1、*三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標計算二重積分 二、利用極坐標計算二重積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二重積分的計算法 第九章 一、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續(xù)時, 由曲頂柱體體積的計算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則若D為Y 型區(qū)域則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當被積函數(shù)均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , 為計算方便,可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序.則有(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域 , 則 機動 目錄 上

2、頁 下頁 返回 結(jié)束 例1. 計算其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. 解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 計算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域. 解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,及直線則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 計算其中D 是直線 所圍成的閉區(qū)域.解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :先對 x 積分不行, 說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4. 交換下列積分順序解: 積分域由兩部分組成:視為Y型區(qū)域 , 則

3、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5. 計算其中D 由所圍成.解: 令(如圖所示)顯然,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對應(yīng)有二、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)則特別, 對機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 f 1 則可求得D 的面積思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點,試答: 問 的變化范圍是什么?(1)(2)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例6. 計算其中解: 在極坐標系下

4、原式的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法用直角由于故坐標計算.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注:利用例6可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上, 當D 為 R2 時,利用例6的結(jié)果, 得故式成立 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例7. 求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解: 設(shè)由對稱性可知機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定積分換元法*三、二重積分換元法 滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3) 變換則定理:變換:是一一對應(yīng)的 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證: 根據(jù)定理條件可知變換 T 可逆. 用平行于坐標軸的 直線分割區(qū)域 任取其

5、中一個小矩形, 其頂點為通過變換T, 在 xoy 面上得到一個四邊形, 其對應(yīng)頂點為則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同理得當h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式: 例如, 直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標時, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例8. 計算其中D 是 x 軸 y 軸和直線所圍成的閉域. 解: 令則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例9. 計算由所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解: 令則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例10. 試計算橢球體解: 由

6、對稱性令則D 的原象為的體積V.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形 : 若積分區(qū)域為則 若積分區(qū)域為則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則(2) 一般換元公式且則極坐標系情形: 若積分區(qū)域為在變換下機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標線被積函數(shù)關(guān)于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性應(yīng)用換元公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習1. 設(shè)且求提示:交換積分順序后, x , y互換機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 交換積分順序提示: 積分域如圖機動