1、第四章 恒場 4.1 基本方程和邊界條件4.2 多極展開4.1 基本方程和邊界條件恒源條件4.1.1 恒場此時(shí)由連續(xù)性方程 可得穩(wěn)流條件條件4.1.2 靜電場基本方程方程為邊值關(guān)系為(4.1.1)(4.1.2a)(4.1.2b)引進(jìn)靜電勢對于各向同性的線性介質(zhì),有所以有(4.1.3)對于均勻介質(zhì)(4.1.4)如果均勻區(qū)域內(nèi)不存在自由電荷,則(4.1.5)邊值關(guān)系:(4.1.5a)(4.1.5b)(4.1.5a)式為(4.1.5a)式等價(jià)(4.1.2b)式,(3.1.12)(4.1.5b)式可由 得到靜電平衡時(shí),導(dǎo)體的靜電條件為4.1.3 導(dǎo)體介質(zhì)(1) 導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，(3.1.12)（2）

2、導(dǎo)體是等勢體,表面為等勢面導(dǎo)體內(nèi)部(3) 導(dǎo)體內(nèi)部不帶電,電荷分布于導(dǎo)體表面導(dǎo)體表面上電場沿法線方向;邊值關(guān)系4.1.4 穩(wěn)恒電流體系的基本方程Ohm定律導(dǎo)體表面電荷密度總電荷此時(shí)條件靜電場和穩(wěn)恒電流靜磁場邊值關(guān)系為4.2 恒場中的多極展開4.2.1 電勢的多極展開若電荷體系集中在空間一小區(qū)域 內(nèi),它在空間產(chǎn)生的電勢體積元 在空間產(chǎn)生的電勢整個(gè)電荷體系產(chǎn)生的電勢在離該區(qū)域很遠(yuǎn)處( )，因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系中作展開，又故有又因?yàn)?b)所以(a)化為(a)式中是二階無跡對稱張量,5個(gè)獨(dú)立分量于是電勢在直角坐標(biāo)系中的多極展開式為電勢在直角坐標(biāo)系中的多極展開式可寫為式中電偶極矩 3總電量 1電四極矩 5對

3、照：獨(dú)立分量(2)討論:(1) 及更高階電矩和坐標(biāo)原點(diǎn)選取有關(guān)*推廣到二維和一維帶電體系二維帶電體系故(3) 分立電荷體系一維帶電體系故直線故(4) 分量電偶極矩電荷分布在x軸上電四極矩分量顯然二階對稱張量若帶電體系具有軸對稱，則故只有一個(gè)獨(dú)立的分量(4) 對稱性由于又有(對稱軸為z軸)證：當(dāng)對稱軸為z軸時(shí)，有若球?qū)ΨQ，同樣有故有又有且同理例1:電荷 均勻分布在長為 的一段直線上，求該一維帶電體系的電偶極矩和電四極矩。取線段沿z軸方向討論兩種情況:(1)原點(diǎn)在線段中點(diǎn)；(2)原點(diǎn)在線段一端，且線段在 處。解: 令(1)電四極矩分量：電偶極矩(2)原點(diǎn)在線段一端，且線段在 處?？臻g電勢分布(計(jì)算

4、到電四極矩)例2:(1)x軸上四個(gè)點(diǎn)電荷位矢分別為代入到有注：當(dāng)原點(diǎn)取在其它位置仍有代入到(2) 平面上的四個(gè)電荷位矢分別為代入到 中，有代入到可計(jì)算例3：一半徑為 的圓環(huán)均勻帶電，其電荷線密度為 。解：取圓環(huán)位于 平面，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓心作為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)帶電體系的電偶極矩和電四極矩和在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電勢。則總電荷電偶極矩電四極矩分量分量同理分量故空間電勢分布(計(jì)算到電四極矩)有球坐標(biāo)系中的多極展開故式中電多極矩對于分立電荷:階多極矩 的分量的線性組合.球坐標(biāo)系中的 階多極矩 表示為直角坐標(biāo)系中的利用球諧函數(shù)公式,可以把球諧函數(shù)公式:可得:4.2.2 電場強(qiáng)度的多極展開在直角坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中

5、在球坐標(biāo)系中有零級近似: 點(diǎn)電荷電場電偶極子 : 設(shè)軸對稱對于原點(diǎn)任意方向的電偶極子 ,有電場為4.2.3 靜磁矢勢的多極展開在離該區(qū)域很遠(yuǎn)處( ),有可以寫為式中磁單極項(xiàng)磁偶極項(xiàng)磁四極項(xiàng)1. 磁單極項(xiàng)為零由穩(wěn)恒電流的連續(xù)性,可以把穩(wěn)恒電流區(qū)域分成許多閉合的流管對于每一個(gè)流管而言,其中I為在該流管內(nèi)流過的電流. 或如下證明:式中磁偶極矩2.磁偶極項(xiàng):故所以矢量式產(chǎn)生的磁場因?yàn)榧暗蒙厦胬么艠?biāo)勢位于原點(diǎn)，磁偶極矩為 的磁偶極矩產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度對照電偶極矩產(chǎn)生的電場位于原點(diǎn)的電偶極矩產(chǎn)生的電場利用真空中電磁場能量表達(dá)式有:(4.2.1)及(4.2.2)(4.2.3a)(4.2.3b)4.3 恒場能

6、量的勢表達(dá)式4.3.1 恒場能量的勢表達(dá)式當(dāng)區(qū)域V為全空間時(shí),則有(4.2.4)(4.2.5)靜電能靜磁能因此真空區(qū)域V中恒場的能量可表示為:此時(shí)故及(4.2.6)介質(zhì)中的能量表達(dá)式(包括磁化能和極化能)代入(4.2.6)式(4.2.7)當(dāng)區(qū)域V為全空間時(shí),則有(4.2.8)其總靜電能為對于導(dǎo)體系,每個(gè)導(dǎo)體都是等勢體,電荷在外表面上,4.3.2 兩個(gè)電荷體系的相互作用能兩個(gè)帶電體系總能量的能量相互作用能的能量又4.3.3 電荷體系與外場的相互作用能的多極展開體系與外場的相互作用能為外源分布 在區(qū)域V產(chǎn)生(4.9.37)電勢為因?yàn)?,作Taylor展開有(4.9.38)代入(4.9.37)中,得(4.9.39)由于外源 分布在V外( ),故有(4.9.40)在坐標(biāo)原點(diǎn) 處的取值所以(4.9.39)寫為(4.9.41)代入到(4.9.36)式得第 項(xiàng)是電 極子與外場的相互作用能處于 的兩個(gè)電偶極子 的相互作用能為注：位于原點(diǎn)的電偶極矩產(chǎn)生的電場電偶極子在外場中所受力 :設(shè) 平移一個(gè)虛位移 ,則4.3.4 電偶極矩在外場中的受力和力矩電偶極子在外場中所受力矩 :設(shè) 轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)虛角度則而于是4.4 Green定理Gauss定理令 ,則同樣令 有相減得Green定理任意矢量場4.8 作用在導(dǎo)體面上的電場力所以即因?yàn)椋和ㄟ^導(dǎo)體表面 在單位時(shí)間內(nèi)：等于導(dǎo)體外的場對導(dǎo)體在單位時(shí)間