1、小學(xué)四年級奧數(shù)教程第十二講 相遇問題 在小學(xué)數(shù)學(xué)的解決問題部分，行程問題是其中的一大主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，而且在各種數(shù)學(xué)競賽中都離不開這類問題。它內(nèi)容豐富，形式多樣，變化多端，貼近生活，同學(xué)們學(xué)起來饒有興趣，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大快餐。 行程問題所涉及的基本數(shù)量關(guān)系式是： 速度時間=路程，路程時間=速度，路程速度=時間 相遇問題和追及問題是行程問題中的兩種主要類型。這一講我們先來學(xué)習(xí)相遇問題。 相遇問題有兩種情況：相向相遇和反向相離。一般情況，相向相遇的形式多一些，作為主要學(xué)習(xí)內(nèi)容。它的特點(diǎn)是：兩個運(yùn)動著的物體從兩地出發(fā)，相向運(yùn)動，越行越接近，到一定時候二者可以相遇，兩個運(yùn)動物體同時起行，相遇時所用時間相

2、同。例1：小秋和小冬分別住在一條街東西兩頭，兩家相距810米。兩人同時從家中出發(fā)相向而行，小秋每分鐘走40米，小冬每分鐘走50米。問： 他們經(jīng)過多長時是相遇？ 5分鐘時，他們還相距多少米？ 15分鐘時他們相距多少米小秋家小冬家每分40米每分50米相遇處810米分析：如圖，小秋和小冬家相距810米，稱為總路程。小秋每分走40米，小冬每分走50米，可知小秋和小冬同時走1分鐘共行路程是40+50=90（米），我們把它稱為速度和。810米里有幾個90米就是走了幾分鐘。解：810（40+50）=810 90=9（分） 這個時間既是小秋到相遇處時用的時間，也是小冬到相遇處時用的時間，我們稱它為相遇時間。例

3、1：小秋和小冬分別住在一條街東西兩頭，兩家相距810米。兩人同時從家中出發(fā)相向而行，小秋每分鐘走40米，小冬每分鐘走50米。問： 他們經(jīng)過多長時是相遇？ 5分鐘時，他們還相距多少米？ 15分鐘時他們相距多少米小秋家小冬家每分40米每分50米相遇處810米分析：根據(jù)題意，小秋和小冬每分鐘共行40+50=90（米），5分鐘可以行905=450（米），用總路程減去兩人行了的路程就是還沒有行的路程，也就是他們還相距多少米。解：810-（40+50）5=81090 5 =810-450=360（米）例1：小秋和小冬分別住在一條街東西兩頭，兩家相距810米。兩人同時從家中出發(fā)相向而行，小秋每分鐘走40米，

4、小冬每分鐘走50米。問： 他們經(jīng)過多長時是相遇？ 5分鐘時，他們還相距多少米？ 15分鐘時他們相距多少米小秋家小冬家每分40米每分50米相遇處810米分析：根據(jù)題意，15分鐘時他們相距多少米，就是他們相向走了9分鐘相遇，這時他們相距為0，然后相背（反向）而行，又走了15-9=6（分），這時兩人反向相離的路程。解：（40+50）（15-9）=906=540（米） 根據(jù)以上例子，我們可以總結(jié)出相遇問題中數(shù)量之間的基本關(guān)系式是： 速度和相遇時間=總路程 總路程速度和=相遇時間 總路程相遇時間=速度和 總路程相遇時間-一個速度=另一個速度 解相遇問題時，我們必須熟練掌握有關(guān)的數(shù)量關(guān)系式，此外，應(yīng)借助于

5、線段圖來直觀地分析和理解題意，以突破題意的難點(diǎn)。例2：甲、乙兩人騎自行車同時從A、B兩地出發(fā)，相向而行，甲每分鐘行200米，乙每分鐘行220米，15分鐘后兩人相遇，求A、B兩地的距離。分析：此題根據(jù)數(shù)量關(guān)系就能直接求出，求A、B兩地的距離就用速度和相遇時間=總路程。解：（200+220） 15=420 15=6300（米）例3：一輛客車和一輛貨車同時從630千米的兩地相向而行，客車的速度是每小時50千米，貨車的速度是每小時55千米，問幾小時后兩車相距105千米？分析：兩車在相距630千米的兩地相向而行，距離逐漸縮短，在相遇前某一時刻兩車相距105千米，這時兩車共行的路程是630-105=525

6、（千米），然后根據(jù)總路程速度和=相遇時間，便可求出所用的時間。 另外，還有一種情況，當(dāng)兩車相遇后繼續(xù)行駛時，兩車之間的距離會從零逐漸增大，到某一時刻，兩車再一次相距105千米。這時兩車共行的路程為630+105=735（千米），同樣，利用總路程速度和=相遇時間，便可求出所用的時間。解：第一種，兩車相遇前的情況。（630-105） （50+ 55）=525 105=5（小時） 第二種，兩車相遇后的情況。（630+105） （50+ 55）=735 105=7（小時）例4：慢車從甲地開往乙地，開出1小時后，離甲地40千米，這時，快車從乙地開往甲地，快車開出3小時后兩車相遇。已知甲、乙兩地相距340

7、千米，求快車的速度。分析：如圖，慢車開出1小時后，離甲地40千米，說明慢車的速度為每小時40千米。也說明慢車比快車先出發(fā)1小時，行了40千米后，快車才出發(fā)。那么快車用了3小時與慢車相遇，這個3小時是兩車共同用的時間。共同行的路程為340-40=300（千米），然后用共同路程相遇時間-一個速度=另一個速度，從而求出快車的速度。解法一：（340-40）3-40=3003-40=100-40=60（千米）解法二：340-40（3+1） 3=340-40 4 3 = 340-160 3=180 3=60（千米）慢車快車每時40千米每時？千米相遇處340千米 甲地乙地3小時3小時例5：甲、乙兩列火車從相

8、距770千米的兩地相向而行，甲車每小時行41千米，乙車每小時行45千米，甲車先出發(fā)2小時后，乙車才出發(fā)。乙車行幾小時后與甲車相遇？分析：如圖，甲車先出發(fā)2小時，所行的路程是412=82（千米），這時乙車才出發(fā)，那么甲、乙同時相向而行的路程是770-82=688（千米），然后用共同路程速度和=相遇時間，便可求出快車的時間。解：（770-41 2）（41+45） =（770-82）86 =688 86 =8（小時）每時41千米每時45千米相遇處770千米 甲車乙車2小時？小時？小時例6：甲、乙兩城之間的公路長840千米，兩輛汽車同時從甲城開往乙城，每一輛汽車每小時行28千米，第二輛汽車每小時行42

9、千米，第二輛汽車到達(dá)乙城后立即返回，兩輛汽車從開出到相遇共用了幾小時？分析一：從圖可知，兩輛車開始時是同向行走，第二輛車開得快，當(dāng)?shù)诙v車從甲到乙后，所用的時間是84042=20（小時），當(dāng)?shù)诙v車從乙城返回時，與第一輛車的運(yùn)動方向變成了同時相對而行，只要求出第二輛車返回時與第一輛車相遇用的時間，然后與20相加，便可得出所求問題。解：第二輛車到達(dá)乙城所用的時間：84042=20（小時） 第一輛車用20小時所行的路程是：2820=560（千米） 第一輛車和第二輛車相對而行的路程是：840-560=280（千米） 第一輛車和第二輛車相對而行的時間是280（42+28）=4（小時） 從出發(fā)點(diǎn)到相遇時

10、用的時間是：20+4=24（小時）每一輛車840千米 甲乙第二輛車相遇處例6：甲、乙兩城之間的公路長840千米，兩輛汽車同時從甲城開往乙城，每一輛汽車每小時行28千米，第二輛汽車每小時行42千米，第二輛汽車到達(dá)乙城后立即返回，兩輛汽車從開出到相遇共用了幾小時？分析二：我們用轉(zhuǎn)化的思想，讓第二輛車由與第一輛車同向而行變成從另一城丙出發(fā)，與第一輛車相向而行，那么兩車從開出到相遇所行的路程，正好是兩城間公路長的2倍，因此，兩車從開出到相遇所用的時間相當(dāng)于兩車從相距8402=1680（千米）的兩地同時出發(fā)，相向而行，直到相遇所用的時間。如圖解：第一輛車和第二輛車共行的路程是：8402=1680（千米）

11、 兩輛車從出發(fā)到相遇所用的時間：1680（42+28） =168070 =24（小時） 每一輛車相遇處840千米 甲乙第二輛車840千米 丙例7：小陳和小王兩人同時分別從兩地騎車相向而行。小陳每分鐘行320米，小王每分鐘行310米，兩人相遇距全程中點(diǎn)50米。求全程長多少米？分析：從圖上可以看出，兩人相遇的地點(diǎn)距離中點(diǎn)50米，也就是小陳走了全程的一半后又走了50米，小王走了全程的一半減50米的地方，小陳比小王多走了50+50=100（米）。已知小陳每分鐘行320米，小王每分鐘行310米，小陳每分鐘比小王多行320-310=10（米）。多少分鐘小陳比小王多行100米？用10010=10（分），這就

12、是相遇 的時間，再速度和相遇時間=總路程。解：相遇時小陳比小王多行的路程是： 50+50=100（米） 相遇時間：100（320-310）=10（分鐘） 全程：（320+310）10=6300（米） 相遇處小陳50米 小王中點(diǎn)例8：甲、乙兩個工程隊(duì)合修一條長2900米長的水渠，甲隊(duì)每天修80米，乙隊(duì)每天修65米，兩隊(duì)人各從一端同時相向施工，相遇時，甲隊(duì)超過中點(diǎn)多少米？分析一：這道題與例7的運(yùn)動方向是相同的，只是把條件和問題換了換?？梢杂靡韵滤悸穪斫鉀Q問題。要求甲隊(duì)超過中點(diǎn)多少米，只要求出甲隊(duì)修的米數(shù)，再減去小渠的一半便可得出。要求甲隊(duì)修的米數(shù)，必須知道甲隊(duì)的速度和甲隊(duì)用的時間，速度已知是每天修

13、80米，時間就是兩隊(duì)相遇的時間，用總路程除以速度和便可以求出。解：相遇時間： 2900（80+65）=2900145=20（天） 甲隊(duì)修的米數(shù)：80 20=1600（米） 甲隊(duì)超過中點(diǎn)的米數(shù)：1600-29002=1600-1450=150（米）例8：甲、乙兩個工程隊(duì)合修一條長2900米長的水渠，甲隊(duì)每天修80米，乙隊(duì)每天修65米，兩隊(duì)人各從一端同時相向施工，相遇時，甲隊(duì)超過中點(diǎn)多少米？分析二：甲隊(duì)超過中點(diǎn)的米數(shù)，也是乙隊(duì)距中點(diǎn)的米數(shù)。用甲隊(duì)修的米數(shù)減去乙隊(duì)修的米數(shù)再除以2，就求出甲隊(duì)超過中點(diǎn)的米數(shù)。所以用第一種思路先求出相遇時間，再分別求出甲隊(duì)和乙隊(duì)修的米數(shù)。解：相遇時間： 2900（80+

14、65）=2900145=20（天） 甲隊(duì)修的米數(shù)：80 20=1600（米） 乙隊(duì)修的米數(shù)：65 20=1300（米） 甲隊(duì)超過中點(diǎn)的米數(shù)：（1600-1300）2=3002=150（米）例9：甲、乙兩車站相距8250米，A公交車速度為每分鐘280米，B公交車速度為每分鐘270米，A、B兩車分別從甲、乙兩站相向開出，兩車到站后都要停留5分鐘，然后返回，它們第一次相遇后要經(jīng)過多少時間第二次相遇？分析：從圖中可以看出，A、B兩車從出發(fā)到第一次相遇經(jīng)過的總路程是甲、乙兩站的長8250米。A、B兩車從出發(fā)到第二次相遇經(jīng)過的總路程是甲、乙兩站8250米的3倍，也就是第一次相遇到第二次相遇時，兩車經(jīng)過的總

15、路程是8250米的2倍。又已知兩車的速度，可求得兩車行這兩個全程共用的時間，最后加上停站時間，就求出了最后結(jié)果。解：從第一次相遇到第二次相遇經(jīng)過的總路程： 85002=16500（米） 從第一次相遇到第二次相遇所用的時間： 16500（280+270）=30（分鐘） 30+5=35（分鐘） 第一次相遇甲8250米 乙A車B車停留5分鐘停留5分鐘第二次相遇例10：小春、小夏兩人同時從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩人在離A地50米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續(xù)前行，并且在各自到達(dá)對方出發(fā)點(diǎn)后立即沿原路返回，途中兩人在距B地25米處第二次相遇。問A、B兩地相距多少米？分析：從圖上看，小春和小夏運(yùn)行

16、的情況與例9題兩輛汽車運(yùn)行的情況相似，只是小春、小夏到對方出發(fā)點(diǎn)時沒有停，返回即走，那么我們可以用例9思路來想：小春、小夏第一次相遇時，合行的路程是A、B之間的距離，此時，小春行了50米。從圖中可以看出，他們到第二次相遇時共行了A、B之間的距離的3倍，也就是小春和小夏各行了從出發(fā)到第一次相遇時自己所行路程的3倍，即小春共行了3個50米。用小春共行的路減去他返回時又行的25米，就得到A、B兩地間的距離。解： 503-25=150-25=125（米） 第一次相遇AB小春小夏50米第二次相遇25米例11：甲、乙、丙3人做走路游戲。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走50米，丙每分鐘走60米。甲、乙兩人從A地

17、、丙從B地，3人同時相向出發(fā)，丙先遇見乙，再經(jīng)過2分鐘遇到甲、問A、B兩地相距多遠(yuǎn)？分析：從圖上看出，乙、丙相遇時，甲、乙相差的路程正好是丙再行2分鐘與甲相遇時，甲、丙2分鐘共走的路程。這個路程可以求出：（40+60）2=200（米）。即乙比甲多行了200米。而乙每分鐘比甲每分鐘快50-40=10（米），那么200米里有幾個10米就是在幾分鐘內(nèi)行出來的，用20010=20（分），這個時間是乙與丙相遇時，甲、乙、丙各用的時間，也可以看成是乙、丙相遇的時間，用乙、丙速度和相遇時間=總路程，便可求出A、B兩地相距多遠(yuǎn)。解： 乙、丙相遇時，甲、乙的路程差：（40+60）2=200（米） 乙、丙的相遇時間：200（50-40）=20（分） A、B兩地的距離：（50+60）20=2200（米） AB丙丙甲乙甲2分2分例12：丁丁和帶著小狗的冬冬同時分別從相距1400米的兩地相向而行，丁丁每分鐘行65米，冬冬每分鐘行75米，小狗每分鐘跑200米。冬冬的小狗遇到丁丁后立即返回向冬冬這邊跑，遇到冬冬后再向丁丁這邊跑當(dāng)丁丁和冬冬相遇時，小狗一共跑了 多少米？A地B地返回分析：按照常規(guī)，要求狗一共走了多少米？就得把狗與甲相遇走的路程，與乙相遇走的路程，再與甲相遇走的路程都求出，然后再相加，算出結(jié)果。但是，仔細(xì)想來，狗在甲、乙之間要跑多少個來回，每次來回所用