1、1一、正交、歸一、完備態(tài)（1） 態(tài)疊加原理：量子態(tài)可按任意一組正交、歸一、完備態(tài)矢量來分解，即nnncn態(tài)矢量，也稱基矢量子態(tài),nc 展開系數(shù)第1頁/共26頁2一、正交、歸一、完備態(tài)（2）200*12sin(), 0;( )1,2,3,0,0,.sin,sinsin0,()21,( )( )0,(0, )2( )sin(nnnmnmnnnn xxaxnaaxxanxdxnxmxdxmnmnxx dxmnan xxccxaa以無限深方勢阱中的粒子為例利用有正交、歸一由傅立葉級數(shù)展開，在內(nèi)，任何奇函數(shù)可表示為1)n完備第2頁/共26頁3一、正交、歸一、完備態(tài)（3）(,)nnnc 和 的內(nèi)積112(

2、 )sin( )( )( )nnnnnnn xxccxaaxx數(shù)學(xué)上，完備性。物理上，是無限深方勢阱中粒子的波函數(shù)態(tài)疊加原理。由能量本征方程確定構(gòu)成體系的基矢*( ) ( )(,)nnncxx dx nc如何確定 ？第3頁/共26頁4一、正交、歸一、完備態(tài)（3）*1*1*11*( ) ( )(,)( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )nnnmmmnnmmmmnmmmnnmmnmmncxx dxxcxxx dxxcx dxcxx dxccxx dx 證：由完備性，這里用到了第4頁/共26頁5一、正交、歸一、完備態(tài)（4）22/2*( )()( )( )( )( )( )a

3、xnnnnnnnmmnnnnnxA eHaxHxx dxxcxx處于諧振子勢中的粒子，由能量本征方程確定的分立波函數(shù)為，構(gòu)成一組正交、歸一、完備的基矢。由正交、歸一可得的正交、歸一性可以證明，具有完備性，即具有將所有函數(shù)展開的能力：。由態(tài)疊加原理，就是粒子的量子態(tài)。第5頁/共26頁6一、正交、歸一、完備態(tài)（5）1*222( )( )( )(,)( ) ( )|(,)|nnnnnnnnnnnnxxcxcxx dxccE 結(jié)論：由能量本征方程解出的，通常被稱為態(tài)矢量，也稱基矢,它們是正交、歸一、完備的。無論在無限深方勢阱還是諧振子中，粒子的量子態(tài)都能用這樣的態(tài)矢來展開，即，其中展開系數(shù)粒子處于某一

4、態(tài)矢的概率為，同時，也是粒子具有態(tài)矢對應(yīng)的能量的概率。第6頁/共26頁7二、 一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(1) 1、定態(tài) 薛定格方程 若 不顯含 ，則可令 ， 且 。若已知t=0時體系處于某一個能量本征態(tài)： ，則在t0后，體系狀態(tài)為 通常稱這樣的態(tài)為定態(tài)定態(tài)。 2、簡并 如果系統(tǒng)的能級是分立的，即 ，若對同一個能級，有兩個及其以上的本征函數(shù)與其對應(yīng)，則稱這個能級是簡并簡并的。( ,0)( )nEr tr),(),(2),(22trtrVmtrti),(trVt( , )( ) ( )nEr tr f t( , )( )exp(/ )nEnr triE t)/exp()(iEttfnEE

5、 第7頁/共26頁8222222/212 322sin(), 0;( )1,2,3,0,0,.( )(1/2),( )( )()0,1,2,( )nnnnna xnnnnnnEEman xxaxnaaxxaExEEnA eHax nEx 一維無限深方勢阱中的能量本征值與本征態(tài)為，n= ， ，一個對應(yīng)一個：非簡并一維諧振子的能量本征值為本征態(tài)為，一個對應(yīng)一個：非簡并若一個( )nnnExE對應(yīng)二個（及以上）：稱是簡并的 實際中，簡并的情況遠(yuǎn)比非簡并的多，與對稱性相關(guān)。第8頁/共26頁9二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(2) 3、宇稱：函數(shù)在空間反演下表現(xiàn)出的特性。:( )()( )()(

6、)( )()( )( )cos( )cos()cos( )sin( )sin()sin( )PPxxPxxxPxxxxPxxxPxxx 定義空間反演算符 為如果或，稱具有確定的偶宇稱或奇宇稱，如偶宇稱奇宇稱注意：一般的函數(shù)沒有確定的宇稱偶宇稱奇宇稱第9頁/共26頁10二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(3)4、定態(tài)薛定格方程：能量本征方程222*/222( , ),( , )( , ) ( , )2( , )( , )( ),( ) ( )( )(1)2iEtmxV x tix tV x tx ttm xVVV x ttx tx eV xxExm x 設(shè)質(zhì)量為 的粒子，沿 方向運動，勢能為

7、粒子滿足的薛定格方程為一般情況下，為實數(shù)。若不顯含 且t0后體系處于定態(tài)：則有此即定態(tài)薛定格方程，也就是能量本征方程。第10頁/共26頁11二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(4) 定理1。量也是也是方程解，對應(yīng)的能也是實數(shù)，有為實數(shù)，取共軛，并注意到【證】對能量本征方程。量也是程的一個解，對應(yīng)的能也是能量本征方，則能量本征值為解，對應(yīng)的是能量本征方程的一個設(shè)ExxExxVxmExVxVExEx)()()()(2)()()()(*222*第11頁/共26頁12二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(5) 推論1*2*2*( )( )1( )( )( )( )( )( )( ) |( )|1

8、01( )( )( )iExxExExxxCxxCxCxCCeCxxx 對應(yīng)于能量的某個本征值 ，能量本征方程的解不簡并，則這個解可取為實函數(shù)?！咀C】是能量本征方程對應(yīng) 的一個解，根據(jù)定理 ，也是對應(yīng)能量 的一個解，如果能級不簡并，則和對應(yīng)的是同一個量子態(tài)令 可取為實函數(shù)。第12頁/共26頁13二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(6) 定理21122*( )( )( ),( )1( )xEExExxxE設(shè)是能量本征方程的一個解，對應(yīng)于能量的某個本征值 ，總可以找到能量本征方程的一組實解，凡是屬于 的任何解，均可表示為這一組實解的線性疊加?！咀C】設(shè)是能量本征方程屬于 的解，如果實數(shù)域，不談。

9、如果復(fù)數(shù)域，由定理 ，也是能量本征方程屬于 的解。第13頁/共26頁14二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(7)222*1212*1212( ) ( )( )2( )( )( )( ) ( )( )( )( )11( )(),( )()22V xxExm xxxxxixxExxxixi能量本征方程是線性微分方程，其解具有疊加性，即和也是方程屬于 的解，且，實數(shù)域，從中可得到得證。第14頁/共26頁15二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(8)的解。也是方程對應(yīng)于有，并注意到的解。令是方程【證】的解。也是方程對應(yīng)于則的解，能量本征值是能量本征方程對應(yīng)于如果，具有確定的偶宇稱，即：設(shè)定理Ex

10、xExxVxdxdmxdddxdxVxVxxxExxVxdxdmxExExxVxVxV)()()()()(2)()()(,)()()()(2)()()()()()(3222222第15頁/共26頁16二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(9)具有確定的宇稱。即但，。另一方面，即必然對應(yīng)同一量子態(tài)，和無簡并，則的解。屬于是方程都和，則，若【證】由定理有確定的宇稱。具無簡并，則若的解，如果能量本征值是能量本征方程對應(yīng)于推論：設(shè))(. 1, 1),()()(),()()()()()()()()()()()()()()(2)()()()(3)()(),()()(222222xccxxPxpxcxcP

11、xpxcxxpxcxxxxExExxVxdxdmxxxVxVxxxVxVEx第16頁/共26頁17二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(10)4( )()( )( )()3()( )( )(), ( )( )(),( )( )( )(),(V xVxEExEV xVxxEf xxx g xxxf xg xEf xfxg定理 ：設(shè)，則對應(yīng)于任何一個能量本征值 ，總可以找到能量本征方程的一組解，其中的每個解都有確定的宇稱，而屬于 的任何解，都可用它們來展開。【證】設(shè)是能量本征方程屬于 的解，由定理 ，也是方程屬于 的一個解。令則和也是方程屬于 的解，且)()( )()( )( )11( ) (

12、)( )() ( )( )22xgxExxf xg xxf xg xxf xg x 具有確定的宇稱。屬于 的解和可以用和來展開：和，證畢。第17頁/共26頁18二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(11)處是連續(xù)的在處是連續(xù)的，因而在有限）（的一個領(lǐng)域內(nèi)求積分：程在發(fā)生跳變，此時可對方處，必定是連續(xù)的。在和的區(qū)域，連續(xù)在【證】對方程點必定是連續(xù)的。在及其導(dǎo)數(shù)函數(shù)有限，則能量本征若：設(shè)定理axxaxxxxVEaadxxxVEmdxxdxdaxxxVaxxxxVxxVEmxdxdaxxVVaxVaxVxVaaaa)()()()(0)0()0()()(2)()()()()()(),()(2)()(

13、)(,;,)(5200221221limlim第18頁/共26頁19二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(12)處是連續(xù)的。在處是連續(xù)的在，若處是連續(xù)的在和，【證】由定理處是連續(xù)的。時在當(dāng)為能量本征函數(shù)，則有限，若推論：設(shè)axaxxxxaxxxaxxxVVaxVaxVxV/)(ln)(/ )(0)()()(50)()(ln)(,;,)(1221第19頁/共26頁20二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(13) 22121211221122121211221122112212122212112212100)()(60)(0) 1 ()2()2(, 0)(2) 1 (, 0)(2)()(6常數(shù)

14、束縛態(tài)，則是和常數(shù)，又，有【證】由定理。都是束縛態(tài)，則和解，若的同一能量均為能量本征方程屬于和推論：設(shè)常數(shù)，得到【證】按假設(shè)常數(shù)。的解，則能量同一均為能量本征方程屬于和：設(shè)定理EVEmVEmExx第20頁/共26頁21二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(14)另行討論。有奇點，則在奇點處要如果級不簡并。代表同一量子態(tài)，即能和，得到，兩邊同除推論，有束縛態(tài)，由定理的兩個量是能量本征方程屬于能和【證】設(shè)并的。束縛態(tài)，則必定是不簡中運動，如存在：設(shè)粒子在無奇點勢場定理)(/ln/ln0)/(ln/6)(72121212121221121122121xVCCCExV第21頁/共26頁22三、有限深

15、對稱方勢阱中的束縛態(tài)(1) 設(shè) 粒子能量 條件 在阱外 能量本征方程 解2a)( xVx00V0V2aE. 2/|,; 2/|, 0)(0axVaxxVE00VE 2/|ax 0)()(2)(0222xEVmxdxd. 2/,; 2/,)(axBeaxAexxx/)(20EVm()0 x 為滿足束縛態(tài)的要求，需有第22頁/共26頁23三、有限深對稱方勢阱中的束縛態(tài)(2) 在阱內(nèi) 能量本征方程 其解具有 2a)(xVx00V0V2aE|/2,xa0)()(222xkxdxdcos,sinikxkxkxe和的形式/2mEk )2/tan(/cos/sin/)(ln)(ln2/5/)(2,)(,/2)2/|(|cos)(1)(3),()(0kakAeeAkxCkxkCaxEVmAexaxaxkxCxxxVxVxxx得到，即處，推論，在由定理在）偶宇稱（必有確定的宇稱。的推論知，由定理，且束縛態(tài)的能級不簡并外外內(nèi)內(nèi)外內(nèi)外內(nèi)第23頁