1、一、數(shù)學思想與數(shù)學文化一、數(shù)學思想與數(shù)學文化 文化是生活的形態(tài)表現(xiàn)，文明是生活的物質(zhì)表現(xiàn)。 數(shù)學文化是數(shù)學的形態(tài)表現(xiàn)：形式、歷史、思想。 思想是本質(zhì)的，無思想則無文化。 數(shù)學課標：雙基四基、兩能四能 基礎(chǔ)知識、基本技能 + 基本思想、基本活動經(jīng)驗 分析問題、解決問題 + 發(fā)現(xiàn)問題、提出問題大學的數(shù)學教學也要關(guān)注培養(yǎng)學生的 思維方法：創(chuàng)新的根本。 思維方法的教育：數(shù)學思想 + 思維經(jīng)驗。數(shù)學思想方法是什么？通常認為的數(shù)學思想方法： 等量替換、數(shù)形結(jié)合、分類、遞歸、轉(zhuǎn)換； 配方法、換元法、加強不等式。二、數(shù)學的基本思想二、數(shù)學的基本思想 數(shù)學產(chǎn)生與發(fā)展所依賴的思想； 學習數(shù)學以后具有的思維能力。抽

2、象抽象：把與數(shù)學有關(guān)的知識引入數(shù)學內(nèi)部；抽象能力強。推理推理：促進數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展；推理能力強。模型模型：溝通數(shù)學與外部世界的橋梁；應用能力強。抽象抽象：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象；圖形與圖形關(guān)系的抽象。得到：得到：研究問題的對象概念對象概念和對象之間的關(guān)系概念關(guān)系概念； 運算方法運算方法和運算之間的運算法則運算法則。亞里士多德： 數(shù)學家用抽象的方法對事物進行研究，去掉事物中那些感性的東西。對于數(shù)學而言，線、角、或者其他的量的定義，不是作為存在而是作為關(guān)系。引出抽象的兩個層次兩個層次：直觀描述，符號表達。數(shù)量的第一步抽象數(shù)量的第一步抽象 數(shù)量 數(shù)。 2匹馬、2頭牛 2。 數(shù)量的本質(zhì)多與少 數(shù)的本質(zhì)大與

3、小 刻畫大小的序關(guān)系 自然數(shù)、加法 有理數(shù) 分數(shù)：部分與整體；線段長度之比 加法 四則運算 自然數(shù) 整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù) 如何定義實數(shù)？運算？連續(xù)性？抽象是如何存在的：唯實論(柏拉圖)，數(shù)學是發(fā)現(xiàn)； 唯名論(亞里士多德)，數(shù)學是發(fā)明。抽象了的東西是存在的：抽象的存在。數(shù)量的第二步數(shù)量的第二步抽象抽象 變量、極限運算 如何理解如何解釋導數(shù)：牛頓(16761666)提出，最初的解釋是利用無窮小。問題：什么樣的函數(shù)可導？ 明確函數(shù)定義 + 明確極限定義 符號表達 1755年，歐拉的變量說，初中。抽象不夠 問題 f f1 1(x) = shi(x) = shi2 2x + cosx + cos2 2x

4、x 和和 f f2 2(x) = 1 (x) = 1 表達是一個函數(shù)，還是兩個函數(shù)？ 1851年，黎曼的對應說，高中。新概念和物理背景 函數(shù) 對應 集合 集合：所要研究對象的全體？ 羅素悖論 極限運算1821年，從柯西開始了現(xiàn)代數(shù)學的特征：符號化、形式化、公理化。 可以理解：當 n 時1/n 0； 很難理解：當 n 時 x 0 。 函數(shù)連續(xù)，當 x x0 時 f(x) f(x0) ？ 1. 任何數(shù)列 xn x0 ，都有f(xn) f(x0)。 2. 任意0，存在 0，當 x - x0 時f(x) f(x0) 則稱 f(x) 在 x0 處連續(xù)。 兩種收斂等價？實數(shù)可以連續(xù)不斷地趨近某一個數(shù)？清晰

5、定義實數(shù) 清晰定義無理數(shù) 重新定義有理數(shù) 有理數(shù)分數(shù)形式 小數(shù)形式：有限 + 無限循環(huán)(極限) 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù) 如何判斷(百,千) 實數(shù) 有理數(shù) + 無理數(shù) 如何計算： 23 =23 ？用小數(shù)驗證？ -2-3 = (-2) (-3)？ 如何理解：連續(xù) 實數(shù)與數(shù)軸一一對應？1872年，康托基本序列：滿足柯西準則的有理數(shù)列。 解決實數(shù)的運算 假定有理數(shù)列 an a, bn b 。 根據(jù)極限的性質(zhì)有 an2 a, bn2 b，an2bn2 ab 則有理數(shù)列an2bn2 (anbn)2 確定實數(shù)ab 所以有理數(shù)列anbn確定實數(shù) ab，即 ab = ab1872年，戴德金分割。解決實數(shù)的連續(xù)性

6、 算術(shù)公理化系統(tǒng)： 九個公理(皮亞諾，1889年)，定義了自然數(shù)和加法。 證明 43。第7公理：a=b，則a+1=b+1； 第8公理：a+11。 集合公理化系統(tǒng)： 九個公理：ZF系統(tǒng)(策梅羅1908年 弗蘭克爾集合論基礎(chǔ)) 定義：用符號表達的集合、空集、關(guān)系、運算； # 選擇公理(幾乎所有數(shù)學分支的基本定理)。 實現(xiàn)了數(shù)學的符號化、形式化、公理化。 形式化與直觀的矛盾形式化與直觀的矛盾 數(shù)學是創(chuàng)造數(shù)學是創(chuàng)造 直觀認為 集合測度集合測度至少要滿足下面四個條件：令是由實數(shù)集合構(gòu)成的類，m是類中的集合測度，那么1 1 零測度零測度?？占臏y度為零，即m(O)=0。2 2 單調(diào)性單調(diào)性。對于中的兩個集

7、合A和B，如果BA，那么 m(B)m(A)。3 3 可列可加性可列可加性。對于中的兩個集合A和B，如果AB=O，那么 m(AB)=m(A)+m(B)，對可數(shù)個不交集合成立。4 4 平移不變性平移不變性。對于給定的實數(shù)c，令B(c,A)表示集合A對于c的平 移變換，則這兩個集合的測度相等，即 BB(c,A)=b=c+a;aA m(B)=m(A)。直觀認為 用區(qū)間長度來定義集合測度是自然的，即定義： m(a,b) = b-a。 如果不滿足，原因不在定義而在標準。檢驗四個條件。條件1：零測度。 因為單點集 (a,a是一個空集，則 m(a,a)=0。條件2：單調(diào)性。區(qū)間長度顯然滿足。條件3：可列可加性

8、。 令 A = an；n=1,2, 則 m(A) = m(a1a2 ) = m(an) = 0。 條件4：存在不可測的反例 ??？ 令A A=0,1，對A中的實數(shù)a和b，如果a-b為有理數(shù)，則稱這兩個數(shù)具有“親近”關(guān)系，記為ab。 對于aA，用E(a) 表示A中所有與a具有“親近”關(guān)系的數(shù)的集合，稱之為親近集合。顯然： 如果ab，則E(a) = E(b)，即元素之間具有“親近”關(guān)系，則對應的親近集合相等； 如果ab不成立，則E(a)E(b) = O，即元素之間不具有“親近”關(guān)系，則對應的親近集合的交為空集。根據(jù)選擇公理， 在每個親近集合中選出一個元素組成一個新的集合，用C表示。則集合E(a)C中

9、只能含有一個元素。 令區(qū)間 -1,1中有理數(shù)排列：c1, c2,cn, 。 令 CnB(cn,C) 表示集合C對于cn的平移。令： Cn = C1 C2 。所以， 任意 cCn 必有 -1c2，則Cn-1,2； 任意 a0,1，b表示E(a)的元素，a-b=cn，0,1 Cn。 這樣就可以得到根據(jù)條件2，1 m(Cn) 3。 根據(jù)條件4，m(Cn) = m(C) 。根據(jù)條件3，m(Cn) = m(Cn) = m(C)。矛盾： 如果m(C) = 0，則 m(Cn) = 0； 如果m(C)0， 則 m(Cn) = 。原因： 1.有些集合不能用基于區(qū)間長度的測度(勒貝格測度)進行度量。 2.有些測度

10、不滿足條件3，即可列可加性； 3.有限制地使用選擇公理。解決方案 德國數(shù)學家卡拉西爾德瑞（C.Caratheodory,1873-1950）： 首先，在一個由集合所構(gòu)成的類上定義一個基于區(qū)間長度的集合測度(外測度)，允許這個集合測度不滿足條件3。 然后，用外測度對類中的集合進行度量，如果滿足條件3 #，稱這個集合勒貝格可測，定義這個外測度為這個勒貝格測度。 # 雖然許多教科書中不是直接定義的，但是條件3總是可以不需要任何附加條件就被推導出來。一般來說，這個定義不符合邏輯。 因為，一個集合是否可測的“判斷”發(fā)生在實際“操作”之后。 與其稱為“判斷”還不如稱其為“驗證”更為恰當。幸虧數(shù)學家們證明了

11、一個重要的性質(zhì) 所有開集和閉集都是勒貝格可測的，也就是說，我們通常遇 見的集合都是勒貝格可測的。 這是以法國數(shù)學家鮑萊爾（E.Borel, 1871-1956）的名字命 名的一個重要性質(zhì)。應當有限制地使用選擇公理，比如，限制在可列個集合。圖形的第一次抽象圖形的第一次抽象 歐幾里得幾何原本描述定義：點、線、面、角。 關(guān)系術(shù)語：相交、平行、垂直、全等。 度量定義：長度、面積、體積、邊角關(guān)系(三角函數(shù)、巴比倫)。帶來的問題 點：兩條直線交于一點？ 平行：兩條永遠不相交的直線？ 全等：兩個圖形重合？修改平行：過直線外一點可以有一條（歐幾里得幾何） 無數(shù)（羅巴契夫幾何） 沒有（黎曼幾何） A：三角形。高

12、斯曲率在 A 上的積分 = 三個角的和 。 圖形的第二次抽象圖形的第二次抽象 希爾伯特幾何基礎(chǔ)：桌子、椅子、啤酒杯 符號定義：A，a，關(guān)聯(lián)公理：兩點唯一決定一條直線、三點平面順序公理：直線上一個點在兩個點之間、直線通過三角形兩個邊合同公理：線段相等、角相等、三角形邊角邊全等平行公理：一條直線連續(xù)公理：阿基米德公理（無窮集合）公理體系：獨立性、相容性、完備性1931年哥德爾：兩個不完全性定理。算數(shù)公理體系完備與相容全等 變換 剛體變換（平移、旋轉(zhuǎn)、對稱） 兩點間距離不變（角度不變、面積不變） 仿射變換（距離變化、透視圖） 直線不變、圓錐曲線不變 拓撲變換（直線變化） 點、線、面、體不變 哥尼斯堡

13、七橋、四色定理、歐拉定理、龐加萊定理度量 測度：集合的大小、概率論推理推理：一種思維過程。思維：形象思維、邏輯思維邏輯思維、辯證思維。命題：可以進行判斷的話語。推理：一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。命題 + 判斷的四種形式：是是、是否、非是、非否。邏輯推理：命題主詞的內(nèi)涵之間具有傳遞性。 有邏輯：凡人都有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死。 無邏輯：蘋果是酸的，酸是一種味道。所以蘋果是一種味道。邏輯推理邏輯推理 = = 演繹推理演繹推理 + + 歸納推理歸納推理 愛因斯坦：愛因斯坦： 西方科學的發(fā)展是以兩個偉大成就為基礎(chǔ)的，那西方科學的發(fā)展是以兩個偉大成就為基礎(chǔ)的，那就是希臘哲學家發(fā)明

14、的形式邏輯體系就是希臘哲學家發(fā)明的形式邏輯體系( (表現(xiàn)在歐幾里德幾何表現(xiàn)在歐幾里德幾何中中) )，以及通過系統(tǒng)的實驗發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關(guān)系，以及通過系統(tǒng)的實驗發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關(guān)系( (表現(xiàn)在表現(xiàn)在文藝復興時期文藝復興時期) )。 楊振寧：楊振寧：我很有幸能夠在兩個具有不同文化背景的國度里學我很有幸能夠在兩個具有不同文化背景的國度里學習和工作，我在中國學到了習和工作，我在中國學到了演繹能力演繹能力，我在美國學到了，我在美國學到了歸納歸納能力能力。演繹推理演繹推理：命題范圍由大到小，結(jié)果是必然的。亞里士多德：出發(fā)點和三段論(大前提、小前提、結(jié)論) 數(shù)學歸納法、反證法、計算邏輯(馮諾依曼)論證基

15、礎(chǔ)： 同一律：A就是A。集合、等量的等量還是等量(換元法等) 矛盾律：A與非A不能同時成立。在反證法的證明過程中 排中律：A與非A必有一個成立。反證法的依據(jù)論證形式： 已知A求證B。A和B都是確定命題。不能創(chuàng)新文藝復興之后，培根、休謨、穆勒相繼。歸納推理歸納推理：命題范圍由小到大，結(jié)果是或然的。 不完全歸納法、類比法、實驗、試驗、調(diào)查功能：通過條件預測結(jié)果；通過結(jié)果探究成因。數(shù)學：結(jié)果是看出來的，而不是證出來的。代數(shù)：哥德巴赫猜想、費爾馬大定理。幾何：龐加萊猜想。數(shù)學思想概論東北師大出版社 數(shù)量、圖形、演繹、歸納。歸納教學的例子：嘗試。為得到公式 a2 b2 = (a-b)(a+b)首先進行化

16、簡，令 b=1。變化 a 可以得到： 22 1 = 4 - 1 = 3 32 1 = 9 - 1 = 8 42 1 = 16 - 1 = 15 52 1 = 25 - 1 = 24 62 1 = 36 - 1 = 35因為 8 = 24，15 = 35，24 = 46 ，35 = 57， 可以想到 a21 = (a-1)(a+1)，然后考慮一般的 b。 從自然數(shù)的前 n 項和公式出發(fā)，得到平方和、立方和公式。模型模型：構(gòu)建數(shù)學與外部世界的橋梁。數(shù)學的應用敘述的是一個用數(shù)學語言表達的實際故事。方程、不等式、函數(shù)、遞推(時間序列)等是語言工具。比如，方程敘述的是量相等的故事。距離=速度時間橋梁雙方

17、：數(shù)學 + 現(xiàn)實。流行病模型，投入產(chǎn)出模型各種場合：參數(shù) + 約束。自由落體模型中的重力加速度馮馮諾伊曼諾伊曼： 數(shù)學思想來源于經(jīng)驗，這一點是比較接近真理的。真理實在太復雜，對之只能說接近，別的都不能說。 數(shù)學思想一旦被構(gòu)思出來，這門學科就開始經(jīng)歷它本身所特有的生命。事實上，認為數(shù)學是一門創(chuàng)造性的、受審美因素支配的學科，比認為數(shù)學是一門別的、特別是經(jīng)驗的學科要更確切一些。 換句話說，在距離經(jīng)驗本源很遠的地方，或者在多次抽象的近親繁殖之后，一門數(shù)學學科就有退化的危險。 符號化、形式化、公理化的目的是為了更好的表達，對于數(shù)學的本身的發(fā)展，這些都不是本質(zhì)的。 數(shù)學的表達是符號的，但教學應當是物理的；

18、 證明是形式的，但教學應當是直觀的； 體系是公理的，但教學應當是歸納的。 讓學生、特別是基礎(chǔ)教育階段的學生 體驗數(shù)學思想，積累思維經(jīng)驗，培養(yǎng)他們會 理解 理解、思考、質(zhì)疑、假設(shè)、驗證 創(chuàng)新。3. 3. 統(tǒng)計基本思想統(tǒng)計基本思想 統(tǒng)計學與數(shù)學都是利用抽象的概念和符合，但有所不同。 立論基礎(chǔ) 數(shù)學：公理、假設(shè)； 統(tǒng)計：數(shù)據(jù)、模型。 關(guān)注重點 數(shù)學：內(nèi)部邏輯； 統(tǒng)計：實際背景。 推理方法 數(shù)學：演繹推理； 統(tǒng)計：歸納推理。 判斷準則 數(shù)學：對與錯； 統(tǒng)計：好與壞。如何理解數(shù)據(jù)？如何理解數(shù)據(jù)？ 數(shù)據(jù)是信息的載體。數(shù)，圖形，符號，話語 數(shù)據(jù)是隨機的，蘊含信息。由偶然到必然 例1 某小學的學生，對香港男演

19、員，不是喜歡周星馳就是喜歡成龍。用函數(shù)、概率、統(tǒng)計的概念來表示這樣的關(guān)系。 用 x 表示這所小學的學生，用 y=0 表示周星馳，用 y=1 表示成龍。這樣，就可以用 y=f(x) 表示學生 x 所喜歡的演員。 函數(shù)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系。假設(shè)：假設(shè)：1 13 3年級的同學都喜歡周星馳，年級的同學都喜歡周星馳， 4 46 6年級的同學都喜歡成龍。這種關(guān)系可以表示為函數(shù)：年級的同學都喜歡成龍。這種關(guān)系可以表示為函數(shù)：y =0，當，當x=1，2，3時；時；1，當，當x=4，5，6時。時。概率關(guān)系。概率關(guān)系。假設(shè)：在這所小學中，有假設(shè)：在這所小學中，有1/31/3的同學喜歡周星馳，的同學喜歡周星馳，2/32/3的同學喜歡成龍。那么，可以表示為概率關(guān)系：的同學喜歡成龍。那么，可以表示為概率關(guān)系： PY=0 = 1/3PY=0 = 1/3 PY=1 = 2/3 PY=1 = 2/3 統(tǒng)計關(guān)系。統(tǒng)計關(guān)系。收集數(shù)據(jù)。如果隨機調(diào)查了收集數(shù)據(jù)。如果隨機調(diào)查了 n n 名同學，其中名同學，其中 k