1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型第二章第二章 微分方程與差分方程模型微分方程與差分方程模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型模型一 利率模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型一、單利模型設(shè)年利率為r,初始資金量為S0,n年后資金量為Sn01nSSnr（）n年后的本利和為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型二、復(fù)利模型01nSSrn（）1、離散型復(fù)利模型每年結(jié)算一次，n年后的本利和為每年結(jié)算m次，n年后的本利和為01mnnrSSm（）經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型2、連續(xù)型復(fù)利模型連續(xù)結(jié)算（瞬時結(jié)算），n年后的本利和為00lim1mnrnnmrSSS em（）經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型三、現(xiàn)值模型1、單利現(xiàn)值模型若n年后的資金量是Sn,則初期

2、的資金量為01nSSnr在現(xiàn)值模型中，年利率r也稱為折現(xiàn)率經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型-01nnSSr（）2、復(fù)利現(xiàn)值模型每年折現(xiàn)一次，若n年后的資金是Sn,則初期的資金為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型每年折現(xiàn)m次，若n年后的資金量是Sn,則初期的資金量為01mnnrSSm（）連續(xù)折現(xiàn),若n年后的資金量是Sn,則初期的資金量為0rnnSS e經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 模型二模型二 生豬出售問題生豬出售問題經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型飼養(yǎng)場每天投入飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計估計使當(dāng)前使當(dāng)前80千克重的生豬每天增加千克重的生豬每天增加2公斤。公斤。問問題題市

3、場價格目前為每千克市場價格目前為每千克8元，但是元，但是預(yù)測預(yù)測每天會降每天會降低低 0.1元，問生豬應(yīng)何時出售。元，問生豬應(yīng)何時出售。如果如果估計估計和和預(yù)測預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何影響。有誤差，對結(jié)果有何影響。分分析析投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機(jī)，使利潤最大時間減少，故存在最佳出售時機(jī)，使利潤最大經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售，可多得利潤天后出售，可多得利潤20元元建模及求解建模及求解生豬體重生豬體重 w=80+rt出售價格出

4、售價格 p=8-gt銷售收入銷售收入 R=pw資金投入資金投入 C=4t利潤利潤 Q=R-C=pw -C生豬的增長速度生豬的增長速度r=2，若當(dāng)前出售，利潤為若當(dāng)前出售，利潤為808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640收購價格降低速度收購價格降低速度g=0.1經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響變化時對模型結(jié)果的影響 估計估計r=2， g=0.1rggrt2404 設(shè)設(shè)g=0.1不變不變 5 . 1,6040rrrtt 對對r 的（相對）敏感度的（相對）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(

5、rrtS生豬每天體重增加量生豬每天體重增加量r 增加增加1%，出售時間推遲，出售時間推遲3%。 1.522.5305101520rt經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型敏感性分析敏感性分析估計估計r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響變化時對模型結(jié)果的影響 設(shè)設(shè)r=2不變不變 15. 00,203gggtt 對對g的（相對）敏感度的（相對）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生豬價格每天的降低量生豬價格每天的降低量g增加增加1%，出售時間提前，出售時間提前3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模

6、型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 模型三模型三 森林救火問題森林救火問題經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。隊員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊員少，森林損失大，救援費(fèi)用可能更大。隊員少，森林損失大，救援費(fèi)用可能更大。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊員數(shù)量。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊員數(shù)量。問題問題分析分析問題問題記隊員人數(shù)記隊員人數(shù)x, 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 時刻時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費(fèi)損失費(fèi)f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒

7、毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費(fèi)救援費(fèi)f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間由隊員人數(shù)和救火時間決定決定.存在恰當(dāng)?shù)拇嬖谇‘?dāng)?shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 關(guān)鍵是對關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè)作出合理的簡化假設(shè).問題問題分析分析失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 畫出時刻畫出時刻 t 森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度速度dB/dt.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型

8、模型假設(shè)模型假設(shè) 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)）燒毀單位面積損失費(fèi)） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度）火勢蔓延速度） 2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊員的平均滅火為隊員的平均滅火速度）速度） 4）每個）每個隊員的單位時間滅火費(fèi)用隊員的單位時間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用一次性費(fèi)用c3假設(shè)假設(shè)1）的解釋的解釋 rB火勢以失火點為中心，火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑半徑 r與與 t 成正比成正比面積面積 B與與 t2成正比，成正比， dB/dt與與

9、 t成正比成正比.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假設(shè)假設(shè)1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)3）4）xttt112假設(shè)假設(shè)2）)(222212212xttbt經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型模型模型應(yīng)用應(yīng)用c1,c2,c3已知已知, t1可估計可估計, c3 , x 結(jié)果結(jié)果解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費(fèi)燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個每個隊員單位時間滅火費(fèi)隊員單位時間滅火費(fèi), c3每個每個隊員一次性費(fèi)

10、用隊員一次性費(fèi)用, t1開始救火時刻開始救火時刻, 火火勢蔓延速度勢蔓延速度, 每個每個隊員平均滅火隊員平均滅火速度速度. , 可可設(shè)置一系列數(shù)值設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊員數(shù)量由模型決定隊員數(shù)量x c1, t1, x 2c經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 模型四模型四 產(chǎn)品銷售問題（擴(kuò)展）產(chǎn)品銷售問題（擴(kuò)展）經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型一、獨家耐用產(chǎn)品銷售模型一、獨家耐用產(chǎn)品銷售模型 一種耐用新產(chǎn)品進(jìn)入市場后，一般會經(jīng)過一種耐用新產(chǎn)品進(jìn)入市場后，一般會經(jīng)過一個銷售量先增加，然后下降的過程，稱為產(chǎn)一個銷售量先增加，然后下降的過程，稱為產(chǎn)品的生命周期，簡記為品的生命周期，簡記為PLCPLC。PLCPLC曲線

11、可能有若曲線可能有若干種情況，其中有一種為鐘型，建立數(shù)學(xué)模型干種情況，其中有一種為鐘型，建立數(shù)學(xué)模型分析此現(xiàn)象。分析此現(xiàn)象。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型問題分析問題分析商品信息傳播一般有兩個途徑：商品信息傳播一般有兩個途徑：w消費(fèi)者外部信息消費(fèi)者外部信息: :廣告、親眼看到商品等。廣告、親眼看到商品等。w消費(fèi)者內(nèi)部信息消費(fèi)者內(nèi)部信息: :部分人使用并有所評價部分人使用并有所評價, ,使周圍使周圍人了解到有關(guān)產(chǎn)品信息。人了解到有關(guān)產(chǎn)品信息。 由于是耐用消費(fèi)品，所以一般不會重復(fù)購買，由于是耐用消費(fèi)品，所以一般不會重復(fù)購買，故產(chǎn)品累計銷售量可以認(rèn)為是購買者人數(shù)。故產(chǎn)品累計銷售量可以認(rèn)為是購買者人數(shù)。經(jīng)濟(jì)

12、數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型建模與求解建模與求解 設(shè)設(shè)K K為潛在的消費(fèi)者總數(shù)。為潛在的消費(fèi)者總數(shù)。 n(tn(t) )為為t t 時刻購買該產(chǎn)品的人數(shù)，在時刻購買該產(chǎn)品的人數(shù)，在 t , t+t t , t+t 中，中，nn由兩部分組成，由兩部分組成，nn1 1是由來自消費(fèi)者外部的是由來自消費(fèi)者外部的產(chǎn)品信息導(dǎo)致的購買者增量；產(chǎn)品信息導(dǎo)致的購買者增量；nn2 2 是由來自消費(fèi)者是由來自消費(fèi)者內(nèi)部傳播的產(chǎn)品信息導(dǎo)致的購買者增量內(nèi)部傳播的產(chǎn)品信息導(dǎo)致的購買者增量。 n n1 1應(yīng)與未購買者人數(shù)成正比，即應(yīng)與未購買者人數(shù)成正比，即 ttnKan1經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型n n2 2應(yīng)與已購買者人數(shù)、未購買

13、者人數(shù)之積成正比，應(yīng)與已購買者人數(shù)、未購買者人數(shù)之積成正比，即即 2( )( )nbn tKn tt（a，b 0 0為比例系數(shù)為比例系數(shù)） ( )( )( )( )n ta Kn ttbn tKn tt 21nnn 在在 t ,t+tt ,t+t 中，中，nn 總數(shù)為總數(shù)為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型所以銷售量的數(shù)學(xué)模型為所以銷售量的數(shù)學(xué)模型為: :( )( )(0)0dnKn tabn tdtn ()()1 1a bK ta bK ten tKbKea其曲線即為其曲線即為PLC PLC 曲線，它的圖形為鐘型。曲線，它的圖形為鐘型。 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型二、兩家競爭的銷售模型二、兩家競爭的銷售

14、模型假設(shè)假設(shè)1、兩家企業(yè)銷售同一種商品，而市場容量是兩家企業(yè)銷售同一種商品，而市場容量是 有限的，設(shè)有限的，設(shè)t t時刻的市場容量為時刻的市場容量為M(t)M(t). .2、設(shè)設(shè)N(t)N(t) 是是t t時刻市場的潛在銷量，時刻市場的潛在銷量， 分別是甲廠和乙廠的銷量。分別是甲廠和乙廠的銷量。)( )(21tStS、3、甲、乙兩廠銷量的變化率都與潛在的市場甲、乙兩廠銷量的變化率都與潛在的市場 銷量銷量N(t)N(t)成正比。成正比。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型建立模型建立模型(3) )()()()(2) (1) 212211tStStMtNNCdtdSNCdtdS將將（1 1）、（）、（2 2）

15、兩式相除并兩端積分兩式相除并兩端積分：4132CSCS經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型CBeASdtdSt 11將上式代入（3），再代入（1），得不妨假設(shè)市場容量函數(shù)為不妨假設(shè)市場容量函數(shù)為 ( )(1) tM te,0 為常數(shù)tt0M(t) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型解得3 t211)(KeKeKtSAt3 t212)(MeMeMtSAt其中 都是常數(shù)。321321,MMMKKK由此可見，甲、乙兩廠的銷售模型是同一類型。同理經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 模型五模型五 最優(yōu)價格問題最優(yōu)價格問題經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型 設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺電視機(jī)的成本為c, 每臺電視機(jī)的銷售價格為 p, 銷售量為 x。假設(shè)該

16、廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài) ，即電視機(jī)的生產(chǎn)量等于銷售量。根據(jù)市場預(yù)測, 銷售量 x與銷售價格 p 之間有如下關(guān)系： ) 1 ()0, 0(aMMexap其中M 為市場最大需求量，a 是價格系數(shù)。同時，生產(chǎn)部門根據(jù)對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析，對每臺電視機(jī)的生產(chǎn)成本 c 有如下測算：)2() 1, 0(ln0 xkxkcc經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型其中c0 是只生產(chǎn)一臺電視機(jī)的成本, k 是規(guī)模系數(shù)。根據(jù)上述條件，應(yīng)該如何確定電視機(jī)的銷售價格 p, 才能使該廠獲得最大利潤？分析分析：在生產(chǎn)和銷售商品過程中，商品銷售量、生產(chǎn)成本與銷售價格 是相互影響的。廠商只有選擇合理的銷售價格最優(yōu)價格最優(yōu)價格,才能獲得最大利潤。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型設(shè)廠家獲得的利潤為u, 每臺電視機(jī)的生產(chǎn)成本為c,銷售價格為p,銷售量為x, 則利潤函數(shù)為 u = (p - c) x (3)問題變化為在條件(1)(2)下求解利潤函數(shù)的最大值。 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)( , , , , )L x p c ()pc x()apxMe0(ln )(4)cckx經(jīng)濟(jì)