1、返回返回第二節(jié)標準正交基第二節(jié)標準正交基上頁上頁下頁下頁一、標準正交基一、標準正交基定義定義5 5 歐氏空間歐氏空間V的的一組非零的向量一組非零的向量，如果它們，如果它們兩兩正交兩兩正交，就稱為一個，就稱為一個正交向量組正交向量組. . 應該指出，按定義，由應該指出，按定義，由單個非零向量所成的單個非零向量所成的向量組向量組也是正交向量組也是正交向量組. 以下討論的以下討論的正交向量組正交向量組都都是非空的是非空的.返回返回上頁上頁下頁下頁 這個結果說明，在這個結果說明，在n 維維歐氏空間歐氏空間中，中，兩兩正兩兩正交的非零向量交的非零向量不能超過不能超過n個個.結論結論 正交向量組是線性無關

2、的正交向量組是線性無關的. 證明證明 設設正交向量組正交向量組 a1, a2,am 有一線性關系有一線性關系 k11+k22+kmm=0 .用用i (i=1,2, , m)與等式兩邊作內積，即得與等式兩邊作內積，即得 ki(i , i)=0 .由由i 0 ，有，有(i , i)0 ，從而，從而ki=0 (i=1,2, , m). 這這就證明了就證明了a1, a2,am是是線性無關的線性無關的. 證畢證畢.返回返回 這個事實的這個事實的幾何意義幾何意義是清楚的是清楚的. 例如，例如，在平面在平面上上找不到三個兩兩垂直的非零向量找不到三個兩兩垂直的非零向量；在空間中在空間中，找不到四個兩兩垂直的非

3、零向量找不到四個兩兩垂直的非零向量.上頁上頁下頁下頁 從解析幾何中看，從解析幾何中看，直角坐標系直角坐標系在圖形度量性在圖形度量性質的討論中有特殊的地位質的討論中有特殊的地位. 在在歐氏空間歐氏空間中中，情況情況是相仿的是相仿的.定義定義6 6 在在n維維歐氏空間中歐氏空間中，由，由n個向量組成的個向量組成的正正交向量組交向量組稱為稱為正交基正交基；由；由單位向量組成的正交基單位向量組成的正交基稱為稱為標準正交基組標準正交基組.返回返回上頁上頁下頁下頁 對對一組正交基一組正交基進行進行單位化單位化就就得到得到一組標準正交基一組標準正交基. 設設1, ,2, , ,n是是一組標準正交基一組標準正

4、交基，由定義，有，由定義，有 .,0;,1),(jijiji當當當當( (1) ) 顯然，顯然，( (1) )式式完全刻畫了完全刻畫了標準正交基標準正交基的性質的性質.換句話說換句話說結論結論 一組基為標準正交基的一組基為標準正交基的是它的度量矩是它的度量矩陣為單位矩陣陣為單位矩陣. 上頁上頁下頁下頁返回返回 因為因為度量矩陣度量矩陣是是正定矩陣正定矩陣的，根據(jù)第五章關的，根據(jù)第五章關于正定二次型的結果，于正定二次型的結果，正定矩陣合同于單位矩陣正定矩陣合同于單位矩陣. 這說明在這說明在n維維歐氏空間中歐氏空間中存在一組基存在一組基，它的度量矩它的度量矩陣陣是單位矩陣是單位矩陣. 由此斷言由此

5、斷言結論結論 在在n維維歐氏空間中歐氏空間中，標準正交基是存在的標準正交基是存在的. 在在標準正交基下標準正交基下，向量的坐標可以通過內積向量的坐標可以通過內積簡單地表示出來簡單地表示出來，即，即nn),(),(),(2211 ( (2) )事實上，設事實上，設 =x11 +x22+xnn.用用i與等式兩邊作內積，即得與等式兩邊作內積，即得 xi=(i, ), (i=1,2, , n). 上頁上頁下頁下頁返回返回 在在標準正交基下標準正交基下，內積有特別簡單的表達式內積有特別簡單的表達式. 設設那么那么這個這個表達式表達式正是正是幾何中向量的內積幾何中向量的內積在在直角坐標系直角坐標系中坐標表

6、達式的推廣中坐標表達式的推廣. 應該指出，應該指出，內積的表達式內積的表達式( (3) )，對于任一組對于任一組標準正交基都是一樣的標準正交基都是一樣的. 這說明了，這說明了，所有的標準所有的標準正交基正交基，在歐氏空間中有相同的地位在歐氏空間中有相同的地位. 在下一節(jié)，在下一節(jié)，這一點將得到進一步的說明這一點將得到進一步的說明. =x11+x22+xnn. =y11+y22+ynn. (, )=x1y1+x2y2+xnyn=XTY. ( (3) )上頁上頁下頁下頁返回返回二、規(guī)范正交基的存在性及其正交化方法二、規(guī)范正交基的存在性及其正交化方法定理定理1 n維維歐氏空間中歐氏空間中任一個正交向

7、量組都能擴任一個正交向量組都能擴充成充成一組一組( (標準標準) )正交基正交基.( (稱為稱為正交基擴充定理正交基擴充定理) ) 下面我們將結合內積的特點來討論標準正交下面我們將結合內積的特點來討論標準正交基的求法基的求法.證明證明 設設a1, a2,am是是一個正交向量組一個正交向量組，我們對，我們對n- -m作作數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法. 當當n- -m=0=0時，時，a1, a2,am就是就是一組正交基一組正交基了了. 假設假設n- -m= =k時時定理成立定理成立，也就是說，也就是說，可以找可以找到向量到向量1, 2,k ，使得，使得上頁上頁下頁下頁返回返回這里這里k1, k2,km是是

8、待定系數(shù)待定系數(shù). 用用i與與m+1作作內積內積，得，得取取 a1, a2, am , 1, 2,k .成為成為一組正交基一組正交基. 現(xiàn)在來看現(xiàn)在來看n- -m= =k+1的情形的情形. 因為因為mn ，所以，所以一定有向量一定有向量不能被不能被a1, a2,am線性表出線性表出，作，作向量向量 m+1=- -k11- -k22- - -kmm . (i, m+1)=(, i)- -ki(i, i), (i=1,2, , m) .)., 2 , 1( ,),(),(mikiiii 上頁上頁下頁下頁返回返回有有由由的選擇可知，的選擇可知，m+10. 因此因此a1, a2,am,m+1是是一正交

9、向量組一正交向量組，根據(jù)歸納法假定，根據(jù)歸納法假定，a1,am,m+1可可以以擴充成擴充成一正交基一正交基. 證畢證畢. (i, m+1)=0, (i=1,2, , m) . 應該注意，定理的應該注意，定理的證明證明實際上實際上也就也就給出了一給出了一個具體的擴充正交向量組的方法個具體的擴充正交向量組的方法. 如果如果從任一個從任一個非零向量出發(fā)非零向量出發(fā)，按證明中的步驟，按證明中的步驟逐個地擴充逐個地擴充，最，最后就后就得到得到一組正交基一組正交基. 再單位化再單位化，就得到就得到一組標一組標準正交基準正交基.上頁上頁下頁下頁返回返回 在求歐氏空間的在求歐氏空間的正交基正交基時，常常是時，

10、常常是已經(jīng)有了已經(jīng)有了空間的一組基空間的一組基，對于這種情形，有下面的結果：，對于這種情形，有下面的結果：定理定理2 對于對于n維維歐氏空間中歐氏空間中任意任意一組基一組基 1,2,n，都可以找到都可以找到一組一組標準正交基標準正交基1,2,n，使，使 L(1,2,i)=L(1,2,i)，i=1,2, ,n.證明證明 設設 1,2,n是是一組基一組基，我們來逐個地求出，我們來逐個地求出向量向量1,2,n . 首先，首先，可取可取 . 一般地，一般地，假定假定已經(jīng)已經(jīng)求出求出1,2,m ，它們是，它們是單位正交單位正交的，具有的，具有性質性質111|1 上頁上頁下頁下頁返回返回下一步下一步求求m

11、+1.顯然顯然 L(1,2,i)=L(1,2,i)，i=1,2, ,m. 因為因為L(1,2,m)=L(1,2,m)，所以，所以m+1不不能能被線性表出被線性表出. 按按定理定理1證明的方法證明的方法，作向量作向量.),(1111 miiimmm m+10，且，且 (m+1, i)=0，i=1,2, ,m.令令.|111 mmm上頁上頁下頁下頁返回返回 應該指出，應該指出，定理中的要求定理中的要求就就相當于相當于由基由基1, ,2, , ,n到基到基1, ,2, , ,n的的過渡過渡矩陣矩陣是是上三角形的上三角形的.1,2,m,m+1 就是一單位就是一單位正交向量組正交向量組. 同時同時 L(

12、1,2,m+1)=L(1,2,m+1).由歸納法原理，由歸納法原理，定理定理2得證得證. 證畢證畢. L(1,2,i)=L(1,2,i)，i=1,2, ,n. 定理定理2中中把一組線性無關的向量變成一單位正把一組線性無關的向量變成一單位正交向量組的方法交向量組的方法在一些書和文獻中在一些書和文獻中稱為稱為施密特施密特（Schimidt）正交化過程正交化過程.上頁上頁下頁下頁返回返回例例1 把把)1 , 1, 1, 1(),1 , 0 , 0 , 1(),0 , 1 , 0 , 1(),0 , 0 , 1 , 1(4321 變成變成單位正交的向量組單位正交的向量組. 解解 第一步第一步把它們把它

13、們正交化正交化，得，得),0, 0, 1, 1(11 ),0, 1,21,21(),(),(1111222 ),1,31,31,31(),(),(),(),(222231111333 ).1, 1, 1, 1 (),(),(),(),(),(),(33334222241111444 上頁上頁下頁下頁返回返回第二步第二步再再單位化單位化，便得到，便得到單位正交的向量組單位正交的向量組為為,0, 0,21,211 ,0,62,61,612 ,123,121,121,1213 ,21,21,21,213 三、正交矩陣三、正交矩陣上頁上頁下頁下頁返回返回 上面討論了上面討論了標準正交基的求法標準正交基

14、的求法. 由于由于標準正交標準正交基基在在歐氏空間歐氏空間中占有中占有特殊的地位特殊的地位，所以有必要來討，所以有必要來討論論從一組從一組標準正交基標準正交基到另一組到另一組標準正交基標準正交基的的基變換基變換公式公式. 設設1,2,n與與1,2,n是是歐氏空間歐氏空間V V中的中的兩組兩組標準正交基標準正交基，它們之間的，它們之間的過渡矩陣過渡矩陣是是A=(aij)，即，即 nnnnnnnnaaaaaaaaa2122221112112121),(),(因為因為1,2,n是是標準正交基標準正交基，所以，所以上頁上頁下頁下頁返回返回 .,0;,1),(jijiji當當當當( (4) )矩陣矩陣

15、A 的各列就是的各列就是 1, ,2, , ,n 在在標準正交基標準正交基1,2,n下的下的坐標坐標. 按按公式公式( (3) ), ( (4) )式可以表示為式可以表示為 .,0;,12211jijiaaaaaanjnijiji當當當當(5)(5)( (5) )式相當于一個式相當于一個矩陣的等式矩陣的等式或者或者 A- -1=AT . ATA=E ， (6)(6)上頁上頁下頁下頁返回返回定義定義7 7 n級級實數(shù)矩陣實數(shù)矩陣A稱為稱為正交矩陣正交矩陣，如果，如果ATA=E . 因此，以上分析表明，由因此，以上分析表明，由標準正交基標準正交基到到標準正標準正交基交基的的過渡矩陣過渡矩陣是是正交

16、矩陣正交矩陣；反過來反過來，如果，如果第一組第一組基基是是標準正交基標準正交基，同時，同時過渡矩陣過渡矩陣是是正交矩陣正交矩陣，那么，那么第二組基第二組基一定也是一定也是標準正交基標準正交基. 最后我們指出，根據(jù)最后我們指出，根據(jù)逆矩陣的性質逆矩陣的性質，由，由 ATA=E 即得即得 AAT=E 我們引入我們引入上頁上頁下頁下頁返回返回寫出來就是寫出來就是 .,0;,12211jijiaaaaaajninjiji當當當當(7)(7)(5)(5)式是式是矩陣矩陣列列與與列列之間的關系之間的關系，(7)(7)式是式是矩陣矩陣行行與與行行之間的關系之間的關系. 這這兩組關系是兩組關系是等價等價的的.上頁上頁下頁下頁返回返回例例2 考慮定義在考慮定義在閉區(qū)間閉區(qū)間0, 2上