1、 微積分（B II）總結(jié)chapter 8 多元函數(shù)微分學(xué)8.1 多元函數(shù)的極限先看極限是否存在（一個(gè)方向組(y=kx)或兩個(gè)方向趨近于極限點(diǎn)（給定方向必須當(dāng)x滿足極限過(guò)程時(shí),y也滿足極限過(guò)程）。如果存在，能先求的先求，能用等價(jià)無(wú)窮小替換的就替換，最后考慮夾逼準(zhǔn)則。8.2 偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義（多用于分段函數(shù)的分界點(diǎn)）例：求,就是求分段函數(shù)的點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不一定存在（如：錐）8.3 全微分函數(shù)可微，則偏導(dǎo)數(shù)必存在（逆否命題可證明函數(shù)不可微,證明時(shí)，把右邊前兩項(xiàng)移到左邊，看它是不是的高階無(wú)窮小）例：對(duì)于某一點(diǎn)處的全微分，也可能要用到點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。8.4多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)8.4.1鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則鏈?zhǔn)角?/p>

2、導(dǎo)法則要求函數(shù)對(duì)每個(gè)中間變量求偏導(dǎo)，乘以中間變量對(duì)自變量求偏導(dǎo)。而所謂函數(shù)對(duì)第一中間變量求偏導(dǎo)就是說(shuō)另外把兩個(gè)中間變量看做不變。小心：中間變量要帶入，例：（在計(jì)算z對(duì)u的偏導(dǎo)時(shí)，相當(dāng)于把v,t看做不變）這里的u,v要帶入（第三行），并且z是具體的函數(shù)，所以在對(duì)中間變量求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)可以求出來(lái)8.4.2隱函數(shù)求偏導(dǎo)全微分性質(zhì)的不變性例：用全微分形式的不變性兩邊同時(shí)取全微分，相當(dāng)于（-xy）為中間變量，求出全微分后，直接出偏導(dǎo)想象z=z(x,y)即z是復(fù)合函數(shù)，兩邊對(duì)x,y求導(dǎo)也能的出來(lái)（較慢）8.5 隱函數(shù)求導(dǎo)公式8.5.1 一個(gè)方程分母上的做函數(shù)，分子上的做一個(gè)自變量，對(duì)分子上的求偏導(dǎo)如：

3、若求偏x，那就把方程看成z=z(x,y)對(duì)z求導(dǎo)。注意，x,yy獨(dú)立，然而z對(duì)x，y求導(dǎo)不是08.5.2 方程組觀察方程組，4個(gè)變量，兩個(gè)等式，那么說(shuō)有兩個(gè)自由變量。讓求,就是把方程組看成u=u(x,y),v=v(x,y), 上下對(duì)y求導(dǎo)。（把分母上的變量看做函數(shù)）8.6空間曲線的幾何應(yīng)用8.6.1空間曲線的切線與法平面特殊地，無(wú)論方程如何給出，弄出對(duì)x或?qū)的導(dǎo)數(shù)十分關(guān)鍵。注意，在某點(diǎn)處的切線方程在看方向向量時(shí)要把那個(gè)點(diǎn)帶入8.6.2曲面的切平面與法線,特殊地8.6.3 方向?qū)?shù)與梯度即梯度與所給方向l的方向向量的點(diǎn)積記住，如果求某一點(diǎn)的方向?qū)?shù)，要求的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)如果用此公式，需

4、要z有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)l的方向與梯度的方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)的值最大，為梯度的摸8.7 多元函數(shù)的極值8.7.1多元函數(shù)極值極值取在駐點(diǎn)處，或者在不可微的點(diǎn)處如果出現(xiàn)（3）的情況，需要回歸定義，8.7.2多元函數(shù)最值加上定義域邊界上的值，與函數(shù)的極值比較對(duì)于定義域無(wú)界的情況，要考慮x,y逼近于無(wú)窮8.7.3拉格朗日乘數(shù)法（條件極值）構(gòu)造方程，其中(x,y)為駐點(diǎn)記?。合喈?dāng)于構(gòu)造,每一個(gè)方程就是對(duì)每個(gè)自變量求導(dǎo)，然后再加上約束條件（也就是對(duì)lambda求偏導(dǎo)）。求導(dǎo)時(shí)，一定要對(duì)也求偏導(dǎo)。至于這里的駐點(diǎn)如何為極值點(diǎn)，需要人為驗(yàn)證（回歸定義）如何解方程:對(duì)于只有一個(gè)約束條件的方程前幾個(gè)不帶約束條件的

5、方程對(duì)稱性很好，因此先通過(guò)第一個(gè)方程解出lambda，然后帶入后面幾個(gè)方程(不包含帶有約束條件的方程)，可以解出x,y,z的關(guān)系（一般是比例關(guān)系）?？梢园褃和z都用x表示。然后帶入含有約束條件的方程。（穩(wěn)賺不賠的傻瓜解法）對(duì)于由兩個(gè)約束條件的方程，可以通過(guò)前面（不包含約束條件的）方程解出lambda1與2的關(guān)系，然后削去其中一個(gè)，然后再按只有一個(gè)約束條件處理。(但這樣的問(wèn)題更需要具體分析)chapter 9 重積分9.1二重積分判斷二重積分的符號(hào)：如果被積函數(shù)在D中處處小于0，那么積分值小于0二重積分相當(dāng)于求平面片的質(zhì)量，而被積函數(shù)相當(dāng)于某一點(diǎn)處的密度。這樣，根據(jù)被積函數(shù)的對(duì)稱性和積分區(qū)域的對(duì)

6、稱性很容易理解二重積分的對(duì)稱性。如果被積函數(shù)為1，相當(dāng)于求平面片的面積。（直角坐標(biāo)）極坐標(biāo)9.2二重積分的應(yīng)用9.2.1求曲面的面積如果可以投影到xoy面，即可以有函數(shù)z=z(x,y)如果偏導(dǎo)數(shù)不好求，直接求法向量，直接求方向角帶入第一個(gè)等式即可。其他面同理，求曲面面積時(shí)，一定要把曲面所在的卦限想全。如下圖，曲面在一二五六卦限都有。如果只是用上面公式向xoy投影，就只能得出一半的答案。這兩個(gè)面圍成的曲面并不是z的函數(shù)，分成上下兩片每一片才是z的函數(shù)，這就是錯(cuò)誤的原因。對(duì)于用參數(shù)方程表示的區(qū)域的二重積分先設(shè)y對(duì)于x的函數(shù)為y(x)，把二重積分用直角坐標(biāo)表示出來(lái)。把二重積分化為定積分后，再用二重積

7、分換元法，換成t，記住，換元必?fù)Q限。9.2.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.3 三重積分解三重積分考慮幾個(gè)問(wèn)題：直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球坐標(biāo)？通過(guò)積分區(qū)域和被積函數(shù)選擇直角坐標(biāo):Step1:先一后二還是先二后一？先二后一：一般情況下當(dāng)被積函數(shù)只有一個(gè)變量，積分采用先二后一。含誰(shuí)，誰(shuí)就作為“一”。然后即可解出。對(duì)于先一后二，進(jìn)入下一步。Step2 :對(duì)稱性有沒(méi)有？看被積函數(shù)整體有沒(méi)有，或者整理后某一項(xiàng)有沒(méi)有（如果有且這一項(xiàng)積出來(lái)是0，那很好）,如：，打開(kāi)后如果被積區(qū)域是關(guān)于yoz面對(duì)稱，那么含x的交叉項(xiàng)就為0.記住，如果積分變得復(fù)雜，那么可能是剛開(kāi)始沒(méi)有考慮對(duì)稱性。被積函數(shù)只要出現(xiàn)了加減法，就對(duì)每一個(gè)部分考慮對(duì)稱性

8、。Step3:選擇一個(gè)投影面，最好這個(gè)投影面上的每一點(diǎn)引出這個(gè)面的垂線與區(qū)域邊界面相交不多于兩點(diǎn)。Step4:畫出投影面直角坐標(biāo)：畫出xoy或yoz或xoz投影，在確定另一個(gè)變量的范圍。另一個(gè)變量如果范圍在投影區(qū)域內(nèi)不相同，那么要把投影面分片柱面坐標(biāo):先,后定下來(lái)了，看r的范圍，如果對(duì)于不同的.r有不同的值，那么就要把分段。對(duì)于其他變量也是，d了它，它就定了。r:投影面上點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離球坐標(biāo):r:空間上的點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)距離與柱坐標(biāo)相同，球坐標(biāo)先,再，最后dr，注意，如果對(duì)于每個(gè)前面的變量，后面的變量的范圍不同，就需要分段chapter 10 曲線積分和曲面積分記住，曲線積分，關(guān)鍵是找曲線的參

9、數(shù)方程。方法論尤其是當(dāng)曲線由兩個(gè)三元方程組甚至三個(gè)四元方程組給出時(shí)，除了要想通過(guò)其中一個(gè)方程把積分表達(dá)式化繁為簡(jiǎn)以外，還要想到用參數(shù)方程。10.1 第一類曲線積分求曲線弧段的質(zhì)量，求準(zhǔn)線為曲線的柱面的面積f(x,y)為曲線的線密度一代二定限，上界一定大于下界所謂代，可以全換成x，可以全換成y，可以曲線的直角坐標(biāo)方程化為以t為自由變量的參數(shù)方程，可以在一般式（方程組）中帶入一個(gè)方程。一代二定限三ds10.2 第二類曲線積分基本計(jì)算法：一代（代參數(shù)方程，代y與x的關(guān)系方程，代一般式方程），二定向，三定限兩類曲線積分也有關(guān)系，如果曲線與的每一點(diǎn)的有向曲線元為定值或者特別好算，就可以直接把第二類曲線積

10、分化為第一類曲線積分。10.3 格林公式格林公式溝通了封閉曲線的第二類曲線積分與二重積分前提：封閉的在坐標(biāo)平面上的曲線用格林公式時(shí)，必保證P,Q有定義，否則要扣除無(wú)定義的點(diǎn)。以此為考點(diǎn)很容易出分類討論，此類問(wèn)題中，所給曲線一般不固定。如：（L不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)），就要討論原點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)的情況。應(yīng)用格林公式還能計(jì)算平面的面積第二類曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件：G為但連通區(qū)域，函數(shù)P、Q在G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。又因?yàn)榍€積分與路徑無(wú)關(guān)，所以求u的最簡(jiǎn)單方法就是選取一條路徑，求曲線積分的值（L起點(diǎn)為(0,0),終點(diǎn)為（x,y），求出來(lái)的原函數(shù)要+C10.4 第一類曲面積分一代（比如，如果向xoy面投影帶入z），二

11、投，三dS（這一步一定要記住，這不是平面積分）10.5 第二類曲面積分曲面的側(cè)：非封閉曲面向坐標(biāo)軸正向的一面為正側(cè)。如：上正下負(fù),正負(fù)在曲面積分被化為二重積分時(shí)取。注意，如果在這里認(rèn)為取正負(fù)號(hào)，那么在算法向量時(shí)，z的系數(shù)一定為-1（一代二投三定側(cè)）第二類曲面積分的物理意義是以被積區(qū)域?yàn)榍娴牧髁?。P,Q,R為流速場(chǎng)向量。兩類曲面積分之間的關(guān)系此后，dS可以只用dxdy或dydz或dxdz表示，于是把混合型的曲面積分化成了單一型。10.6 高斯公式 通量與散度這里暗取了曲面的外側(cè)，如果取內(nèi)側(cè)，需要加負(fù)號(hào)散度：某一點(diǎn)的散度是一個(gè)數(shù)稱為向量場(chǎng)向正向穿過(guò)的通量10.7 斯托克斯公式、環(huán)流量與旋度封閉空

12、間曲線（當(dāng)然包含平面曲線）的曲線積分與曲面的曲面積分之間的關(guān)系等式左右兩邊就表示向量場(chǎng)(P,Q,R)沿曲線C所取方向的環(huán)流量旋度是一個(gè)向量10.8幾種曲面積分的解題方法第一類曲面積分第一類曲面積分就是再求一個(gè)以密度為被積函數(shù)的曲面的質(zhì)量，那么，解法如下：如果被積函數(shù)是兩種形式相加，看其中一個(gè)，有可能它是0（對(duì)稱性）.把曲面看成是以其中兩個(gè)變量為自變量，另外一個(gè)是因變量的函數(shù)。如果不能看成函數(shù)或者這個(gè)函數(shù)很復(fù)雜，再考慮對(duì)稱性，只取這個(gè)曲面的一個(gè)重復(fù)單元，變成函數(shù)。 求面積元素帶入，化為二重積分，完成。第二類曲面積分如果曲面封閉或者接近封閉，直接進(jìn)入下一步。否則進(jìn)入第五步。曲面是否封閉？如果不封閉

13、要添加輔助曲面用高斯公式，小心符號(hào)還沒(méi)有完!！再算輔助曲面的曲面積分！相加減完成。用對(duì)稱性或可加性，把曲面變成函數(shù)如果看成z=z(x,y)，那么要投影并帶入z，而且把組合形式化成dxdy的形式，此時(shí)，再看符號(hào)。（再算法向量時(shí)，不考慮符號(hào)，令F(x,y,z)=z-z(x,y)）chapter 11無(wú)窮級(jí)數(shù)11.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)11.1.1 幾個(gè)常見(jiàn)的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù)否則發(fā)散p級(jí)數(shù)p<=1 發(fā)散p>1收斂11.1.2 級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)收斂，則收斂收斂，則收斂，且逆亦真沒(méi)括號(hào)收斂，則加括號(hào)收斂；加括號(hào)發(fā)散，則沒(méi)括號(hào)發(fā)散收斂必要條件=>(反過(guò)來(lái)不對(duì)，調(diào)和級(jí)數(shù)一般項(xiàng)為0，但發(fā)散)11.2 常

14、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法操作方法，直到判斷完成： 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)嗎？如果是交錯(cuò)級(jí)數(shù)或任意項(xiàng)級(jí)數(shù)可不可以加一個(gè)絕對(duì)值來(lái)證明絕對(duì)值收斂？ 可以拆分嗎？如果一般項(xiàng)由兩項(xiàng)之和相加形成，且預(yù)期兩項(xiàng)都可以使級(jí)數(shù)發(fā)散或收斂，把他們拆開(kāi)。審斂法一般審單項(xiàng)式對(duì)于每一個(gè)單項(xiàng)式，要進(jìn)行以下操作： 收斂級(jí)數(shù)的必要條件 比值審斂法，根值審斂法有階乘的，有不帶多余項(xiàng)的指數(shù)項(xiàng)的都好用如：根值適合有指數(shù)項(xiàng)的一般項(xiàng) 極限審斂法乘以n，乘以n的p次方，對(duì)于：這種形式非常有用 放縮、比較審斂法比較審斂法的極限形式考慮多項(xiàng)式中當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)的主要項(xiàng)，與主要項(xiàng)做比值如：與做比值比較審斂法放縮：在這里，把n換成與n相關(guān)的結(jié)果大于等于0的多項(xiàng)式，依然要

15、會(huì)用放縮技巧，想證明發(fā)散就往小了放：，亦然k<0改成小于號(hào)就行了如果從某項(xiàng)（有限項(xiàng)）之后，這個(gè)不等式才成立，那么扔掉前面那些項(xiàng) 繼續(xù)進(jìn)入第步11.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂ó部分和數(shù)列有界級(jí)數(shù)收斂的必要條件比較審斂法放縮級(jí)數(shù)，大的收斂，小的收斂；小的發(fā)散，大的發(fā)散比較審斂法極限形式：極限審斂法比值審斂法（達(dá)郎貝爾判別法）根值審斂法、11.2.2交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)是指一正一負(fù)，如果一般項(xiàng)并不單調(diào)減小，而是在某個(gè)n之后單調(diào)減小，那么把前面的那些項(xiàng)扔掉11.2.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)同樣，若去掉絕對(duì)值發(fā)散，加上絕對(duì)值發(fā)散加上絕對(duì)值后看斂散性，可以用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法11.3函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)看發(fā)散域求發(fā)散域求收斂域邊界處帶入x，轉(zhuǎn)化為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)探討收斂性 冪級(jí)數(shù)注意冪級(jí)數(shù)的