1、( )( )cossin( )21( ) cossin2iwtF wf x edtwtiwtf xdtf xwtiwt dti( , )()etatt a21/4() 2cos(5 )tgtet22() cos(2) cosf tttt21/4() 2cos(5 )l st ksTgctet22( )( )/( )gctgc tgc t( )( )2()G wH t gc tdt22,( )( )( )( )( )( )( )1( ),;0Ra btL RF wF wF wCdwwtttbta bRaaa設(shè)，其傅立葉變換為，若滿足容許條件（完全重構(gòu)條件/恒等分辨條件）：則稱為一個(gè)基本小波或母小

2、波。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得：2,2( )( )1( , ),( )11( )( , )fa bRff tL RtbW a bff tdtaatbf tW a bdadbCaa 對(duì)任意函數(shù)的連續(xù)小波變換為：其重構(gòu)公式（逆變換）為： ,2( )( )( )( )( )(0)0( )(2),0a bjtttt dtF wF wFt dtF wAFwBAB由于基本小波生成的小波序列在小波變換中對(duì)被分析信號(hào)起著觀察窗的作用，故還應(yīng)滿足一般函數(shù)的約束條件：故是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，這意味著為了滿足完全重構(gòu)條件，在原點(diǎn)要等于零，即：為使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)在數(shù)值上穩(wěn)定，還要求滿足穩(wěn)定性條件：*2( )( )( )( )

3、(2)jjttFwF wFw若小波滿足穩(wěn)定性條件，則定義一個(gè)對(duì)偶小波，其傅立葉變換為：可見，穩(wěn)定性條件實(shí)際上是對(duì)分母的約束條件，保證對(duì)偶小波的傅立葉變換存在。一個(gè)小波的對(duì)偶小波一般并不唯一，而實(shí)際應(yīng)用卻希望一個(gè)小波具有唯一的對(duì)偶小波。尋找這樣的小波是小波分析的基本問題之一。( )( , )()( ,)( )( , )( )1(,)fffff tW a bf tW a bf tW a bf ctW ca cbcab（1）線性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各分量的小波變換之和；（2）平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為；（3）伸縮共變性：若的小波變換為，則的小波變換為；（4）自相似性：對(duì)應(yīng)不

4、同尺度參數(shù) 和不同平移參數(shù) 的連續(xù)小波之間是自相似的；（5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余。11 211 211 2( , )( )d( )d( )ddkfkkkkkkkktbW a bf t atatbf k atatbtbaf kttaa 221121000( )( ),0( )( )(2 ),( )(),() |jj Zjjjjjj Zj ZjjLRVLRMRAVVVjZVVLRf xVfxVjZf xVf xkVkZRieszgVg xk 空間中一列閉子空間稱為的一個(gè)多分辨分析（），若該序列滿足下列條件：（1）單調(diào)性：；（2）逼近性：，；（3）伸縮性：；（4）平移不變性：；（

5、5）基存在性：存在，使011jjjjjkZVRieszVVVVW構(gòu)成的基。多分辨分析是由一個(gè)尺度函數(shù)建立起來的，故多分辨分析的建立等價(jià)于尋找尺度函數(shù)在多分辨分析的框架下的性質(zhì)。下面根據(jù)以及建立尺度函數(shù)方程的關(guān)系式。 121,22( )(2)2( ) (2)(2)(2)22( )2(2)jj Zkk Zkjjklk Zjlkljkk ZjjjkVxhxkhxxkdxxlhxkhxxk設(shè)是一個(gè)具有尺度函數(shù) 的正交多分辨分析，則下列尺度關(guān)系式成立：其中，等價(jià)于： 22121( )( )(2)( )( )(2)( )( )( 1)2(2)( )jkj Zkk Zkk Zkkkjjjk ZjjjjjVt

6、MRAhlxhxkxxgxkxL RghWspanxkWWjjWVWx 設(shè),是一個(gè)正交，則存在使得下面的雙尺度方程成立，且利用尺度函數(shù)構(gòu)造函數(shù)的伸縮和平移構(gòu)成的正交基，其中當(dāng)時(shí)，。上述定義的函數(shù)稱為小波函數(shù)。11112222jjjjjjjjH fH ffHfDf（1）基本思想設(shè)為能量有限信號(hào)在分辨率 下的近似，則可進(jìn)一步分解為 在分辨率下的近似以及位于分辨率與 之間的細(xì)節(jié)之和，其分解過程如下所示： 21,21,1111111122( )2( )2( )( )kkmnjnj mmnjnj mjjjjjkjkkkjjkjkkjjjkkkhghgHf xaxkDf xdxkH f xaxaad（2）引理雙尺度方程中系數(shù)、可通過內(nèi)積來計(jì)算。（3）信號(hào)分解重構(gòu)設(shè)則信號(hào)分解與重構(gòu)變?yōu)閷ふ蚁禂?shù) 、與之間的關(guān)系