1、第 PAGE8 頁 共 NUMPAGES8 頁初中數(shù)學(xué)三角形知識點總結(jié)2022初中數(shù)學(xué)三角形知識點總結(jié)等邊三角形等邊三角形是銳角三角形，等邊三角形的內(nèi)角都相等，且均為60。等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線互相重合(三線合一)等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線 或?qū)堑钠椒志€所在的直線。等邊三角形的重要數(shù)據(jù)角和邊的數(shù)量 3內(nèi)角的大小 60等邊三角形重心、內(nèi)心、外心、垂心重合于一點，稱為等邊三角形的中心。(四心合一)等邊三角形內(nèi)任意一點到三邊的距離之和為定值(等于其高)三角形的垂心銳角三角形垂心在三角形內(nèi)部。直角三角形垂心在三角形直角頂點。鈍角三角形

2、垂心在三角形外部。垂心是從三角形的各個頂點向其對邊所作的三條垂線的交點。三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6組四點共圓。三角形上作三高，三高必于垂心交。高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對整，直角三角有十二，構(gòu)成九對相似形，四點共圓圖中有，細(xì)心分析p 可找清，三角形垂心的性質(zhì)設(shè)ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2.1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi);直角三角形的垂心在直角頂點上;鈍角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心;或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心;3、 垂心H關(guān)于三邊的

3、對稱點，均在ABC的外接圓上。4、 ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AHHD=BHHE=CHHF。5、 H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一垂心組)。6、 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓。7、 在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/APtanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。8、 設(shè)O，H分別為ABC的外心和垂心，則BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。9、 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。10、銳角三角形的垂

4、心是垂足三角形的內(nèi)心;銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短(施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時期由海倫發(fā)現(xiàn))。11、西姆松定理(西姆松線)：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。12、 設(shè)銳角ABC內(nèi)有一點P，那么P是垂心的充分必要條件是PB_PC_BC+PB_PA_AB+PA_PC_AC=AB_BC_CA。13、設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分別為AEF，BDF，CDE的垂心，則DEFH1H2H3。14、三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各

5、頂點的切線。溫馨提示：上面的很多三角形的垂心性質(zhì)知識，希望大家都可以記在筆記中了。解直角三角形：勾股定理，只適用于直角三角形(外國叫畢達(dá)哥拉斯定理) a2+b2=c2, 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。常見的勾股弦數(shù)有：3，4，5;6，8，10;5,12,13;10,24,26;等等.解斜三角形：在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.則有 (1)正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R(R為三角形外接圓半徑) (2)余弦定理 a2=b2+c2-2bc_

6、CosA b2=a2+c2-2ac_CosBc2=a2+b2-2ab_CosC 注：勾股定理其實是余弦定理的一種特殊情況。 (3)余弦定理變形公式 cosA=(b2+C2-a2)/2bCcosb=(a2+c2-b2)/2aC cosC=(a2+b2-C2)/2ab斜三角形的解法：已知條件 定理應(yīng)用 一般解法一邊和兩角 (如a、B、C) 正弦定理 由A+B+C=180，求角A，由正弦定理求出b與c，在有解時 有一解。兩邊和夾角 (如a、b、c) 余弦定理 由余弦定理求第三邊c，由正弦定理求出小邊所對的角，再由A+B+C=180求出另一角，在有解時有一解。三邊 (如a、b、c) 余弦定理 由余弦定

7、理求出角A、B，再利用A+B+C=180，求出角C 在有解時只有一解。兩邊和其中一邊的對角 (如a、b、A) 正弦定理 由正弦定理求出角B，由A+B+C=180求出角C，在利用正弦定理求出C邊，可有兩解、一解或無解。勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)內(nèi)容：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方。 幾何語言：若ABC滿足ABC=90，則AB+BC=AC勾股定理的逆定理也成立，即兩條邊長的平方之和等于第三邊長的平方，則這個三角形是直角三角形 幾何語言：若ABC滿足，則ABC=90。射影定理(歐幾里得定理)內(nèi)容：在任何一個直角三角形中，作出斜邊上的高，則斜邊上的高的平方等于高所在

8、斜邊上的點到不是兩直角邊垂足的另外兩頂點的線段長度的乘積。幾何語言：若ABC滿足ABC=90，作BDAC，則BD=ADDC 射影定理的拓展：若ABC滿足ABC=90，作BDAC， (1)AB=BDBC(2)AC=CDBC (3)AB_AC=BC_AD正弦定理內(nèi)容：在任何一個三角形中，每個角的正弦與對邊之比等于三角形面積的兩倍與三邊邊長和的乘積之比幾何語言：在ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc結(jié)合三角形面積公式，可以變形為a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R是外接圓半徑)余弦定理內(nèi)容：在任何一個三角形中，任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩

9、邊的2倍乘以它們夾角的余弦 幾何語言：在ABC中，a=b+c-2bccosA此定理可以變形為：cosA=(b+c-a)2bc全等三角形S.S.S.(Side-Side-Side)(邊、邊、邊)：各三角形的三條邊的長度都對應(yīng)地相等的話，該兩個三角形就是全等三角形。S.A.S.(Side-Angle-Side)(邊、角、邊)：各三角形的其中兩條邊的長度都對應(yīng)地相等，且兩條邊夾著的角都對應(yīng)地相等的話，該兩個三角形就是全等三角形。A.S.A.(Angle-Side-Angle)(角、邊、角)：各三角形的其中兩個角都對應(yīng)地相等，且兩個角夾著的邊都對應(yīng)地相等的話，該兩個三角形就是全等三角形。A.A.S.(Angle-Angle-Side)(角、角、邊)：各三角形的其中兩個角都對應(yīng)地相等