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1、河南科技大學(xué)第三屆高等數(shù)學(xué)競賽（卷二）評分標準三、解答題（本大題共8個題，滿分為100分）21 （本題滿分10分）求極限解：令 ，原式可以轉(zhuǎn)化為 4分即原式 3分 3分22 （本題滿分15分）設(shè)函數(shù)在（）上有定義, 在區(qū)間上, , 若對任意的都滿足, 其中為常數(shù).()寫出在上的表達式;()問為何值時, 在處可導(dǎo).【詳解】()當(dāng),即時, 2分.4分()由題設(shè)知 . 2分 2分.2分令, 得. 2分即當(dāng)時, 在處可導(dǎo). 1分23.(本題滿分10分)求通過點的直線中，使得為最小的直線方程。解：設(shè)過點的直線為 2分 1分 2分 = 1分 2分 故所求直線方程為 2分24 (本題滿分10分) 求曲面夾在

2、二曲面之間的部分的面積。解：該曲面在平面上的投影區(qū)域為（如右圖所示）3分所以所求面積為2分=2分=3分25 （本題滿分15分）計算 ，其中是沿著橢圓的正向從到的一段弧。解：設(shè) ， 4分則 3分設(shè)， 2分 3分 2分 1分26 （本題滿分10分）設(shè)為可微函數(shù)，且，試求解：由于，2分故1分 4分 3分27 (本題滿分10分)設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明存在使 【證明】由題設(shè)知，在上滿足拉格朗日中值定理條件，故存在， 使 3分又，在上滿足柯西中值定理的條件，故存在，使 4分即1分因此存在使 2分28 （本題滿分20分）已知曲線的方程為（）討論的凹凸性；（）過點（-1，0）引的切線，求切點，并寫出切線的方程；（）求此切線與（對應(yīng)于的部分）及軸所圍成的平面圖形的面積。解：（I）2分 2分 2分（II）切線方程為， 1分設(shè)， 1分則 2分得 2分點為（2，3），切線方程為 1分（III）設(shè)

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