1、 畢業(yè)設(shè)計（論文） 題目：對正項級數(shù)斂散性判別法應(yīng)用性的探討目 錄摘要IAbstract:II1 引言12正項級數(shù)相關(guān)概念12.1 定義12.2 正項級數(shù)斂散性判別的充要條件12.3 三個重要比較級數(shù)22.3.1 幾何級數(shù)22.3.2 調(diào)和級數(shù)32.3.3 P-級數(shù)33 正項級數(shù)斂散性判別法43.1 判別發(fā)散的簡單方法43.2 比較判別法43.2.1 定理及其推論43.2.2 活用比較判別法63.2.3 歸納總結(jié)83.3 柯西判別法與達朗貝爾判別法83.3.1 柯西判別法83.3.2 達朗貝爾判別法103.3.3 比值判別法和根值判別法失效的情況113.4 拉貝判別法133.5 積分判別法14

2、3.6 兩種新方法163.7 判別正項級數(shù)斂散性方法的總結(jié)184 在判別級數(shù)斂散性中的作用184.1 證明負(fù)項級數(shù)的斂散性184.2 證明變號級數(shù)絕對收斂194.3 證明函數(shù)級數(shù)收斂205 結(jié)束語21致謝22參考文獻:22對正項級數(shù)斂散性判別法應(yīng)用性的探討尹委紅（重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2006級 重慶萬州 404000）摘要:正項級數(shù)是級數(shù)內(nèi)容中的一種重要級數(shù),它的斂散性是其基本性質(zhì).本文主要探討正項級數(shù)的各種斂散性判別法,主要有積分判別法、比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾判別法、拉貝判別法.探討了它們的證明過程及應(yīng)用其解決相關(guān)的例題.并簡單介紹了它們之間的關(guān)系,如強弱性的比較

3、,不同形式的適合用哪種方法來證明其斂散性更為簡單.最后介紹了正項級數(shù)斂散性判別法在判別級數(shù)斂散性中的作用.關(guān)鍵詞: 正項級數(shù);判別法;斂散性 Positive Series Convergence Criterion of applicabilityYIN Wei-hong(Grade 2006, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstra

4、ct: Series is a series of positive content is an important series,convergence and Divergence of its basic nature of its. This paper discusses the positive series all Convergence Criterion, There are Integral Test, Comparison Tests, Cauchy Criterion, Criterion big Lambert, Rabe Criterion. Discussed t

5、heir certification process and application of relevant examples of its solution. And briefly describes the relationships between them, such as comparison of the strength of、suitable for different forms of which method to prove its convergence and divergence easier. Finally, Introduced the positive s

6、eries Convergence Criterion of Convergence and Divergence in the identification of the role.Keywords: positive series; criterion; convergence IV1 引言 級數(shù)是數(shù)學(xué)分析這門學(xué)科中的一個重要部分,而正項級數(shù)又是級數(shù)中最簡單從而也是級數(shù)中最基本的一種級數(shù).證明級數(shù)的斂散性是級數(shù)的一種重要性質(zhì),解決級數(shù)的問題多半要設(shè)計到討論級數(shù)的斂散性.由于正項級數(shù)在級數(shù)中的基礎(chǔ)地位,所以討論正項級數(shù)的斂散性是級數(shù)的一個基礎(chǔ)內(nèi)容,也是一個十分重要的內(nèi)容,故正項級數(shù)斂散性判別

7、法在數(shù)學(xué)分析中有著重要的作用.2正項級數(shù)相關(guān)概念2.1 定義設(shè)有數(shù)列,即 將此數(shù)列的項依次用加號連接起來,即 或 ，稱為數(shù)值級數(shù),其中稱為級數(shù)的第n項或通項.級數(shù)就是無限多個數(shù)的和.若級數(shù)的每一項的符號都是正,則稱級數(shù)是正項級數(shù).取級數(shù)前項的和為,即 或 ,稱為級數(shù)的項部分和.若一級數(shù)的部分和數(shù)列收斂,設(shè)或 ,則稱此級數(shù)收斂,是級數(shù)的和,表為 .若部分和數(shù)列發(fā)散,則稱該級數(shù)發(fā)散,此時級數(shù)沒有和.2.2 正項級數(shù)斂散性判別的充要條件正項級數(shù)的每一項都為正的基本特點導(dǎo)致正項級數(shù)部分和數(shù)列單調(diào)增加,從而有正項級數(shù)斂散性的基本判別定理:定理1 正項級數(shù)收斂它的部分和數(shù)列有上界.證明 由于,所以是遞增數(shù)

8、列.而單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是該數(shù)列有界(單調(diào)有界定理),從而本定理得證.基本判別定理解決了一個級數(shù)的收斂問題,不必研究,而粗略地估計的值當(dāng)時是否保持有界就可以了,這樣就避開了冠以的復(fù)雜的表達式.它是判斷正項級數(shù)收斂（或發(fā)散）的最基本方法,幾乎所有其它的判別法都是由它導(dǎo)出,但是在具體應(yīng)用時不大方便.由正項級數(shù)斂散性的基本判別定理可以推導(dǎo)出正項級數(shù)斂散性常用判別定理積分判別法、比較判別法、柯西判別(又叫根值判別法)、達朗貝爾判別法(又叫比值判別法).2.3 三個重要比較級數(shù) 在正項級數(shù)斂散性的判別中往往需要用到一個比較因子,用比較因子的斂散性來判斷一個級數(shù)收斂還是發(fā)散.常用的比較因子有三個重要的

9、正項級數(shù)幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)、p-級數(shù).下面簡單介紹這三個級數(shù),及其它們斂散性的證明,便于后面能更好的應(yīng)用.2.3.1 幾何級數(shù)(等比級數(shù))討論幾何級數(shù)的斂散性,其中是公比.解：1）當(dāng)時,已知幾何級數(shù)的項部分和（i）當(dāng)時,存在極限,且 因此,當(dāng)時,幾何級數(shù)收斂,其和是,即.（ii）當(dāng)時,不存在極限,且 因此,當(dāng)時,幾何級數(shù)發(fā)散.2） 當(dāng)時,有兩種情況:()當(dāng)時,幾何級數(shù)是 即部分和數(shù)列發(fā)散.（）當(dāng)時,幾何級數(shù)是 即部分和數(shù)列發(fā)散.于是,當(dāng)時,幾何級數(shù)發(fā)散.綜上所述,幾何級數(shù),當(dāng)時收斂,其和是,當(dāng)時發(fā)散.2.3.2 調(diào)和級數(shù)證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的.證明 設(shè)調(diào)和級數(shù)的項部分和是,即由于已知即當(dāng)時,調(diào)和

10、級數(shù)的部分和與是等價無窮大,即調(diào)和級數(shù)發(fā)散.2.3.3 P-級數(shù)討論p-級數(shù)的斂散性,其中是任意實數(shù).（該級數(shù)又稱為廣義調(diào)和級數(shù)）解：1）當(dāng)時,廣義調(diào)和級數(shù)就是調(diào)和級數(shù),已知調(diào)和級數(shù)發(fā)散,即p-級數(shù)發(fā)散.2） 當(dāng)時,有.已知調(diào)和級數(shù)發(fā)散,根據(jù)比較判別法可知,當(dāng)時,p-級數(shù)發(fā)散.3） 當(dāng)時,有.于是,有即p-級數(shù)的部分和數(shù)列有上界,從而p-級數(shù)收斂.綜上所述,當(dāng)時,p-級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時,p-收斂.在正項級數(shù)斂散性的證明中常借助于這三個級數(shù)斂散性為橋梁來判斷其它級數(shù)的斂散性,所以必須要熟練掌握這三個級數(shù).3 正項級數(shù)斂散性判別法 3.1 判別發(fā)散的簡單方法由級數(shù)收斂的基本判別定理柯西收斂準(zhǔn)則:級數(shù)收

11、斂有.取特殊的,可得推論:若級數(shù)收斂,則.定理2 該推論的逆否命題:若,則級數(shù)發(fā)散.例1 快速判斷級數(shù)的斂散性. 解: 由于,從而根據(jù)定理2可知,該級數(shù)發(fā)散.如果,則可由該逆否命題直接可以判別出該級數(shù)發(fā)散;如果,則不能判斷級數(shù)是否收斂,因為存在級數(shù)滿足的發(fā)散級數(shù)，如；也存在級數(shù)滿足的收斂級數(shù)，如.顯然該逆否命題只使用于滿足的發(fā)散級數(shù).3.2 比較判別法3.2.1 定理及其推論 定理3 (比較判別法) 有兩個正項級數(shù)與,且,有,c是正常數(shù). 1）若級數(shù)收斂,則級數(shù)也收斂; 2）若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)也發(fā)散.證明 因為有定理若去掉、增添或改變級數(shù)的有限項,則不改變級數(shù)的斂散性,因此,不妨設(shè),有 是正常

12、數(shù).設(shè)級數(shù)與的n項部分和分部是與,由上述不等式,有1） 若級數(shù)收斂,根據(jù)定理1,數(shù)列有上界,從而數(shù)列也有上界,再根據(jù)定理1,級數(shù)收斂.2） 若級數(shù)發(fā)散,根據(jù)定理1,數(shù)列無上界,從而數(shù)列也無上界,再根據(jù)定理1,級數(shù)發(fā)散.推論 有兩個正項級數(shù)與,且 1）若級數(shù)收斂,且,則級數(shù)也收斂; 2）若級數(shù)發(fā)散,且,則級數(shù)也發(fā)散.證明 1）若級數(shù)收斂,且,由已知條件,有 或 ,即,有,根據(jù)定理2,級數(shù)也收斂.2）若級數(shù)發(fā)散,且，由已知條件,有 或 ,即,有,根據(jù)定理2,級數(shù)也發(fā)散.若級數(shù)發(fā)散,且,由已知條件,有,即,有,根據(jù)定理2,級數(shù)也發(fā)散. 從比較判別法的內(nèi)容,我們可以得出以下幾點啟示:（1）比較判別法只

13、適用于正項級數(shù)斂散性的判斷;（2）比較判別法重在“比較”,是利用兩個正項級數(shù)的通項結(jié)構(gòu)來比較的;要求必須掌握等比級數(shù),調(diào)和級數(shù),p-級數(shù)的斂散性,因為比較判別法的比較對象常常就是上述三種級數(shù).（3）要證明某一個級數(shù)收斂,需要找一個通項比大的收斂的整形級數(shù),即,也就是需要將所求的級數(shù)通咯級數(shù)項放大;（4）要證明某一個級數(shù)發(fā)散,需要找一個通項比小的發(fā)散的正項級數(shù),即,也就是需要將所求的級數(shù)通項縮小.比較判別法提供了一個判別級數(shù)斂散的簡單方法:只須拿一個已知斂散性的級數(shù)和要判別的級數(shù)作比較便能得出結(jié)論.常用的作為比較的級數(shù)有等比級數(shù)、調(diào)和級數(shù)、p-級數(shù),因此,正項級數(shù)比較判別法的關(guān)鍵是:如何選取比較

14、對象,放大或縮小所求級數(shù)的通項.3.2.2 活用比較判別法(1) 當(dāng)所求級數(shù)的通項中出現(xiàn)關(guān)于n的有理式時,比較對象常常選取p-級數(shù)或調(diào)和級數(shù). 例1 判別級數(shù)的斂散性. 分析: 考慮通項，分子的最高冪是0（只有常數(shù)1 ),分母的最高冪是2,這時通項接近,原級數(shù)也接近于級數(shù),這是的收斂的p-級數(shù),那么原級數(shù)也一定收斂.事先知道級數(shù)是收斂的,就把通項放大,放大為一個收斂的級數(shù)通項,這個級數(shù)一般就是,至多差一個系數(shù).解: 因為（分母縮小,分?jǐn)?shù)放大）,又由于收斂.則由此比較判別法,原級數(shù)也收斂.例2 判別級數(shù)的斂散性.分析: 考慮通項,分子n的最高冪是1,分母n的最高冪是4,這時通項接近,原級數(shù)也接近

15、于級數(shù),這是的收斂的p-級數(shù),那么原級數(shù)也一定收斂.解: 因為（分子放大,分?jǐn)?shù)放大）,又由于收斂,則由比較判別法,原級數(shù)也收斂.例3 判別級數(shù)的斂散性.分析: 考慮通項,分子n的最高冪是1,分母n的最高冪是2,這時通項接近，,原級數(shù)也接近于級數(shù),至多差一個系數(shù).解: 因為（分子縮小,分母放大,分?jǐn)?shù)縮?。?又由于是發(fā)散的,則由比較判別法,原級數(shù)也是發(fā)散的.(2) 當(dāng)所求級數(shù)通項中出現(xiàn)正弦函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)時,利用不等式選取適當(dāng)?shù)谋容^對象. 主要用到下面兩個式子:當(dāng)時,例4 判別級數(shù)的斂散性.分析: 考慮當(dāng)時,則,而是公比的收斂級數(shù),故原級數(shù)收斂.例5 判別級數(shù)的斂散性.分析: 由于有不等式,而是收斂

16、的級數(shù),故原級數(shù)也收斂.(3) 當(dāng)所求級數(shù)的通項放大、縮小不方便時,可采用比較判別法的推論.利用比較判別法的推論時要注意:（1）把要求的級數(shù)當(dāng)作,另找一個正項級數(shù)（往往找調(diào)和級數(shù)、p-級數(shù)或等比級數(shù)),作;（2）重點考察極限結(jié)果1,因為1在0與之間.例6 判別級數(shù)的斂散性.分析: 考慮通項,分子n的最高冪為1,分母的最高冪為2,通項接近,因此就把級數(shù)作.解: 由于,又因為是發(fā)散的,則原級數(shù)也發(fā)散.例7 另解上面的例5.分析: 我們前面已經(jīng)討論過該題,若忘記前面的不等式,而此題的通項又不易進行放大、縮小,可用推論.把作為,再找一個.觀察到中,有對數(shù)函數(shù)出現(xiàn),考慮用第二重要極限,取解: 因為,又收

17、斂,故原級數(shù)也收斂.3.2.3 歸納總結(jié)判斷正項級數(shù)“ 斂散性的一般步驟：() 檢查通項。若，可判斷級數(shù)發(fā)散。否則進入()() 用比較判別法法.若 或極限不存在,則入()() 用比較判別法或比較判別法的極限形式,若無法找到適用的比較級數(shù),則進入()() 檢查正項級數(shù)的部分和數(shù)列是否有上界或判別是否存在,若有上界則收斂,若無上界則發(fā)散;若存在極限則收斂,反之發(fā)散. 比較判別法在正項級數(shù)斂散性判別中是一個十分重要的方法,當(dāng)然也是首選方法,因為不少級數(shù)均可依此法判別其斂散性.由于比較判別法常用的作比較的級數(shù)是等比級數(shù)、調(diào)和級數(shù)、p-級數(shù),因此一般能和這三類級數(shù)作比較的級數(shù),才能用比較判別法來判斷其斂

18、散性.用比較判別法判斷正項級數(shù)的斂散性,先要根據(jù)問題的條件作一個大概的估計,猜想原級數(shù)可能是收斂的,還是發(fā)散的呢?如果猜想原級數(shù)收斂,就找一個適當(dāng)?shù)氖諗考墧?shù)來比較,使得原級數(shù)的各項小于或等于比較級數(shù)的對應(yīng)項;如果猜想原級數(shù)發(fā)散,就找一個適當(dāng)?shù)陌l(fā)散級數(shù)來比較,使得原級數(shù)的各項大于或等于比較級數(shù)的對應(yīng)項.但要另外找到一個適當(dāng)?shù)恼椉墧?shù)作為比較級數(shù),在實際生活中往往不是一件輕而易舉的事情.于是數(shù)學(xué)家們設(shè)想在比較判別法的基礎(chǔ)上尋找到直接用待判級數(shù)的通項構(gòu)造判別式,不必另找比較級數(shù),只需研究這個判別式就可判定級數(shù)的斂散性.研究的結(jié)果獲得了由比較判別法派生出來的種種正項級數(shù)斂散性的判別法柯西判別法與達朗貝

19、爾判別法.柯西判別法與達朗貝爾法都是比較判別法為基礎(chǔ),與幾何級數(shù)比較得到的,由此可見比較判別法在判別正項級數(shù)斂散性中的重要作用.3.3 柯西判別法與達朗貝爾判別法3.3.1 柯西判別法(根值判別法) 定理3 (柯西判別法) 有正項級數(shù),存在常數(shù). 1）若,有 ,則級數(shù)收斂; 2）若存在無限個n,有 ,則級數(shù)發(fā)散.證明 1）已知有 或 .又已知幾何級數(shù)收斂,于是級數(shù)收斂.2）已知存在無限個n,有 或 ,即不趨近于,于是級數(shù)發(fā)散.推論 有正項級數(shù),若 ,則 1）當(dāng)時,級數(shù)收斂; 2）當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.證明 1），由數(shù)列極限定義,有 或 ,根據(jù)定理3,級數(shù)收斂.2）已知,根據(jù)數(shù)列極限的保號性,有,根據(jù)

20、定理3,級數(shù)發(fā)散.由于正項級數(shù)的通項開n次方根一般不能直接得出一個常數(shù),所以常用柯西判別法的推論判別級數(shù)的斂散性.例1 判別級數(shù)的斂散性.分析: 該級數(shù)的通項是一個n次方的形式,于是聯(lián)想到柯西判別法,對通項開n次方根,看其結(jié)果與1的大小關(guān)系.解: 由于,根據(jù)柯西判別法的推論,可得級數(shù)收斂.例2 判別級數(shù)的斂散性。解: 由于,所以根據(jù)柯西判別法的推論知,級數(shù)發(fā)散.3.3.2 達朗貝爾判別法(比值判別法) 定理4 (達朗貝爾判別法) 有正項級數(shù),存在常數(shù). 1）若,有 ,則級數(shù)收斂; 2）若,有 ,則級數(shù)發(fā)散.證明 1）不妨設(shè),有 或 . 已知幾何級數(shù)收斂,根據(jù)定理2,則級數(shù)收斂.2）已知,有 或

21、 ，即正項數(shù)列從項以后單調(diào)增加,不趨近于,則級數(shù)發(fā)散.推論 有正項級數(shù),且1）當(dāng)時,級數(shù)收斂;2）當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.證明 1）,由數(shù)列極限定義,有 或 ,根據(jù)4,級數(shù)收斂.2）已知,根據(jù)數(shù)列極限的保號性,有.根據(jù)定理4,級數(shù)發(fā)散.由于正項級數(shù)的通項的前后兩項的比值一般不會直接得出一個常數(shù),所以在判別正項級數(shù)的斂散性時常用達朗貝爾判別法的推論.例3 判別級數(shù)的斂散性.解: 由于,所以根據(jù)達朗貝爾判別法的推論知,級數(shù)收斂.例4 判別級數(shù)的斂散性.解: 由于,根據(jù)達朗貝爾判別法的推論知,級數(shù)發(fā)散.當(dāng)正項級數(shù)的一般項具有積、商、冪的形式,且中含有、以及形如的因子時,用達朗貝爾判別法比較簡便.一般地,當(dāng)是

22、n的有理式時,用達朗貝爾判別法得不出結(jié)果.例:級數(shù),由于,故達朗貝爾判別法失效.而,且級數(shù)收斂,故由比較判別法知,級數(shù)也收斂.當(dāng)正項級數(shù)的一般項為n次方形式,用柯西判別法比較方便.從理論上來說,凡是能用達朗貝爾判別法判斷其斂散性的級數(shù),必定也能用柯西判別法來判斷其斂散性,但反之不成立.例如:級數(shù),因為,所以用達朗貝爾判別法無法判定級數(shù)的斂散性.而可以用柯西判別法,故原級數(shù)收斂.由此可見,柯西判別法比達朗貝爾判別法適用的面要廣些,但通常達朗貝爾判別法用起來方便些.一般情況下,在判別正項級數(shù)的斂散性時,若所求級數(shù)通項中出現(xiàn)對數(shù)、三角函數(shù)的有理式等形式時,考慮用比較判別法及其推論,既省力又簡單;若出

23、現(xiàn)等形式時,考慮用比值判別法;若出現(xiàn)的次冪時,考慮用根值判別法判別其斂散性要好一些.3.3.3 比值判別法和根值判別法失效的情況 在柯西判別法和達朗貝爾判別法中只討論了的情況,并沒有考慮的情況,也沒有考慮不存在又是怎樣的情況,這說明這兩種判別法存在著一定的不足.1. 對于比值判別法存在兩點不足:(1) 當(dāng)時,判別法失效,既有收斂的,又有發(fā)散的級數(shù).例5 p-級數(shù)是收斂的,而此時,即比值判別法失效.例6 調(diào)和級數(shù)是收斂的,而此時,即比值判別法也失效.(2) 比值判別法可能由于根本不存在而失效.例7 例82. 對于根值判別法存在兩點不足:（1）當(dāng)時，判別法失效,既有收斂的,又有發(fā)散的級數(shù).（2）根

24、值判別法可能由于根本不存在而失效.前面的例5、例6都有,但是級數(shù)收斂，級數(shù)發(fā)散.由此說明了根值判別法的第一個不足.例9 由于,則有不存在,從而根值判別法失效,但是級數(shù)是發(fā)散的.由此可以看到比值判別法與根值判別法有一些相同的地方,而且它們之間有一定的聯(lián)系.因為,如果按有限的或是無窮的意義存在的,那么也存在,如果比值判別法（1）、（2）有效,根值判別法也有效,而且由于相同的理由比值判別法的兩個例子能作為根值判別法失效的例子.但是它們之間也有不同的地方,如果比值判別法失效,用根值判別法卻可能成功.如前面例7,用根值判別法:由于,從而級數(shù)收斂.又如前面例8,用根值判別法:由于,所以級數(shù)發(fā)散.比值判別法

25、與根值判別法在應(yīng)用時,都會遇到“失效”的情況.實質(zhì)上是把所討論的級數(shù)和收斂的幾何級數(shù)來比較,它的項比幾何級數(shù)的項大,而和發(fā)散的幾何級數(shù)來比,它的項要比幾何級數(shù)的項要小,這就說明要想檢驗級數(shù)的斂散性,幾何級數(shù)這把“尺子”的精確度不夠,而p-級數(shù)是比幾何級數(shù)更精密的“尺子”.從這里可以看出判別正項級數(shù)的斂散性主要是應(yīng)用一個比較因子(也就是作為"尺子"的正項級數(shù))的斂散性來判斷原級數(shù)的斂散性. 3.4 拉貝判別法比式判別法和根式判別法是基于把所有要判斷的級數(shù)與某一等比級數(shù)相比較的想法而得到的,也就是說,只有那些級數(shù)的通項收斂于零的速度比某一等比級數(shù)收斂速度快的級數(shù),這兩種方法才能

26、鑒定出它的收斂性.如果級數(shù)的通項收斂速度較慢,它們就無能為力了.因此為了獲得判別范圍更大的一類級數(shù),就必須尋找級數(shù)的通項收斂于零較慢的級數(shù)作為比較標(biāo)準(zhǔn).數(shù)學(xué)家拉貝用 p-級數(shù)代替幾何級數(shù),仿照比值判別法建立了一個拉貝判別法,它比比值判別法要精確,有些比值判別法不能判別的用拉貝判別法可以判別.定理5 (拉貝判別法) 有正項級數(shù),存在常數(shù).1) 若,有,則級數(shù)收斂；2) 若,有,則級數(shù)發(fā)散.證明 1) 由可得.選使.由于,因此,存在正數(shù),使對任意,.這樣.于是,當(dāng)時就有當(dāng)時,級數(shù)收斂,故級數(shù)收斂.2) 由可得,于是.因為發(fā)散,故級數(shù)發(fā)散.推論 有正項級數(shù),且極限存在,若1) 當(dāng)時,級數(shù)收斂;2)

27、當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.例1 討論級數(shù)當(dāng)時的斂散性.分析: 無論哪一值,對級數(shù)的比式極限,都有所以用比式判別法無法判別該級數(shù)的斂散性.現(xiàn)在用拉貝判別法來討論.解: 當(dāng)時,由于,所以根據(jù)拉貝判別法知,原級數(shù)是發(fā)散的.當(dāng)時,由于,所以原級數(shù)是發(fā)散的.當(dāng)時,由于,所以原級數(shù)收斂.從上面我們可以看出,有些比值判別法不能判別的可用拉貝判別法可以判別,但是用拉貝判別法也同樣要受到比較因子這把“尺子”精確度的限制.值得注意的是這個“精確化”的過程是沒有盡頭的,因為杜·布洼·雷知恩曾證明:任何收斂的正項級數(shù),都有比它收斂得更“快”的級數(shù)存在.還有人證明:任何發(fā)散的正項級數(shù)也有比它發(fā)散得更“慢”的級

28、數(shù)存在.這說明沒有收斂的最快的級數(shù),也沒用發(fā)散的最慢的級數(shù),所以要想建立一種對一切正項級數(shù)都有效的比較標(biāo)準(zhǔn)是不可能的.3.5 積分判別法積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì),并以反常積分為比較對象來判斷正項級數(shù)的斂散性.定理6 (積分判別法) 設(shè)為上非負(fù)減函數(shù),那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散. 證明 由假設(shè)為上非負(fù)減函數(shù),對任何正數(shù),在上可積,從而有.依次相加可得 (1)若反常積分收斂,則由（1）式左邊，對任何正整數(shù)，有.根據(jù)定理1,級數(shù)收斂.反之,若為收斂級數(shù),則由（1）式右邊，對任一正整數(shù)有. (2)因為為非負(fù)減函數(shù),故對任何正數(shù),都有.根據(jù)(2)式得反常積分收斂. 用同樣

29、的方法,可以證明與是同時發(fā)散的.利用積分判別法判別正項級數(shù)的斂散性的方法是:把中的換成連續(xù)變量,若是上廣義單調(diào)減少的正值連續(xù)函數(shù),則有相同的斂散性,判別出廣義積分的斂散性就可知道所給級數(shù)的斂散性.當(dāng)?shù)臄可⑿匀菀着袆e時,用積分判別法比較方便.比如形如等類級數(shù)的斂散性均可用積分判別法斷定.例1 判別級數(shù)的斂散性.分析:因為將換成連續(xù)變量,即是，顯然函數(shù)在是單調(diào)減少的正值函數(shù),所以可以用積分判別法.解:將原級數(shù)換成積分形式,由于,即收斂,根據(jù)積分判別法可知,級數(shù)也收斂.例2 證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.分析:在數(shù)學(xué)分析講義（下冊）中有調(diào)和級數(shù)發(fā)散的證明,但課本中的證明用到了上冊課本習(xí)題中的一個已知結(jié)論,即.但

30、是如果我們不記得這個結(jié)論了,該怎么證明這個結(jié)論呢？把換成連續(xù)變量得函數(shù),顯然這是一個在單調(diào)減少的正值函數(shù),符合積分判別法的條件.解:將原級數(shù)換成積分形式,由于,即發(fā)散,根據(jù)積分判別法可知,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.3.6 兩種新方法我們已經(jīng)討論了用比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾判別法、拉貝判別法判斷正項級數(shù)的斂散性,如果正項級數(shù)是形如的形式,那么用柯西判別法就能判別出來;如果形如的形式,則用達朗貝爾判別法容易解決.假如是形如的形式,或者比這個更復(fù)雜,那么用上述兩種解法就不一定能解出來.這就要求我們尋找新的方法,這種形式也暗示著我們能否將兩種方法有機結(jié)合起來,形成一種新的判別方法呢:基于這個考慮,經(jīng)過深入

31、細(xì)致的研究并做了大量的實驗,利用邏輯推理得出以下結(jié)論:定理A 設(shè)有正項級數(shù),有, （或）,若（1） 若,則級數(shù)收斂;（2） 若,則級數(shù)發(fā)散.證明 （1）若,則存在,使得.根據(jù)假設(shè),存在,使得,由極限定義知,存在,當(dāng)時,有,當(dāng)時,有,所以當(dāng)時,有.由于改變級數(shù)前面的有限多項不影響其斂散性,故可認(rèn)為對一切自然數(shù)都有:,所以.由于收斂,由正項級數(shù)的比較判別法知,級數(shù)收斂.(2) 若,同理可證級數(shù)發(fā)散.那么,人們自然會問:形如的級數(shù),是否也能將柯西判別法和達朗貝爾判別法結(jié)合起來呢?我們同樣可得出下列結(jié)論:定理B 設(shè)正項級數(shù),若,則（1） 當(dāng)時,級數(shù)收斂;（2） 當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.證明 設(shè),存在,易證.對

32、于,由極限定義可知,.即:根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法可知,級數(shù)收斂,所以級數(shù)收斂.對于第二種情況,可以采取同樣的方法證明.有了這個判定方法,原來那些不易求的問題就變得迎刃而解.例 討論級數(shù)的斂散性.分析: 我們先可以用柯西判別法和達朗貝爾判別法去試一試,發(fā)現(xiàn)做起來并不容易,將分解為解:令,則 ,因為,由定理B可知,級數(shù)收斂.對于新方法的推導(dǎo),我們從中得到的啟示是:要重視數(shù)學(xué)中的邏輯推理證明,在數(shù)學(xué)中運用大量數(shù)字觀察,通過綜合歸納得出的結(jié)論,最后必須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯證明,才能得到最終確認(rèn).3.7 判別正項級數(shù)斂散性方法的總結(jié) 綜上所述,判別正項級數(shù)的斂散性有多種方法,比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾

33、判別法、拉貝判別法、積分判別法,以及上面討論的兩種新方法.但是它們各自適用于不同的形式的正項級數(shù),根據(jù)判別法的特性和級數(shù)通項的特點來選擇判別方法更有利于級數(shù)斂散性問題的解決.如果原級數(shù)容易找到一個常用的比較因子,判斷出它們之間的大小關(guān)系,則用比較判別法;如果原級數(shù)含有次冪的形式,則可考慮用柯西判別法;如果原級數(shù)含有等形式,則可試用達朗貝爾判別法;如果用上面三種方法都不容易判斷斂散性,可試用拉貝判別法;如果級數(shù)是乘積形式,那么可以選用上面介紹的兩種新方法.4 在判別級數(shù)斂散性中的作用4.1 證明負(fù)項級數(shù)的斂散性級數(shù)的每一項都為負(fù)的級數(shù)為負(fù)項級數(shù),如,如果把負(fù)項級數(shù)的每一項都變成正號,則把負(fù)項級數(shù)

34、變成了正項級數(shù),即是 ,顯然是正項級數(shù).從而正項級數(shù)與負(fù)項級數(shù)有相同的斂散性,那么完全可以用正項級數(shù)斂散性判別法來判斷負(fù)項級數(shù)的斂散性.例1 判別級數(shù)的斂散性.分析:注意該級數(shù)的下標(biāo)不是1,而是7。當(dāng)時,有,即該級數(shù)是一個負(fù)項級數(shù).我們把該級數(shù)前面添一個負(fù)號變?yōu)檎椉墧?shù),則可用正項級數(shù)的斂散性判別法來判斷該級數(shù)的斂散性.解:由于,而是一個正項級數(shù),又由于,且級數(shù)發(fā)散,根據(jù)比較判別法可知,級數(shù)也發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.例2 判別級數(shù)的斂散性.分析:當(dāng)時,而,即將原級數(shù)添上一個負(fù)號變?yōu)檎椉墧?shù).解:由于,而是一個正項級數(shù).又因為,故級數(shù)收斂,從而原級數(shù)也收斂.4.2 證明變號級數(shù)絕對收斂級數(shù)（其中既

35、有正也有負(fù)）,若正項級數(shù)收斂,則稱級數(shù)絕對收斂;若級數(shù)收斂,而正項級數(shù)發(fā)散,則稱級數(shù)條件收斂.定理 若級數(shù)絕對收斂,則級數(shù)必收斂.顯然,可以用正項級數(shù)的斂散性判別法來判斷一個變號級數(shù)是否絕對收斂,如果它絕對收斂則可說明它是收斂的.例3 討論變號級數(shù)的斂散性.解:由于,而正項級數(shù)收斂,根據(jù)比較判別法,正項級數(shù)收斂,即變號級數(shù)絕對收斂,從而收斂.例4 討論變號級數(shù)的斂散性.解:由于（p-級數(shù),）發(fā)散,所以級數(shù)不是絕對收斂.又因為,根據(jù)萊布尼茨判別法,級數(shù)收斂,從而級數(shù)條件收斂.4.3 證明函數(shù)級數(shù)收斂定理（判別法）有函數(shù)級數(shù)是區(qū)間.若存在收斂的正項級數(shù),有,則函數(shù)級數(shù)在區(qū)間一致收斂.證明 已知正項

36、級數(shù)收斂,根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則,即有已知條件,有即函數(shù)級數(shù)在區(qū)間一致收斂.例5 證明: 1)在區(qū)間(是正數(shù))一致收斂; 2)在一致收斂.證明:1),即,有.已知級數(shù)收斂,根據(jù)判別法,函數(shù)級數(shù)在區(qū)間一致收斂.2) ,有.已知級數(shù)收斂,根據(jù)判別法,函數(shù)級數(shù)在一致收斂. 由此可見,正項級數(shù)的斂散性判別法在判別級數(shù)斂散性中起著重要的作用,不僅可以判斷正項級數(shù)的斂散性,而且還可以判別負(fù)項級數(shù)的斂散性、判斷變號級數(shù)是否絕對收斂,以及判斷函數(shù)級數(shù)是否一致收斂.5 結(jié)束語數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)系的重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，對學(xué)習(xí)好其他科目具有重要作用。級數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，在實際生活中的運用也較為廣泛，如經(jīng)濟問題等

37、。而正項級數(shù)又是級數(shù)理論中重要的組成部分，級數(shù)的收斂性更是級數(shù)理論的核心問題，要想解決正項級數(shù)的求和問題必須先解決正項級數(shù)收斂性判斷。判斷正項級數(shù)的一般順序是先檢驗通項的極限是否為0，若為0則發(fā)散，若不為0則判斷級數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散。若級數(shù)的一般項可以進行適當(dāng)?shù)姆趴s則使用比較判別法，或可以找到其等價式用等價判別法。當(dāng)通項具有一定的特點時，則根據(jù)其特點選擇適用的方法，如比值判別法、根式判別法或拉貝判別法。當(dāng)上述方法都無法使用時，根據(jù)條件選擇積分判別法、柯西判別法。當(dāng)無法使用根式判別法時，通?？梢赃x用比式判別法，當(dāng)比式判別法也無法使用時，使用比較判別法，若比較判別法還是無法判別時再使用充要條件進行斷。由此，我們可以得到正項級數(shù)的判別法是層層遞進使用的，每當(dāng)一種判別法無法判斷時，就出現(xiàn)