1、內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作 迭代法迭代法 是一種逐次逼近法，這種方法使用某個是一種逐次逼近法，這種方法使用某個 固定固定 公式所謂公式所謂迭代公式迭代公式反復(fù)校正根的近似值，使之反復(fù)校正根的近似值，使之 精確化精確化 ，直到得出滿足精度要求的結(jié)果為止。直到得出滿足精度要求的結(jié)果為止。 迭代法迭代法的求根步驟的求根步驟第一步：先提供根的某個猜測值（第一步：先提供根的某個猜測值（ 迭代初值迭代初值 ），），第二步：再將迭代初值逐步加工（第二步：再將迭代初值逐步加工（ 通過迭代公式通過迭代公式 ）成滿足）成滿足 精度要求的根。精度要求的根。一

2、、迭代法的設(shè)計思想一、迭代法的設(shè)計思想強調(diào)過程強調(diào)過程至關(guān)重要！至關(guān)重要！內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作求解一階微分方程求解一階微分方程的歐拉公式的歐拉公式為：為：00( , )(1)()(2)yf x yy xy1(,),0,1,2,nnnnyyhf xyn上述上述EulerEuler公式的實質(zhì)就是公式的實質(zhì)就是迭代迭代。問題問題： 1、迭代公式如何構(gòu)造？、迭代公式如何構(gòu)造？ 2、任意迭代初值都能收斂于方程的解？任意迭代初值都能收斂于方程的解？內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作( )0f

3、x 對于一般方程對于一般方程 ，改寫為，改寫為( )(3)xx的形式，式中的形式，式中 通常被稱為通常被稱為迭代函數(shù)迭代函數(shù).( )x10()xx方法方法：（：（3）式的右端）式的右端 含有未知的含有未知的 ，不能直接求解，不能直接求解，于是用根的某個近似值于是用根的某個近似值 代入（代入（3）中的右端，即可得：）中的右端，即可得：( )xx0 x1()(4)kkxx再把新得到的再把新得到的 代入（代入（3），如果成立，解已求出為），如果成立，解已求出為 ，；否則記右端的值為；否則記右端的值為 ，這樣如此重復(fù)，得到：，這樣如此重復(fù)，得到：1x1x2x如果由如果由迭代公式迭代公式（4）得到的迭代

4、序列）得到的迭代序列 有極限有極限 ，則稱，則稱，并且其極限，并且其極限 就是方程（就是方程（3）的根。即有）的根。即有:0nx*x*x*(),()0 xxor f x內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作將隱式方程的求根問題轉(zhuǎn)化為求一組顯示格式將隱式方程的求根問題轉(zhuǎn)化為求一組顯示格式 的極限值。的極限值。 求兩條曲線的交點。求兩條曲線的交點。內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作 迭代的迭代的收斂性收斂性是有條件的。是有條件的。收斂收斂不收斂不收斂不收斂不收斂收斂收斂( )1xk內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息

5、科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作分析：分析：可用不同方法轉(zhuǎn)化為等價方程：可用不同方法轉(zhuǎn)化為等價方程：例例1 方程方程 。( )-sin-0.50f xxx1( )sin0.5( )axxx、2( )arcsin( -0.5)( )bxxx、1( )sin0.5,(0,1,2,)nnaxxn、1( )arcsin(-0.5),(0,1,2,)nnbxxn、取取01.0 x 構(gòu)造不同的迭代函數(shù)。構(gòu)造不同的迭代函數(shù)。 由計算看出，選取的兩個迭代函數(shù)分別構(gòu)造的序列的收斂情況不由計算看出，選

6、取的兩個迭代函數(shù)分別構(gòu)造的序列的收斂情況不一樣。在（一樣。在（a）情況下）情況下 收斂且收斂且 。在（。在（b）情況下出現(xiàn)）情況下出現(xiàn)計算計算 ，無意義。，無意義。 kx*1.497300 x 4arcsin(0.5)arcsin( 1.987761)x 問題問題：1、迭代公式如何構(gòu)造，即如何選取迭代函數(shù)？、迭代公式如何構(gòu)造，即如何選取迭代函數(shù)？ 2、任意迭代初值都能收斂于方程的解？任意迭代初值都能收斂于方程的解？還要研究收斂速度？還要研究收斂速度？內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作三、壓縮映像原理三、壓縮映像原理定理定理3（）：設(shè)有方程）：設(shè)

7、有方程 .如果如果)(xx(2)、當(dāng)、當(dāng) 時，有時，有 ； , xa b( ) , xa b(1)、設(shè)、設(shè) 在在 內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)存在；內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)存在；( )x , a b(3)、 滿足條件：滿足條件： ，當(dāng)，當(dāng) 時。時。( )x( )1xL , xa b*10(4)1nnLxxxxL、。則則 (1) 、 在在 上有唯一解上有唯一解 ；( )xx , a b*x(2) 、對任意選取的初始值、對任意選取的初始值 ,迭代過程迭代過程 收斂收斂, 即即 0 , xa b1()nnxx*lim;nnxx*11(3);1nnnxxxxL、內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開

8、騰 制作制作突出突出優(yōu)點優(yōu)點就是：就是： 算法的算法的邏輯結(jié)構(gòu)簡單邏輯結(jié)構(gòu)簡單。算法框圖及特點算法框圖及特點內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作四、迭代過程的收斂速度四、迭代過程的收斂速度所謂所謂迭代過程的收斂速度迭代過程的收斂速度，是指在接近收斂時迭代誤差，是指在接近收斂時迭代誤差的下降速度，記的下降速度，記*kkexx1lim(0)kpkkec ce有時為計算方便，也用有時為計算方便，也用則稱迭代過程是則稱迭代過程是 階收斂的，階收斂的， 為正常數(shù)，為正常數(shù)，特別地，特別地， 時稱為時稱為線性收斂線性收斂， 時稱為時稱為平方收斂平方收斂。 時

9、稱為時稱為超線性收斂超線性收斂。p1p 2p 1p p1lim(0)kpkkec ce如果有如果有內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作定理定理 設(shè)設(shè) 在在 的根的根 的鄰近有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且的鄰近有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且則則 時迭代過程時迭代過程 為線性收斂；當(dāng)時為線性收斂；當(dāng)時 為平方收斂。為平方收斂。( ) x( )xx*()1x*()0 x1()kkxx*()0,()0 xx*x分析：分析：*1()()( )()kkkxxxxxx 介于介于 與與 之間之間kx*x* 2( )()()()()()2kkkxxxxxxx * 21( )()2kk

10、xxxx 于是，當(dāng)于是，當(dāng) 時，時，線性收斂線性收斂；*()0 x而當(dāng)而當(dāng) 時，時，平方收斂平方收斂，事實上，將，事實上，將 在在 處進處進行泰勒展開有行泰勒展開有*()0,()0 xx()kxkx內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作五、迭代過程的局部收斂性五、迭代過程的局部收斂性稱一種迭代過程在根稱一種迭代過程在根 鄰近收斂，如果存在鄰域鄰近收斂，如果存在鄰域使迭代過程對于任意初值使迭代過程對于任意初值 均收斂。這種在根的鄰近均收斂。這種在根的鄰近所具有的收斂性稱作所具有的收斂性稱作*x*: xx0 x 分析分析 為便于確定迭代初值和減少確定有

11、根區(qū)間的工作量，往往將有為便于確定迭代初值和減少確定有根區(qū)間的工作量，往往將有根區(qū)間定得較大。甚至有根區(qū)間就取迭代函數(shù)的定義域。這種情形根區(qū)間定得較大。甚至有根區(qū)間就取迭代函數(shù)的定義域。這種情形下若迭代收斂稱為大范圍收斂，這種迭代方法當(dāng)然好！但實際上，下若迭代收斂稱為大范圍收斂，這種迭代方法當(dāng)然好！但實際上，范圍越大，證明迭代序列收斂越困難。范圍越大，證明迭代序列收斂越困難。 其實，只需要討論局部收斂就可以了。其實，只需要討論局部收斂就可以了。內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作定理定理2 設(shè)設(shè) 在在 的根的根 鄰近有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且成立鄰近有

12、連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且成立則迭代過程則迭代過程 在在 鄰近具有鄰近具有*x1()kkxx( ) x( )xx*()1x*x分析分析這里這里L(fēng)為某個定數(shù)，根據(jù)微分中值定理為某個定數(shù)，根據(jù)微分中值定理( )1xL由于由于 ，存在充分小領(lǐng)域，存在充分小領(lǐng)域 ，使成立，使成立( )1x*: xx*( )()( )()xxxx 注意到注意到 ，又當(dāng)，又當(dāng) 時時 ，因而有，因而有*()xxx*( )()xxL xxxx于是由定理于是由定理1可以知道可以知道1()kkxx對于任意初值對于任意初值 均收斂。均收斂。0 x 內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳開騰吳開騰 制作制作 設(shè)設(shè) 在方程在方程 根根 鄰近具有連續(xù)的鄰近具有連續(xù)的 階導(dǎo)數(shù)，且階導(dǎo)數(shù)，且 ，而，而 . 則迭代過程則迭代過程 為為 階收斂階收斂. ( )x( )xx*x( 2)p (1)( )( )( )0pxxx()( )0px1()kkxxp分析分析由由Taylor展式進行證明。展式進行證明。內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與