1、通過雙曲函數(shù)求積分通過雙曲函數(shù)求積分電科四班杜新川例:(2008-2009第一學(xué)期-填空第四題)0000 xsec212secisinxcosixix-isinix-cosdxeedxixdixidxixx雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)雙曲正弦：雙曲余弦：雙曲正切：雙曲余切：雙曲正割：雙曲余割：2sinhxxeex2coshxxeexxxxxeeeexxxcoshsinhtanhxxeexhx2sinh1csc1sinhcosh22xxxxxxeeeexxtanh1cothxxeexhx2cosh1sec等軸雙曲線雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系ixhxixxixixixihxixi

2、xixixsecseccoscoshsinsinhcsccsccotcothtantanh四則運算四則運算xxxxxxxxxxxxxxyxyxyxyxyxyxyxyxyx332222sinh4sinh33sinhcosh3cosh43coshcoshsinh22sinh1sinh21cosh2sinhcosh2coshtanhtanh1tanhtanh)tanh(sinhcoshcoshsinh)sinh(sinhsinhcoshcosh)cosh(求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則（sinhsinh x)= x)=coshcosh x x（coshcosh x)= x)=sinhsinh x x（tanhta

3、nh x)=sech x)=sech2 2x=1-tanhx=1-tanh2 2 x x（cothcoth x)=-csch x)=-csch2 2x x（sechsech x)=- x)=-sechsech x x* *tanhtanh x x（cschcsch x)=- x)=-cschxcschx* *cothcoth x x積分變換積分變換CxxdxCxxdxCxxdxCxxdxCxhxdxCxhxdx)ln(sinhcoth)ln(coshtanhcoshsinhsinhcosh2tanhlncscharctansinsec玩一點高端的玩一點高端的 懸鏈線懸鏈線 與與達(dá)芬奇的時代時隔

4、達(dá)芬奇的時代時隔170170年，久負(fù)盛名的雅各布年，久負(fù)盛名的雅各布伯努利在一篇論伯努利在一篇論文中提出了確定懸鏈線性質(zhì)（即方程）的問題。實際上，該問題存在多年文中提出了確定懸鏈線性質(zhì)（即方程）的問題。實際上，該問題存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推測過懸鏈線是一條拋物線，但問題一直懸且一直被人研究。伽利略就曾推測過懸鏈線是一條拋物線，但問題一直懸而未決。雅各布覺得，應(yīng)用奇妙的微積分新方法也許可以解決這一問題。而未決。雅各布覺得，應(yīng)用奇妙的微積分新方法也許可以解決這一問題。 但但遺憾的是，面對這個苦惱的難題，他沒有絲毫進(jìn)展。一年后，遺憾的是，面對這個苦惱的難題，他沒有絲毫進(jìn)展。一年后，雅各布

5、的努力還是沒有結(jié)果，可他卻懊惱地看到他的弟弟約翰雅各布的努力還是沒有結(jié)果，可他卻懊惱地看到他的弟弟約翰伯努利發(fā)伯努利發(fā)表了這個問題的正確答案。而自命不凡的約翰，卻幾乎表了這個問題的正確答案。而自命不凡的約翰，卻幾乎不不 可能可能算是一算是一個謙和的勝利者，因為他后來回憶說：個謙和的勝利者，因為他后來回憶說： 我我哥哥的努力沒有成功；而我卻幸運得很，因為我發(fā)現(xiàn)了全面解哥哥的努力沒有成功；而我卻幸運得很，因為我發(fā)現(xiàn)了全面解開這道難題的技巧（我這樣說并非自夸，我為什么要隱瞞真相呢？）開這道難題的技巧（我這樣說并非自夸，我為什么要隱瞞真相呢？）沒錯，為研究這道題，我整整一晚沒有休息沒錯，為研究這道題，

6、我整整一晚沒有休息不過第二天早晨，我就滿不過第二天早晨，我就滿懷欣喜地去見哥哥，他還在苦思這道難題，但毫無進(jìn)展。他像伽利略一樣，懷欣喜地去見哥哥，他還在苦思這道難題，但毫無進(jìn)展。他像伽利略一樣，始終以為懸鏈線是一條拋物線。停下！停下！我對他說，不要再折磨自己始終以為懸鏈線是一條拋物線。停下！停下！我對他說，不要再折磨自己去證明懸鏈線是拋物線了，因為這是完全錯誤的。去證明懸鏈線是拋物線了，因為這是完全錯誤的。 可笑可笑的是，約翰成功地解出這道難題，僅僅犧牲了的是，約翰成功地解出這道難題，僅僅犧牲了“整整一晚整整一晚”的休息時間，而雅各布卻已經(jīng)與這道題持續(xù)搏斗了整整一年，這實在是一的休息時間，而雅

7、各布卻已經(jīng)與這道題持續(xù)搏斗了整整一年，這實在是一種種“奇恥大辱奇恥大辱”。)cosh(axay 函數(shù)表達(dá)式：函數(shù)表達(dá)式：這只是剛剛開始我們試著從懸鏈線的下定點我們試著從懸鏈線的下定點做漸開線會得到什么呢？做漸開線會得到什么呢？經(jīng)過一堆巴拉巴拉的微分幾何的運算經(jīng)過一堆巴拉巴拉的微分幾何的運算sin)42lntan(cosaayax這個又是什么鬼？這個又是什么鬼？曳物線曳物線( (tractrixtractrix) ) 是指被是指被曳拉物體受垂直于初始靜曳拉物體受垂直于初始靜止?fàn)顟B(tài)時繩線方向的牽引止?fàn)顟B(tài)時繩線方向的牽引力作用下的運動軌跡。力作用下的運動軌跡。好吧，說人話好吧，說人話 懸鏈線的頂點的漸開線是曳物線（tractrix).這條曳物線的漸進(jìn)線稱為懸鏈線的準(zhǔn)線好，繼續(xù)最速降曲線最速降曲線正交場離子運動輪擺線形成過程類比到懸鏈線呢？類比到懸鏈線呢？懸鏈線懸鏈線是直線上滾動的拋物線是直線上滾動的拋物線的焦點的運動軌跡的焦點的運動軌跡試著旋轉(zhuǎn)一下兩種曲面呢試著旋轉(zhuǎn)一下兩種曲面呢偽球面?zhèn)吻蛎鎽益溍鎽益溍婊氐竭@個題：回到這個題： 不難發(fā)現(xiàn)其實所要求的被積函數(shù)就是不難發(fā)現(xiàn)其實所要求的被積函數(shù)就是1/2sechx1/2sechx，通過雙曲函數(shù)的積分變換可求，通過雙曲函數(shù)的積分變換可求得原函數(shù)得原函數(shù)40)nharctan(silim21)nharctan(si21sec210