1、專題九：二次函數(shù)壓軸題【問題解析】中考壓軸題是中考必不可少的試題，這類題一般是融代數(shù)、幾何為一體的綜合題，或 者是解決實際問題的綜合題.此類題注重對數(shù)學思想方法、探究性思維能力和創(chuàng)新思維能 力的考查，涉及的知識比較多，信息量大，題目靈活，要求學生有較高的分析問題、解決 問題的能力.它符合新課標對學生能力提高的要求.從近幾年各省市中考數(shù)學壓軸題來看，作為試卷的最后一題，一般都是循序漸進地設 置幾個問題，對學生的要求一步步的抬高.壓軸題涉及知識多，覆蓋面廣，綜合性強，難 度系數(shù)大，關系比較復雜，解法靈活，既考查了學生的基礎知識和基本技能，又考查了學 生的數(shù)學思想方法和探索創(chuàng)新能力、解決問題能力，是

2、必不可少的.近幾年來主要以函數(shù) 和幾何綜合題、二次函數(shù)與代數(shù)知識綜合應用、一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合題、開放探究題 等類型出現(xiàn)，【熱點探究】類型一：拋物線與三角形的綜合問題【例題1】(2016 云南省昆明市) 如圖1,對稱軸為直線x=L的拋物線經過 B (2, 0)、C (0, 4)兩點，拋物線與 x軸的另一交點為 A(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為第一象限內拋物線上的一點， 設四邊形COBP勺面積為S,求S的最大值；(3)如圖2,若M是線段BC上一動點，在x軸是否存在這樣的點 Q使MQE等腰 三角形且 MQB為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.【考點】二次函數(shù)綜合題

3、.【分析】(1)由對稱軸的對稱性得出點 A的坐標，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)作輔助線把四邊形 COB分成梯形和直角三角形，表示出面積S,化簡后是一個關于S的二次函數(shù)，求最值即可；(3)畫出符合條件的 Q點，只有一種，利用平行相似得對應高的比和對應邊的比相 等列比例式；在直角 OCQ和直角4CQM利用勾股定理列方程；兩方程式組成方程組求解 并取舍.【解答】解：(1)由對稱性得：A(- 1, 0),設拋物線的解析式為：y=a (x+1) (x-2),把 C (0, 4)代入：4=-2a, a= 2, -y=- 2 (x+1) (x 2),，拋物線的解析式為：y=-2x2+2x+4;1,

4、 c 2 c .B= -m ( - 2m+2m+4+42(2m+2m+4) ( 2 - mi),(2)如圖1,設點P (n - 2m2+2m+4 ,過P作PDLx軸，垂足為 D,S = S 梯形+Sa PD.S=- 2m+4m+4= 2 ( m 1) 2+6,- 2V 0,S有最大值,則S大二6;(3)如圖2,存在這樣的點 Q,使MQE等腰三角形且 MQB為直角三角形, 理由是：設直線BC的解析式為：y=kx+b ,r 2k+t=o把 B (2, 0)、C (0, 4)代入得：，.，I. b 二 4解得：I,， 直線BC的解析式為：y= - 2x+4,設 M (a, - 2a+4),過A作AH

5、 BG垂足為 E,則AE的解析式為：y=x+,則直線BC與直線AE的交點E (,),設 Q ( - x, 0) (x 0), AE/ QM .AB回 AQBMI ,-2己內 2r由勾股定理得：x2+42=2Xa，（- 2a+4-4） 2,4由得：ai=4 （舍）,a2=,9 4葉4當a=時，x=, qa-CJ（-y, 0）.麻【同步練】(2016 浙江省湖州市)如圖，已知二次函數(shù)y= - x2+bx+c (b, c為常數(shù))的圖象經過點A (3, 1),點C (0, 4),頂點為點 M,過點A作AB/x軸，交y軸于點D,交該二次函數(shù)圖象于點B,連結BC(1)求該二次函數(shù)的解析式及點 M的坐標;(

6、2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移m (m0)個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在 ABC的內部(不包括 ABC的邊界)，求m的取值范圍;(3)點P是直線AC上的動點，若點 P,點C,點M所構成的三角形與 BCD相似，請直接寫出所有點 P的坐標(直接寫出結果，不必寫解答過程)類型二：拋物線與四邊形的綜合問題【例題2】2016 青海西寧 12分)如圖，在平面直角坐標系中，四邊形 ABC皿以AB 為直徑的。M的內接四邊形，點 A, B在x軸上，4MBC是邊長為2的等邊三角形，過點 M 作直線l與x軸垂直，交。M于點E,垂足為點 M且點D平分菽H(1)求過A, B, E三點的拋物線的解析式；(2

7、)求證：四邊形 AMCDI菱形；(3)請問在拋物線上是否存在一點巳使彳#ABP的面積等于定值5?若存在，請求出所有的點P的坐標；若不存在，請說明理由.【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)根據題意首先求出拋物線頂點E的坐標，再利用頂點式求出函數(shù)解析式;(2)利用等邊三角形的性質結合圓的有關性質得出/ AMD =CMD= L/AMC=60 ,進而2得出DC=CM=MA=ADP可得出答案；(3)首先表示出 ABP的面積進而求出n的值，再代入函數(shù)關系式求出P點坐標.【解答】(1)解：由題意可知， MBC為等邊三角形，點 A, B, C, E均在。M上，則 MA=MB=MC=ME=2又 COL MB.

8、MO=BO=1 .A (- 3, 0), B (1, 0), E (- 1, - 2),拋物線頂點E的坐標為(-1 , -2),設函數(shù)解析式為y=a (x+1) 2- 2 (aw。)把點 B (1, 0)代入 y=a (x+1) 2- 2,解得：a=,故二次函數(shù)解析式為：y=1 (x+1) 2 - 2;(2)證明：連接DM MBE等邊三角形，/ CMB=60 , ./AMC=120 , 點D平分弧AG/ AMD = CMD=yZAMC=6i0 ,-1 ，MD=MC=MA MCD MDA是等邊三角形，DC=CM=MADA四邊形AMC為菱形(四條邊都相等的四邊形是菱形)；(3)解：存在.理由如下：

9、設點P的坐標為(成n)|n| , AB=4ABx 4X |n|=5 ,即 21n|=5 ,5解得：n=51當1J時，(m+1)2-2一-解此方程得：m=2, m2=- 4即點P的坐標為(2,二)，(-4,5), 22耳1R當 n二一不時，(m+1) 2- 2=-, jlZZ此方程無解，E5故所求點P坐標為(2, ), (-4,). 【同步練】(2016 四川眉山)已知如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A B、C分別為坐標軸上上的三個點，且 OA=1, OB=3 OC=4(1)求經過 A B C三點的拋物線的解析式；(2)在平面直角坐標系 xOy中是否存在一點 P,使得以以點 A B C、P為頂

10、點的四邊 形為菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)若點M為該拋物線上一動點，在(2)的條件下，請求出當|PM-AM|的最大值時點M的坐標，并直接寫出|PM-AM|的最大值.類型三：拋物線與圖形變換的綜合問題【例題31(2016 陜西)如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax2+bx+5 經過點M (1, 3)和N (3, 5)(1)試判斷該拋物線與 x軸交點的情況；(2)平移這條拋物線，使平移后的拋物線經過點A (-2, 0),且與y軸交于點B,同時滿足以A、Q B為頂點的三角形是等腰直角三角形，請你寫出平移過程，并說明理由.【考點】二次函數(shù)綜合題.【分

11、析】(1)把M N兩點的坐標代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式，再根據一元二次方程根的判別式，可判斷拋物線與x軸的交點情況；(2)利用A點坐標和等腰三角形的性質可求得B點坐標，設出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點的變 化即可得到平移的過程.【解答】解：(1)由拋物線過M N兩點,把M N坐標代入拋物線解析式可得豈4b45二3在刀/曰,解得9a+3b+5-5b二一 3，拋物線解析式為 y=x2- 3x+5,令 y=0 可得 x2 - 3x+5=0,該方程的判別式為 = (- 3) 2-4X1 X 5=9- 20=-

12、 1K0,拋物線與x軸沒有交點;（2） AOB是等腰直角三角形， A （ - 2, 0）,點B在y軸上,.B 點坐標為（0, 2）或（0, - 2）,可設平移后的拋物線解析式為y=x2+mx+n,7二 2當拋物線過點 A（ - 2, 0）, B （0, 2）時，代入可得- 八4 一 2nrfn=0平移后的拋物線為 y=x2+3x+2,解得.該拋物線的頂點坐標為（-413 11京 -），而原拋物線頂點坐標為（節(jié)），將原拋物線先向左平移3個單位，再向下平移 3個單位即可獲得符合條件的拋物線;當拋物線過A( 2,0),B (0,-2）時，代入可得24 - 2nH門二 0nrl解得 門2，平移后的拋物

13、線為 y=x2+x- 2,Y| qg |ii.該拋物線的頂點坐標為（-而原拋物線頂點坐標為（ y,將原拋物線先向左平移 2個單位，再向下平移 5個單位即可獲得符合條件的拋物線.y=一二:x2+ ： x+3【同步練】（2016 重慶市A卷 12分）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A, B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C,拋物線的頂點為點 E.（1）判斷 ABC的形狀，并說明理由;（2）經過B, C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D,點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當 PCD的面積最大時，Q從點P出發(fā)，先沿適當?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動

14、到y(tǒng)軸上的點N處，最后沿適當?shù)穆窂竭\動到點A處停止.當點 Q的運動路徑最短時，求點 N的坐標及點Q經過的最短路徑的長；（3）如圖2,平移拋物線，使拋物線的頂點 E在射線AE上移動，點E平移后的對應點為點E,點A的對應點為點 A,將4AOC繞點。順時針旋車專至八41OC的位置，點A, C的對應點分別為點 A, C,且點Ai恰好落在AC上，連接GA , CE , CE 是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E的坐標；若不能，請說明理由.圖L圖2每用圖類型四：拋物線下的動態(tài)最值問題【例題4】(2016 貴州安順 14分)如圖，拋物線經過 A (- 1, 0), B (5, 0) , C(0

15、, I)三點.(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點 P,使PA+PC勺值最小，求點 P的坐標；(3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N,使以A, C, M, N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由.【分析】(1)設拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c (aw0),再把A ( - 1, 0), B (5, 0), _5C (0,2)三點代入求出 a、b、c的值即可；(2)因為點A關于對稱軸對稱的點 B的坐標為(5, 0),連接BC交對稱軸直線于點 巳 求出P點坐標即可；(3)分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論.【解答】解：(1

16、)設拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c (aw0),.A (-1, 0) , B (5, 0), C (0,2 )三點在拋物線上，拋物線的解析式為：y=2x2-2x- 2 ；(2)二.拋物線的解析式為：y=2x2-2x-2-2連接BG如圖1所示，旦. B (5, 0), C (0, -2),，設直線BC的解析式為y=kx+b (kw0),解得12 ,1_ 5_ ,直線BC的解析式為y=2x - 2 ,至 3_當 x=2 時，y=1 - 2 = - 23 P (2, - 2);(3)存在.如圖2所示,當點N在x軸下方時,立 拋物線的對稱軸為直線 x=2, C (0, -2),1$Ni (4,

17、 -2)；當點N在x軸上方時，如圖，過點 N2作NkD)1x軸于點D,在AANaD與4M 2CO中，zm?ad=zcw2o/AN/: NM2co. .AN2g AM 2CO (ASA ,旦旦.N2D=OC=,即N2點的縱坐標為2 .2 x2 - 2x -2=工，解得 x=2+d1N 或 x=2 - VTi,1 支N2(2+x/14, 2), Nb(2-J14, 2).m 旦 ”綜上所述，符合條件的點N的坐標為(4,-幺)，(2+工，？)或(2-J逋，2 ).國1,【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質、全等三角形等知識，在解答(

18、3)時要注意進行分類討論.【同步練】(煙臺市2015中考-24 )如圖，在平面直角坐標系中， 拋物線y=ax2+bx+c與。M相交 于A、B、C D四點，其中 A B兩點的坐標分別為(-1, 0), (0, -2),點D在x軸上且 AD為。M的直徑.點E是。M與y軸的另一個交點，過劣弧 筋上的點F作FHUAD于點H, 且FH=(1)求點D的坐標及該拋物線的表達式；(2)若點P是x軸上的一個動點，試求出 PEF的周長最小時點 P的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q使4QC等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.類型五：拋物線下的動態(tài)存在問題【例題5】(棗莊市2

19、015中考-25 )如圖，直線y=x+2與拋物線y ax2 bx 6 (aw。)相交于A (1, 5)和B (4, mD,點P是線段AB上異于A B的動點，過點 P作PCLx軸于點D,交拋物線于點 C.(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在這樣的 P點，使線段PC的長有最大值？若存在， 求出這個最大值；若不存在，請說明理由；(3)求 PAC為直角三角形時點 P的坐標.思路分析：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識解題時注意聯(lián)系，對于題(1)已知B (4, mD在直線y=x+2上，很容易求得 m的值，又因為已知拋物線圖象上的A、

20、B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值.(2)要弄清PC的長，實際是直線 AB與拋物線函數(shù)值的差. 可設出P點橫坐標，根據直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關于PC與P點橫坐標的函數(shù)關系式， 根據函數(shù)的性質即可求出 PC的最大值.對于題(3)當APAC為直角三角形時，根據直角頂點的不同，需要結合圖形從三種情 況進行分類討論，分別求解.解題過程:解：(1) . B (4, mm 在直線 y=x+2 上,m=4+2=6B (4, 6),A(工，5)、B (4, 6)在拋物線 y ax2 bx 6上,22 16a 4b 6，拋物線的解析式為 y

21、 2x2 8x 6 .（2）設動點P的坐標為（n, n+2）,則C點的坐標為（n2,2n 8n 6), .PC=( n+2) ( 2n5 kb- r 則：2 b 2 ,解得 3k b 0 8n 6),22n 9n9=2(n -)44983 ,. PO 0,9當n=9時,4線段PC最大且為絲.8（3） .PAC為直角三角形,i）若點P為直角頂點，則/ APC=90 .由題意易知，PC/y軸，/APC=45 ,因此這種情形不存在;ii ）若點A為直角頂點，則/ PAC=90 .如答圖3- 1,過點A ( 1 ,25 )作ANLx軸于點N,則ON=1 ,AN=5 .2過點A作AML直線AB,交x軸于

22、點M則由題意易知， AMN為等腰直角三角形,5 .-，MN=AN5 ,2OM=ON+mN=+5 =32 2.M (3, 0).設直線AM的解析式為:y=kx+b,，直線AM的解析式為:y= - x+3 又拋物線的解析式為：y=2x2-8x+6 聯(lián)立式，解得：x=3或x=1 （與點A重合，舍去）2 .C （3, 0）,即點C、M點重合.當 x=3 時，y=x+2=5,-Pi (3, 5);iii ）若點C為直角頂點，則/ ACP=90 .,y=2x2-8x+6=2 (x-2) 2-2,拋物線的對稱軸為直線如答圖3-2,作點A （關于對稱軸x=2的對稱點C,則點C在拋物線上，且當x= 7時,2y=

23、x+2=. 2P2 (7 , 2點 Pi (35)、P2均在線段AB上,U)，綜上所述， PAC為直角三角形時，點 P的坐標為（3, 5）或（規(guī)律總結：熟練把握關于二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識是解此類綜合性強的問題的關鍵.【同步練】(2016 內蒙古包頭)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx-2 (aw0)與x軸交于A (1, 0)、B (3, 0)兩點，與y軸交于點C,其頂點為點 D,點E的坐標為(0, -1),該拋物線與 BE交于另一點F,連接BC.(1)求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為y=a (x-h

24、) 2+k的形式；(2)若點H (1, y)在BC上，連接FH,求4FHB的面積；(3) 一動點M從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度平沿行與 y軸方向向上運動，連接OM BM設運動時間為t秒(t0),在點M的運動過程中，當t為何值時，/ OMB=900?(4)在x軸上方的拋物線上，是否存在點P,使得/ PBF被BA平分？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.類型六：拋物線與相似的綜合問題【例題6】(煙臺市2014中考-26 )如圖，在平面直角坐標系中，RtAABC的頂點A,C分別在y軸，x軸上，/ ACB=90 , OA=/3,拋物線y=ax2-ax - a經過點B (2, y軸交

25、于點D.(1)求拋物線的表達式；(2)點B關于直線AC的對稱點是否在拋物線上？請說明理由；(3)延長BA交拋物線于點E,連接ED,試說明ED/ AC的理由.【解析】(1)把點B的坐標代入拋物線的表達式即可求得.(2)通過AO。ACFB 求得 OC 的值，通過 OC牽 FCB 得出 DC=CB / OCD = FCB 然后得出結論.(3)設直線AB的表達式為y=kx+b,求得與拋物線的交點E的坐標，然后通過解三角函數(shù)求得結果.【解答】解：(1)把點B的坐標代入拋物線的表達式，得 Ya=ax22-2a-a,3解得a區(qū),.拋物線的表達式為 y書x2 g g(2)連接C口過點B作BFx軸于點F,則/B

26、CF吆CBF=90. /ACB=90 , . / ACO+BCF=90 ,/ ACOg CBF. .AO。ACFBCF BF設 OC=m 貝U CF=2 m,貝U有解得 m=n3=1,.OC=CF=1當 x=0 時，y=.OD=,.BF=OP / DOC = BFC=90 ,.OC牽 AFCB . DC=CB / OCD g FCB，點B C D在同一直線上,，點B與點D關于直線AC對稱,，點B關于直線AC的對稱點在拋物線上.(3)過點E作EGLy軸于點G,設直線 AB的表達式為y=kx+b ,則解得. .y= ，一x+.代入拋物線的表達式-3x解得x=2或x=- 2,當 x= - 2 時 y

27、= -(2) +. 尸上3.點E的坐標為（-2,且3）,3. tan /EDG=jDG/ EDG=30. tan / OAC耍=-=工?0A/ OACg EDGED/ AC【點評】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定及性質，以及對稱軸的性 質和解三角函數(shù)等知識的理解和掌握.【同步練】(2016 湖北荊門 14分)如圖，直線y=-Jx+2/與x軸,y軸分別交于點 A點B,兩動點D, E分別從點A,點B同時出發(fā)向點。運動(運動到點 。停止)，運動速度分別 是1個單位長度/秒和仃個單位長度/秒，設運動時間為t秒，以點A為頂點的拋物線經過 點E,過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點

28、 G,與AB相交于點F.(1)求點A,點B的坐標；(2)用含t的代數(shù)式分別表示 EF和AF的長；(3)當四邊形ADEF為菱形時，試判斷 AFG與4AGB是否相似，并說明理由.(4)是否存在t的值，使4AGF為直角三角形？若存在，求出這時拋物線的解析式； 若不存在，請說明理由.【達標檢測】1. (2016 湖北黃石 8分)科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園.如圖所示，圖中點的橫坐標 x表示科技館從8: 30開門后經過的時間(分鐘)，縱坐標 y表示到達科技館的總人數(shù).圖中曲線對應的函數(shù)解析式為y= a*, 10： 00之后來的游客較少可忽略不計. 90產+口，30x0)個單位，使平移后得到的二次函數(shù)

29、圖象的頂點落在 ABC的內部(不包括 ABC的邊界)，求m的取值范圍；(3)點P是直線AC上的動點，若點 P,點C,點M所構成的三角形與 BCD相似，請 直接寫出所有點 P的坐標(直接寫出結果，不必寫解答過程)【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)將點A、點C的坐標代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過配方法得到點M的坐標；(2)點M是沿著對稱軸直線 x=1向下平移的，可先求出直線 AC的解析式，將x=1代入求出點M在向下平移時與 AG AB相交時y的值，即可得到 m的取值范圍；(3)由題意分析可得/ MCP=90,則若 PCM與 BCD相似，則要進行分類討論，分成 PCMh BDC或 PC

30、Mh CDB兩種，然后利用邊的對應比值求出點坐標.【解答】解：(1)把點A (3, 1),點C (0, 4)代入二次函數(shù)y=-x2+bx+c得,解得b=2:匕二4( ，3 -bSb+c1a，二次函數(shù)解析式為 y= - x2+2x+4,配方得 y=- （ x- 1） 2+5,點M的坐標為（1,5）;fk=- 1（b-4(2)設直線AC解析式為y=kx+b ,把點A (3, 1), C (0, 4)代入得,3k+b=l在刀/曰解得b二 4E、,直線AC的解析式為y=-x+4,如圖所示，對稱軸直線x=1與4ABC兩邊分別交于點把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=-x+4解得y=3,則點E坐標為(1, 3)

31、,點F坐標為(1,1).1 5- m 3,解得 2Vm 4;(3)連接MC彳MG_y軸并延長交 AC于點N,則點G坐標為(0, 5) . MG=1 GC=5- 4=1 - mc=/1g2+CG 用 lW =近,把y=5代入y= - x+4解得x= - 1,貝U點N坐標為（1, 5）, NG=GC GM=GC/ NCG = GCM=45 , / NCM=90 ,由此可知，若點 P在AC上，則/ MCP=90 ,則點 D與點C必為相似三角形對應點若有PCMh ABD(C則有CF ED ,BD=1 CD=3,. CP二L二 Cr= =CD 33 .CD=DA=3 .Z DCA=45 ,PhLy 軸,

32、若點P在y軸右側，作 ./PCH=45, CP=3把x代入y= x+4,解得 y=- kJJp J 11Pi(3與同理可得，若點 P在y軸左側，則把x=代入 y= x+4,13解得y4 J.P2)；若有 PCMh ACDB則有HC _即CF CD.CP= .=3,-：，PH=3/+ 揚3,若點P在y軸右側，把x=3 代入 y= x+4 ,解得 y=1;若點P在y軸左側，把x=- 3 代入 y= x+4,解得 y=7.P3(3, 1); P4 ( 37).所有符合題意得點 P坐標有4個，分別為PiL J3虧),P3 (3,1), P4 ( 3, 7).類型二：拋物線與四邊形的綜合問題【同步練】(

33、2016 四川眉山)已知如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B、C分別為坐標軸上上的三個點，且 OA=1, OB=3 OC=4(1)求經過A、B C三點的拋物線的解析式;(2)在平面直角坐標系 xOy中是否存在一點 P,使得以以點 A B C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)若點M為該拋物線上一動點，在(2)的條件下，請求出當|PM-AM|的最大值時點M的坐標，并直接寫出|PM-AM|的最大值.a, b, c【分析】(1)設拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c,把A, B, C三點坐標代入求出的值，即可確定出所求拋物線解析式;(2)在平面直角坐

34、標系 xOy中存在一點P,使得以點A、B、C P為頂點的四邊形為菱形，理由為：根據 OA OR OC的長，利用勾月定理求出 BC與AC的長相等，只有當 BP與AC平行且相等時，四邊形 ACB陰菱形，可得出 BP的長，由OB的長確定出P的縱坐標，確定出P坐標，當點P在第二、三象PM時，以點 A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形；(3)利用待定系數(shù)法確定出直線PA解析式，當點 M與點P、A不在同一直線上時，根據三角形的三邊關系|PM- AM| PA,當點M與點P、A在同一直線上時，|PM-AM|=PA當點M與點P、A在同一直線上時，|PM-AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線

35、的交 點，聯(lián)立直線 AP與拋物線解析式，求出當|PM-AM|的最大值時M坐標，確定出|PM-AM|的 最大值即可.【解答】解：(1)設拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c,. A (1, 0)、B (0, 3)、C (- 4, 0), c:3,16a_ 4b+c=0解得：a=一卷，b=一卷，c=3,經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-x2-5-x+3;44（2）在平面直角坐標系 xOy中存在一點P,使得以點A、B、C P為頂點的四邊形為菱 形，理由為：. OB=3 OC=4 OA=1,BC=AC=5當BP平行且等于 AC時，四邊形 ACB皿菱形，BP=AC=5且點P到x軸的距離等于 O

36、B，.點P的坐標為（5, 3）,當點P在第二、三象PM時，以點 A、B C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形,則當點P的坐標為（5, 3）時，以點A、B、C P為頂點的四邊形為菱形;（3）設直線PA的解析式為y=kx+b （kw0）,. A (1, 0), P (5, 3),* ，|kfb=0解得：k=-, b= -,44直線PA的解析式為當點M與點P、A不在同一直線上時，根據三角形的三邊關系|PM- AM|PA,當點M與點P、A在同一直線上時，|PM-AM|=PA，當點M與點P、A在同一直線上時,|PM-AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的點M的坐標為（1, 0）或（-5,爭

37、時,|PM AM|的值最大，此時|PM- AM|的最大值為5.【點評】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)的性質， 待定系數(shù)法確定熟練掌握待定系數(shù)法拋物線解析式、一次函數(shù)解析式，菱形的判定，以及坐標與圖形性質, 是解本題的關鍵.類型三：拋物線與圖形變換的綜合問題【同步練】(2016 重慶市A卷 12分)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線 y=與x軸交于A, B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C,拋物線的頂點為點 E.(1)判斷 ABC的形狀，并說明理由；(2)經過B, C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D,點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當 PCD的面積最大時，Q從點P出發(fā)，先

38、沿適當?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上 點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y(tǒng)軸上的點N處，最后沿適當?shù)穆窂竭\動到點A處停止.當點 Q的運動路徑最短時，求點 N的坐標及點Q經過的最短路徑的長；(3)如圖2,平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應點為點E,點A的對應點為點 A,將4AOC繞點。順時針旋車專至2 1OC的位置，點A, C的 對應點分別為點 A, C,且點A1恰好落在AC上，連接GA , CE , AA C1E是否能為等 腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E的坐標；若不能，請說明理由.圖2卷用國【分析】(1)先求出拋物線與 x軸和y軸的交點坐標，再用勾股定理的逆定理判斷出 ABC是直角三角形;(2)先求出Sapcd最大時，點 P日)，然后判斷出所走的路徑最短，即最短路徑的長為PM+MN+NA長，計算即可;(3)C1E是等腰三角形，分三種情況分別建立方程計算即可.【解答】解：（1） 4ABC為直角三角形，當 y=0 時，即x2+-x+3=0, 33x 1=-x2=33 .A （-毋，0） , B （3四 0）, oaVs, ob=3/3,當 x=0 時，y=3,C （0, 3）,.OC=3根據勾股定理得，AC2=O百+OC=12, BC2=OB+OC=36,. .AC2+BC=48,. AB2=3-73-（一收）2=48,.