變式訓練1 寫出下述命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷命題的真假(1

3、)若x2y20，則x、y全為0；(2)若ab是偶數，則a、b都是偶數；(3)若x3或x7，則(x3)(x7)0.【解析】因為原命題是“若p，則q”的形式，根據其他三種命題的構造方法，分別寫出逆命題、否命題、逆否命題(1)逆命題：若x、y全為0，則x2y20，命題為真；否命題：若x2y20，則x、y不全為0，命題為真；逆否命題：若x、y不全為0，則x2y20，命題為真(2)逆命題：若a、b都是偶數，則ab是偶數，命題為真；否命題：若ab不是偶數，則a、b不都是偶數，命題為真；逆否命題：若a、b不都是偶數，則ab不是偶數，命題為假(3)逆命題：若(x3)(x7)0，則x3或x7，命題為真；否命題：

4、若x3且x7，則(x3)(x7)0，命題為真；逆否命題：若(x3)(x7)0，則x3且x7，命題為真充分條件與必要條件的判定充分條件與必要條件的判定 指出下列各組命題中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選一種作答)(1)在ABC中，p：AB，q：sinAsinB；(2)對于實數x，y，p：xy8，q：x2或y6；(3)在ABC中，p：sinAsinB，q：tanAtanB；(4)已知x，yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0. 分析在上述題目中，給出了四個小題各小題內容涉及三角函數、不等式和方程的許多知識首先認定條

5、件和結論，再利用相關知識判斷命題的真假，進一步判斷p和q的關系解(1)在ABC中，由正弦定理 = ，故sinAsinBab，又由abAB，所以sinAsinBAB，即p是q的充要條件(2)因為命題“若x2且y6，則xy8”是真命題，故pq；命題“若xy8，則x2且y6”是假命題，故q不能推出p.所以p是q的充分不必要條件(3)取A120，B30，p不能推出q；取A30，B120，q不能推出p 所以p是q的既不充分也不必要條件(4)因為P(1,2)，Q(x，y)|x1或y2，PQ.所以p是q的充分不必要條件AasinBsinb規(guī)律總結在充要條件的判斷中，首先搞清哪個是命題的條件，哪個是命題的結論

6、，準確理解充分性和必要性的含義常用的判斷方法有：定義法直接判斷；利用逆否命題的等價性轉化然后判斷，特別是條件和結論都是從否定形式給出時，更有必要；利用集合間的包含關系，轉化后再判斷總之，要注意恰當利用兩個條件的特點，采取適當的方法判斷變式訓練 (1)是否存在實數m，使得2xm0是x22x30的充分條件；(2)是否存在實數m，使得2xm0是x22x30的必要條件 【解析】(1)欲使2xm0是x22x30的充分條件，只要 x|x1或x3，則只要 1，即m2.故存在實數m2，使2xm0是x22x30的充分條件(2)欲使2xm0是x22x30的必要條件， 則只要 x|x1或x3 故不存在實數m，使2x

7、m0是x22x30的必要條件2mxx2mxx2m充分必要條件的證明充分必要條件的證明 求證：關于x的方程ax2bxc0有一根為1的充分必要條件是abc0.分析分兩個步驟完成，即必要性和充分性分別證明充分性、條件：abc0，結論：ax2bxc0有一根為1；必要性、條件：ax2bxc0有一根為1，結論：abc0.證明必要性，即“若x1是方程ax2bxc0的根，則abc0”x1是方程的根，將x1代入方程，得a12b1c0，即abc0.結論成立充分性，即“若abc0，則x1是方程ax2bxc0的根”abca12b1c0，x1是方程ax2bxc0的根綜合知命題成立規(guī)律總結充要條件證明的關鍵是：根據定義確

8、定哪個是已知條件，哪個是結論；再去確定充分性是證明哪一個命題，必要性是證明哪一個命題證明的過程實質上是兩個互逆的推理過程證明的方式有時可以直接證明，有時轉化后再證明變式訓練3 求證：關于x的方程x2mx10有兩個負實根的充要條件是m2. 【證明】充分性：m2，m240，方程x2mx10有實根設x2mx10的兩個實根為x1、x2，由根與系數的關系知x1x210，x1、x2同號又x1x2m2，x1、x2同為負根必要性：x2mx10的兩個實根x1、x2均為負，且x1x21，m2(x1x2)2 2 0，m2.綜合知命題得證111xx112112xxx1211xx 反證法的應用反證法的應用 用反證法證明

9、：設三個正實數a、b、c滿足條件 2，求證：a、b、c中至少有兩個不小于1. a1b1c1分析用反證法證題時，首先對結論進行否定，即“a，b，c中至多有一個不小于1”共有兩種情況：“a、b、c三數均小于1”和“a、b、c中有兩數小于1”由此作為基礎，推出矛盾證明假設a，b，c中至多有一個不小于1，這包含下面兩種情況：a、b、c三數均小于1，即0a1,0b1,0c3，與已知條件矛盾a、b、c中有兩數小于1，設0a1,0b2 2，也與已知條件矛盾假設不成立，a、b、c中至少有兩個不小于1.a1a1a1a1b1b1b1b1c1c1c1c1規(guī)律總結反證法有兩種情形：其一，利用互為逆否的兩個命題同真同假

10、的關系，將不易判斷真假的命題，轉化為易判斷真假的逆否命題(尤其是對否定語句的命題)，充分利用等價轉化的思想方法，此時證明的命題為原命題的逆否命題其二，假設結論不成立，利用已知條件，推出與已知或已知定理相矛盾的結論，此時證明的命題不再是原命題的否命題總之，不論哪種情形的反證法，正確的反設，是正確運用反證法的前提變式訓練4 已知a、b、c是互不相等的非零實數求證：三個方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一個方程有兩個相異實根【證明】(反證法)假設三個方程中都沒有兩個相異實根，則14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.上述三個不等式兩邊分別相加有a22abb2

11、b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20.由題意a、b、c互不相等，式不能成立假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根1否命題是將原命題的條件否定后作條件，將原命題的結論否定后作結論得到的命題寫否命題最容易出現錯誤，學習中要注意掌握以下常見詞語和其否定詞語.原詞語等于大于小于是都是至多有一個至多有n個至少有一個任意的任意兩個p或q能否定詞語不等于不大于不小于不是不都是至少有兩個至少有n1個一個也沒有某個某兩個綈q且綈p不能注：在實數范圍內，“不大于”就是“”，“不小于”就是“”2對于不是“若p，則q”型的命題，先將命題改寫為“若p，則q”的形式，才能寫出命

12、題的逆命題、否命題和逆否命題，凡是不能寫成“若p，則q”形式的命題，是沒有所謂的逆命題、否命題和逆否命題的3互為逆否命題的真假性是一致的(這是反證法的理論基礎)，互逆命題和互否命題的真假性沒有關系4充分、必要條件的判斷方法(1)定義法p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件(2)集合法若AB，則“xA”是“xB”的充分條件,;/qpqp,/;qpqp,;qpqp,/./qpqp5用反證法證明問題的一般步驟(1)反設：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；(2)歸謬：從假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾；(3)結論：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確6適宜用反證法證明的數學命題(1)結論本身以否定形式出現的命題；(2)關于唯一性、存在性的命題；(3)結論以“至多”“至少”等形式出現的命題若p：x22x30，q： 0，則 的什么條件？ 612 xxqp 是錯解 ：x22x301x3， ： 02x3， 的