1、嚙合和接觸的計算機模擬嚙合和接觸的計算機模擬組員：樊毅嗇 張永清 李 軒 彭昌琰第九章第九章 嚙合和接觸的計算機模擬嚙合和接觸的計算機模擬9.1 引言9.2 局部接觸綜合9.3 輪齒接觸分析9.4 兩包絡(luò)曲面曲線接觸轉(zhuǎn)換為點接觸9.5 邊緣接觸9.1 引言引言利用計算機技術(shù)對齒輪嚙合過程中的齒面接觸情況及傳動誤差進行分析,從而可在實際切齒前對輪齒的嚙合情況進行預(yù)控,以減少試切時間。在進行TCA 的過程中,要表達大、小輪的齒面方程,需要經(jīng)過大量的坐標變換及矩陣運算,同時還要求解相當(dāng)復(fù)雜的非線性方程組齒輪和接觸痕跡的計算機模擬是一項能夠顯著改善齒輪工藝和質(zhì)量的重大成就1 輪齒接觸分析(Tooth

2、Contact Analysis ,即TCA)2 輪齒接觸分析解決的基本課題給定齒輪兩齒面的方程以及兩回轉(zhuǎn)軸線之間的相錯角和最短距離；齒輪的兩齒面處于點接觸，需要確定：（i）傳動誤差（ii）齒輪兩齒面上的接觸跡線（iii）如同一組瞬時接觸橢圓那樣的接跡線注：在確定接觸跡線時，要考慮到由于齒面的彈性變形，它們的接觸將擴展為一橢圓區(qū)域，并且接觸橢圓的中心是理論接觸點3 輪齒接觸分析的主要構(gòu)想和主要目標TCA的主要構(gòu)想基于相嚙合的兩齒面切觸的模擬。確定瞬時接觸橢圓需要有關(guān)相切觸的兩齒面的主曲率和主方向的知識TCA的主要目標是分析齒輪的嚙合和切觸。確定改善嚙合和接觸狀態(tài)的機床刀具安裝調(diào)整值是齒輪綜合的

3、主要課題4 線接觸兩齒面接觸分析計算在對于初始為線接觸得兩齒面進行嚙合和接觸模擬的情況下，將出現(xiàn)一些特殊的問題。如直齒外齒輪、平行軸螺旋齒齒輪和蝸輪蝸桿傳動。齒輪兩齒面的瞬時線接觸僅僅在理論上對于無安裝誤差和制造誤差的理想齒輪傳動時存在的。實際上，由于齒輪的安裝誤差，齒面的線接觸被點接觸代替。在分析計算中，首先要確定轉(zhuǎn)換點理論接觸線上的一個點，在該店開始實際的點接觸。求出轉(zhuǎn)換點以后，就可能在轉(zhuǎn)換點鄰域內(nèi)確定出位于點接觸跡線上的點，然后開始齒輪接觸分析計算9.2 9.2 局部接觸綜合局部接觸綜合局部接觸綜合的構(gòu)想是在Litvin 1968 的專著中提出的，后來在Litvin和Gutman 198

4、0的文章中用來研究準雙曲面齒輪，又在Litvin和Zhang1991（b）的專著中用來研究弧齒圓錐齒輪。齒輪的局部接觸綜合必須保證：（i）在中央選取的接觸點M具有所需要的傳動比（ii）所希望的齒面上接觸跡線切線的方向（iii）所希望的點M處接觸橢圓長軸的長度（iv）預(yù)先設(shè)定的最大傳動誤差控制等級的拋物線函數(shù)這樣的傳動誤差函數(shù)型式能使我們吸收有齒輪安裝誤差引起的傳動誤差的線性函數(shù)，以及降低振動的等級1 傳動誤差的概念和傳動誤差拋物線函數(shù)的預(yù)先設(shè)定* 理想齒輪傳動的傳動函數(shù)是線性的， 并且表示為：1212NN式中 是齒輪的齒數(shù)， 是齒輪的轉(zhuǎn)角iNi由于有安裝誤差（相錯角改變，在非漸開線齒輪的情況下

5、最短中心距的改變，弧齒錐齒輪、準雙曲面齒輪和蝸輪蝸桿的軸向位移），傳動函數(shù)變?yōu)橹鸲谓诰€性的函數(shù)，所具有的周期為一對齒嚙合循環(huán)的周期。由于循環(huán)連接處角速度的跳動，加速度值趨近于無限大，這樣將引起很大的振動* 預(yù)先設(shè)定的拋物線函數(shù) 和線性函數(shù) 的相互影響問題Litvin等證明了上述兩函數(shù)之和是一拋物線函數(shù)，并且其斜率與初始拋物線函數(shù)的斜率相同。這個新的傳動誤差拋物線函數(shù)相對初始給定的拋物線函數(shù)僅有一些移動。這就是說，預(yù)先設(shè)定的傳動誤差拋物線函數(shù)能夠吸收由齒輪安裝誤差引起的傳動誤差線性函數(shù)。221a （1）21b （2）2 局部接觸綜合的過程通過以下步驟步驟完成（i）確定導(dǎo)數(shù)21211()mm式中

6、(2)211(1)( )m是瞬時傳動比函數(shù)（ii）確定接觸跡線的切線（iii）確定接觸橢圓的長軸應(yīng)用于弧齒錐齒輪和準雙曲齒輪的局部接觸綜合是根據(jù)這樣的假定，大齒輪的機床刀具安裝調(diào)整值是已經(jīng)給定的，并且大齒輪在中央接觸點處的主曲率和主方向也是已知的。局部接觸綜合方法能使我們確定出小齒輪的機床刀具的安裝調(diào)整值，這種安裝調(diào)整值可以在中央接觸點M及其鄰域內(nèi)給出改善了的嚙合和接觸狀態(tài)*確定導(dǎo)數(shù)21m將預(yù)先設(shè)定的傳動函數(shù)表示為這里， 和 是齒輪1和2的初始轉(zhuǎn)角，它們保證兩齒面在中央接觸點M相切觸。利用到二次項的Taylor展開式，我們可以得到式中 在中央接觸點處等于N1/N2 ,而 是選取的定值。傳動函數(shù)

7、 表示為線性函數(shù)和拋物線函數(shù)之和。線性函數(shù)是沒有安裝誤差的齒輪傳動的理想函數(shù)。拋物線函數(shù)是傳動誤差函數(shù)。綜合出的齒輪一定傳遞具有拋物線型傳動誤差函數(shù)的回轉(zhuǎn)運動，該函數(shù)用下式表示假定嚙合循環(huán)內(nèi)所預(yù)期的傳動誤差的最大值是已知的，由上式可以確定(0)(0)2211()F(0)1(0)22(0)(0)(0)(0)2(0)(0)2221111112111211121111()()()()()22FFFmm211( )m21m(0)11()21m(0) 22121111( )()2m *確定接觸跡線的切線推導(dǎo)接觸跡線的切線矢量 ， 和 位于切平面，矢量 和 位于接觸跡線。假定 上的主曲率和主方向是已知的。

8、我們可以認為兩接觸跡線的切線與單位矢量 構(gòu)成夾角為 和(1)rv (2)rv (12)rv (1)rv (2)rv 2se12通過嚙合方程的微分式和矢量關(guān)系可以得到(12)(12)31333121(12)(12)33322()qsqsa vaa vtgtgaavvtg（）(1)3313231savaa tg(1)33113231qa tgvaa tg*確定接觸橢圓 接觸橢圓的方向和大小我們的目標是要建立小齒輪齒面 的參數(shù) ， 和 與瞬時接觸橢圓長軸長度的關(guān)系。所考察的這個橢圓在中央接觸點，并且兩接觸曲面的彈性逼近量是從試驗數(shù)據(jù)得出的已知值?；诹鶄€步驟可以得到接觸橢圓的短軸2b表達式：1(12

9、)fKhKbB(1)(2)2(12)2212112cos24BKKgg gg用于局部接觸綜合的計算步驟綜述如下：選取 ，從方程 確定 ；從方程 和 確定 和 ；從方程 確定A；從方程 確定 ；利用方程（9.2.19）（9.2.23），確定 、 和 ；利用方程（9.2.26）（9.2.29），確定接觸橢圓的方向及其短軸2(12)(12)31333121(12)(12)33322()qsqsa vaa vtgtgaavvtg（）1(1)3313231savaa tg(1)33113231qa tgvaa tg(1)sv(1)qv2Aa2221211214()2(cos2sin2 )AnnKAnnn

10、n KfKhK(12)9.3 9.3 輪齒接觸分析輪齒接觸分析 輪齒接觸分析程序的用途是對接觸痕跡限制在局部的兩齒面的嚙合和接觸進行模擬。這種接觸痕跡形成每一瞬時的接觸點。輪齒接觸分析主要目標：確定兩齒面的接觸跡線；由齒輪安裝誤差引起的傳動誤差；如同一組瞬時接觸橢圓那樣的接觸痕跡。此時可認為兩齒面是已知的，兩齒輪軸線的位置和方向是給定的，同時考慮安裝誤差。連續(xù)切觸的條件 我們設(shè)置三個分別與齒輪1、齒輪2和機架剛性固定的坐標系S1,S2和 附加的固定坐標 模擬安裝誤差。fSqS 假定配有齒面 的齒輪1繞著位于 中的固定軸線轉(zhuǎn)動，這樣在坐標系 中形成齒輪的齒面族。這個齒面族可用以下矩陣方程確定：1

11、fSfS(1)11 1frMr 齒面 的單位法線矢量在 中用矩陣方程表示為：1fS(1)11ffnL n理想齒輪傳動中兩齒面的切觸 配有齒面 的齒輪2繞著位于 中的另一固定軸線轉(zhuǎn)動。將安裝誤差都歸于齒輪2，并且 相對于 的位置和方向模擬齒輪傳動的安裝誤差。2qSqSfS(2)2 2(2)22ffqqffqqrM MrnL L n兩接觸曲面連續(xù)切觸需滿足：兩接觸曲面的位置矢量和法線在任一瞬時都重合。方程表達如下：(1)(2)111222(1)(2)111111(,)(,)(,)(,)ffffrrnn ),(),(222)2(111)1(uNuN(9.3.7)(9.3.8)2 嚙合分析方程（9.3

12、.7）和（9.3.8）可以表示為：(1)(2)111222(1)(2)111111(,)(,)0(,)(,)0ffffrrnn 從矢量方程（9.3.11）和（9.3.12）導(dǎo)出含六個未知數(shù)的五個獨立數(shù)量方程：111222(,)0if 1(1,2,3,4,5)ifC i 齒輪分析的目的是要從方程（9.3.13）中得到函數(shù)：(9.3.11)(9.3.12)(9.3.13)(9.3.14)11111212121( ),( ),( ),( ),( )C 根據(jù)隱函數(shù)組存在的定理，如果下列條件正確：l函數(shù)l方程（9.3.13）在點 是滿足的；l右側(cè)的雅可比行列式不等于零可以證明函數(shù)（9.3.14）在一點的

13、鄰域內(nèi)是存在的，0000000111222(,)P(9.3.15)0P 函數(shù)(9.3.14)可以提供點接觸齒輪嚙合狀況的全部數(shù)據(jù)，函數(shù) 表示兩齒輪轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系（運動規(guī)律）。函數(shù) 確定齒面 上的接觸點跡線。函數(shù) 確定齒面 上的接觸點跡線。 齒面 上的接觸點跡線是齒輪齒面的工作線。齒輪的齒面只在工作線上的各點處接觸配對齒面21(1,2)ii 1111111(, ),( ), ( )r 2222222( , ),( ), ( )r 21( ) 112345,fffffC齒輪兩齒面的嚙合線用以下函數(shù)表示：(1)1111111(2)2222121(,),( ),( )(,),( ),( )ffrr (

14、9.3.19)(9.3.20) 在某些情況下，齒面不能直接用雙參數(shù)形式而是用三參數(shù)形式表示，并且附加有用嚙合方程給出的參數(shù)之間的關(guān)系式。例如蝸輪蝸桿傳動的某些類型的蝸輪齒面表示為：式中 是齒面形成過程中的運動參數(shù)。這樣所求解的非線性方程組將包含具有七個未知數(shù)的六個獨立方程22222(,),(,)0rf 9.4 9.4 兩包絡(luò)曲面由線接觸轉(zhuǎn)換為點接觸兩包絡(luò)曲面由線接觸轉(zhuǎn)換為點接觸無安裝誤差的理想齒輪傳動(線接觸)有安裝誤差的齒輪傳動(點接觸)1和2的一般的點接觸將在點P鄰域的點P*開始上圖(b)，并且轉(zhuǎn)換點在齒面上的位移有唯一的方向。我們的目標是要確定點P在流動的理論接觸線L上的位置和從1上的轉(zhuǎn)

15、換點到接觸點跡線的在齒面i上的位移(i)rs轉(zhuǎn)換循環(huán)和嚙合方程 為了恢復(fù)齒面的接觸，我們假定兩齒輪之一，比方說主動齒輪1是靜止的，而從動齒輪2繞其軸線轉(zhuǎn)過一補償角 。當(dāng)齒面接觸恢復(fù)時，稱這個嚙合循環(huán)為轉(zhuǎn)換循環(huán)。在循環(huán)起點，1和2彼此在一條線接觸；在循環(huán)終點，1和2彼此在一個點接觸。在轉(zhuǎn)換循環(huán)以內(nèi)，1和2彼此不接觸。接觸點沿1和2 的位移和與2一起運動的位移之間的關(guān)系式如下：(c)dq其中 是角度安裝誤差， 是位于 之間接觸線L上點P的位置矢量， 是由線性安裝誤差引起的接觸點位移dq(2)r21和qd s(2)(d)+=0qNq rd sN d s（9.4.4）轉(zhuǎn)換點在理論接觸線上的位置引入一個

16、確定所考察的接觸線上點P的位置所必需的附加方程：(1)(1)(1)1(d)+0.5(K-K)tg2q (d)+d=0ttmtmmKs es eq e （9.4.5）聯(lián)立方程9.4.4和9.4.5，能夠確定P在L上的位置，但是利用計算機程序才可做到這一點。利用這樣的程序，必須試驗L上選作轉(zhuǎn)換點候選者的若干點，直至兩個方程(9.4.4)和(9.4.5)得到滿足。知道了1上不同接觸線的轉(zhuǎn)換點位置以后，我們在1 可以得到作為轉(zhuǎn)換點集合的一條線。這條線可以認為是有安裝誤差齒輪傳動的接觸跡線的近似映象。接觸跡線的位置和方向表示由齒輪傳動的安裝誤差引起的接觸痕跡的變動。確定由安裝誤差引起的接觸跡線和齒輪傳動

17、誤差的更準確的解可以根據(jù)輪齒接觸分析的結(jié)果得出。但是，為了開始執(zhí)行輪齒接觸分析的程序，必須確定接觸跡線上的至少一個點，圖9.4.1中的點P*。確定點P*(接觸跡線的起始點)利用下列步驟，確定與所求點P*相鄰近的點K第一步第一步考察曲面考察曲面1 1上相鄰的兩條接觸線，且在固定坐標系上相鄰的兩條接觸線，且在固定坐標系S Sf f中于每一條接觸線中于每一條接觸線上確定一個轉(zhuǎn)換點上確定一個轉(zhuǎn)換點(P(P、P P(-1)(-1),),對應(yīng)位置矢量對應(yīng)位置矢量 和和 第二步第二步從從P P(-1)(-1)到到P P沿沿1 1的位移矢量的位移矢量第三步第三步從從P P到到K K的位移矢量的位移矢量假定從假

18、定從P P(-1)(-1)到到P P和從和從P P到到K K的位移在相同的位移在相同( (或相或相反反) )方向上來完成。則方向上來完成。則第四步第四步從上述矢量方程導(dǎo)出含紅色方框所示的未知從上述矢量方程導(dǎo)出含紅色方框所示的未知數(shù)的具有三個線性方程的方程組。因為位移數(shù)的具有三個線性方程的方程組。因為位移矢量位于在點矢量位于在點P P與與1 1相切的平面內(nèi)，所以相切的平面內(nèi)，所以11(P) (-P)ffrr(1)(1)(-1)1(P)-(P)=ffrrd s1111=Td sdm dq dl(1)(1)(1)11111=+fffrrd sd rur11=d sd s(1)(1)(1)111111

19、=()=0fffrrNd sud sr(1)(1)(1)(1)(-1)111(P)-(P ) =+ffffrrrrur由上述式子能確定由上述式子能確定 和和 ，最后得到對于點，最后得到對于點P P的比值的比值11u1/u1/ 第五步第五步曲面曲面1 1和和2 2在點在點P P及其領(lǐng)域內(nèi)相切觸。這樣，下列方程在該點及其及其領(lǐng)域內(nèi)相切觸。這樣，下列方程在該點及其領(lǐng)域內(nèi)成立領(lǐng)域內(nèi)成立(1)(1)(2)(2)(2)11221122(1)(1)(2)(2)(2)11221122=+=+fffftrfffftrrrrrduddudd suunnnrduddudd nuu假定 ，則未知數(shù)的解可求出1111=duud第六步第六步以上所討論的解可給出點以上所討論的解可給出點K K的坐標。點的坐標。點K K非常接近所求點非常接近所求點P P* *，知道了，知道了點點K K的坐標和齒面在點的坐標和齒面在點K K的公法線后，便可進行便可開始進行確定接的公法線后，便可進行便可開始進行確定接觸跡線的計算步驟，這些計算步驟基于連續(xù)切觸方程觸跡線