1、姓名 學號 學院 專業(yè) 座位號 ( 密 封 線 內 不 答 題 )密封線線_ _ 誠信應考,考試作弊將帶來嚴重后果！ 華南理工大學期末考試 微積分（上） 試卷A（試卷號：2012期中 時間120分鐘，總分100）注意事項：1. 考前請將密封線內填寫清楚； 2. 所有答案請直接答在試卷上( 密封線裝訂區(qū)內、草稿紙上答題均無效)； 3考試形式：閉卷； 4. 本試卷共 五 大題，滿分100分，考試時間120分鐘。題 號一二三四五總分得 分評卷人填空題（每小題3分，15分）1已知函數在區(qū)間上單調遞增，則的單調遞增區(qū)間為2函數的定義域是，則函數的定義域為3當時，與是同階無窮小，則 5 4設，則5. 設，

2、則該函數在上滿足拉格朗日微分中值定理的計算下列各題（每小題5分，共25分）6、求極限解 又 3分由夾逼準則 2分7、求極限解 2+2+1分8、設，求解 方程兩邊對求導，視，有即，解得 2分上面的方程兩邊對再求導，視，有，即 2分因此 1分9、設，求解 4分 1分設，求解 3分從而證明如下：當時，已經驗證公式成立。設時， 2分則，得證公式成立。 解答下列各題（每小題7分，共35分）11、求心形線在點處的切線和法線方程解 在點處， 2分在處有，從 而 3分因此 切線方程為，即；法線方程為，即 2分12、設，求導函數，并討論在處的連續(xù)性解 當時， 2分當時， 從而 2分由于不存在，所以在處不連續(xù) 3

3、分13、設是方程確定的隱函數，求解 當時，方程化為，從而對應方程兩邊對求導，視，有代入，得 4分從而 3分14、用泰勒公式求極限 解 由泰勒公式 3分從而 4分求函數的極值解 ， 令，得駐點 3分列表-+-+-+單調減單調增單調減單調增單調減單調增從而函數有極大值極大值 4分 證明題（每小題6分，共12分）16、證明不等式：當時， 證 設則在時連續(xù)、可導，且令，得 3分又，從而函數有極小值且為最小值故當時，即 3分設函數在內可微，且。試證證 由于，從而對所有，當時， 2分對，在上用柯西中值定理，則存在，使得即， 也即 2分又由于，對于上述，當時，從而當時也可以任意小，從而 2分應用題（本題13分）18、研究函數的性態(tài)（包括單調區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間、拐點、漸近線等），畫出簡圖，并根據的具體取值范圍討論方程的根的情況。解 函數定義域為、為奇函數，非周期函數，令得駐點； ，令得列表 5分01+0-0+-0+單調增、凸極大單調減、凸單調減、凹極小單調增、凹極大值，極小值，拐點無鉛直和