1、23個(gè)求極值和值域?qū)ｎ}1、求函數(shù)f(X) x Vx23x2的值域.2、求函數(shù)f(x)x2713X .、,又的值域.3、求函數(shù)f(x) jxF 用3x的值域.: x2 1 j4、求函數(shù) f (x) 的值域.x 12 x bx c .5、已知函數(shù)f (x) b一c (其中b 0)的值域是1,3,求實(shí)數(shù)b,c.x2 1 TOC o 1-5 h z 222x y z 6、已知： x,y,z為正實(shí)數(shù)，且 x y z xyz,求函數(shù) f (x, y, z) 的最小值.xyz227、已知：2x 3xy 2y 1 ,求：f (x, y) x y xy 的最小值.213 一 一一 一8、設(shè)函數(shù)f (x)-x 一

2、在區(qū)間a, b的最小值為2a ,最大值為2b,求區(qū)間a,b.29、已知：x2 y2 25,求函數(shù) f(x,y) J8y 6x_50 J8y 6x50 的最大值.10、求函數(shù)：f(x) 4x2 2x 10 Rx2 16x 68 的最小值.，一一x2 x ,一,11、求函數(shù)：f(x)的值域.x2 4x 42 x212、已知實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿足x1七 1和x2配 33,求*3的最小值. TOC o 1-5 h z 232313、求函數(shù)：f(x,y) (1y)2(xy 3)2 (2xy 6)2 的最小值.14、已知： 612 5,求函數(shù)：f (x, y) x y的最小值.2215、已知點(diǎn)P(x,

3、y)在橢圓 -y- 1上，求f(x,y) 2x y的最大值.4916、求函數(shù)：f (x) 72 x ，8 3x的值域.17、求函數(shù):18、求函數(shù):f (x) f(x)1 - vx2 2x 2的值域.2,1 sin x . 1 sin x 2 sin x . 2 sin x.3 sin x 3 sin x 的最大值.19、設(shè)：xi (i 1,2,3,., 2003)為正實(shí)數(shù)，且滿足 百 瓦 . 后032003,試求：y . x1 x2 x2x3 . x2002x2003 x2003x1 的最小值.20、已知x,y,z為正實(shí)數(shù)，且滿足222xyz 2 .2d 2d22，1 x 1 y 1 z求:f

4、 (x,y,z)x1 x2-的最大值.1 y21 z221、設(shè)為銳角，求：f ()22、設(shè)為銳角，求證：211一(1 )(1 )的最小值.sincossin tan .23、已知x,y,z為正實(shí)數(shù)，求證：2刈2yz24x y z 223個(gè)求極值和值域?qū)ｎ}解析1、求函數(shù)f (x) xJx2 3x 2的值域.解析：函數(shù)f (x) x,x2 3xx J(x 1)(x 2)的定義域?yàn)?(,1 2,).函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為:f(x)當(dāng)x (,1時(shí),0,22 (；)2故 f ( X) 1(X3x 23)2 J22)%)即：函數(shù)f ( x)在X(,1區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)，故:f(x)f (1) 1;f(x)lim

5、xf(x)lim f ( x)xlimxlimx(.x2 3x 2,.7)limx(x2 3x x2 3x2) (x2)3x 2x2 3x 2 x2limxx22 x故：函數(shù)在該區(qū)間的值域是1字0 ,則 f (x)322 (；)2， 一 ,3當(dāng)x 2,)時(shí)，x - 2即：函數(shù)f (x)在x 2,)區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故：f(x) f (2) 2；f(x) lim f(x) lim ( xA . x 27 C .x 3x 2 x) xx故：函數(shù)在該區(qū)間的值域是 2,).綜上，函數(shù)的值域是母/2,).本題采用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來確定函數(shù)的增減，此法稱為“單調(diào)性法”2、求函數(shù)f (x) , x 27.i3r

6、.又的值域.解析：函數(shù)f(x)的定義域是：x 0,13.待定系數(shù)法用于柯西不等式來解本題設(shè)：A,B,C 0,則柯西不等式為: (.A.x 27 )2 ( .B ,13 x)2 (,C . x)2- - - f 2(x)ABC即：f 2(x) (AB C)x1(27 A 13B) 一 A令：A B C 0 ,即：BC. x由柯西不等式的等號(hào)成立條件，即函數(shù)取極值時(shí)條件得:27C2 A2x 27由得：xC2 A2 目5一，即：xA2將代入得:(AC)2(1327A2 ) C227A2C2 A2C2 A2即：(A C)2(13C22-2-2-213A2 27A2) 27A2C2即：(A C)2(13

7、C222八22 134040A2) 27A2C2,即：(A C) ( ) 27A2 C2試解，由于27 3 3 3,則式剛好也是 3項(xiàng)相乘，不妨試解采用各項(xiàng)都是3.則：A C3,且日A240C23.貝 U： A1, C 2, B 3代入得：x27 A2C2 A22722 1函數(shù)極大值為f (x 9)9 279 ,即x 9時(shí)函數(shù)取得極大值13 99 6 2 3 11當(dāng)x 0,9時(shí)，函數(shù)f (x)在本區(qū)間為 單調(diào)遞增函數(shù).故:f(x) f(0)271303313即：函數(shù)f(x)在x 0,9區(qū)間的值域是3J3 63,11當(dāng)x 9,13時(shí)，函數(shù)f (x)在本區(qū)間為 單調(diào)遞減函數(shù).故：f (x) f (

8、13)13 2713 131340132 1013即：函數(shù)f (x)在x 9,13區(qū)間的值域是2J10 J13,11綜上，函數(shù)f(x)的值域是3、3 斥,11.本題采用“待定系數(shù)法”、“柯西不等式”和“單調(diào)性法” .3、求函數(shù)f(x) Jx 5 J2437的值域.解析：函數(shù)f(x)的定義域是：x 5,8.待定系數(shù)法用于柯西不等式來解本題設(shè)：A, B 0,則柯西不等式為：(Vax 5)2 (JBJ24_3x )2 f2(x)A Brr - 211即：f2(x) (A 3B)x ( 5A 24B)A BAjx 5 B.24 3x 令：A 3B 0,即：A 3B 由柯西不等式的等號(hào)成立條件，即函數(shù)取

9、極值時(shí)條件得:即：A2(x 5) B2(24 3x),即:x 5 3B28 x a2x 5 8 x 3B2 A28 xA2即：23B2 A1即:8 x8 xA23A23B2 A2即:3A 2-Ad3B2 A2將式代入式得:27B2x 8223B2 9B28 12234-23當(dāng)x 丁時(shí)，函數(shù)f(x)達(dá)到極大值.極大值為:23函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：f(x)24 3x 3 Vx 52.x0,函數(shù)f (x)單調(diào)遞增23當(dāng)x 5,區(qū)間時(shí)，f(x)4f(x) f(5) 024 3 5即：函數(shù)f (x)在本區(qū)間的值域是3,2 3.0 ,函數(shù)f (x)單調(diào)遞減.故: TOC o 1-5 h z 一.23當(dāng)x ，8區(qū)

10、間時(shí)，f(x) 4f (x) f (8)8 5 03即：函數(shù)f (x)在本區(qū)間的值域是3,2 3.綜上，函數(shù)f(x)的值域是3,2可5.本題采用“待定系數(shù)法”、“柯西不等式”和“單調(diào)性法”，一x21 r4、求函數(shù) f (x) 的值域.x 1解析：函數(shù)f(x)的定義域是：x (,1) (1,).則函數(shù)f (x)為:x2 1 f(x) vrx2 1(x 1)2x 1時(shí)取負(fù)號(hào)，當(dāng)x1時(shí)取正號(hào))于是函數(shù)的極值在:g(x) 0即:2(x g( x)21)(x2 1)_22x(x 1)2(x 1)4(x223(x1) x(x1)1) 0即:(x2 1) x(x1) 0 ,即：x 1在x(,1)區(qū)間,函數(shù)f

11、(x)的極值為:f (x1)在區(qū)間的邊界有:lim f (x) lim (xx年xlim (11x)(1 1)2xlim f (x) lim(x 1x2 1(x 1)2)故：函數(shù)f (x)在該區(qū)間的值域是在x(1,)區(qū)間，函數(shù)f(x)1 ,為單調(diào)遞減函數(shù).(x 1)2故有:f(x)f(x)limx)f(x)lim xlimx 1f (x)在該區(qū)間的值域是(1,). 2x1 2) 1(x 1)2故：函數(shù)綜上，函數(shù)f (x)的值域是(1,).本題方法屬“單調(diào)性法”5、已知函數(shù) f (x)2x22 xbx c(其中b 0)的值域是1,3,求實(shí)數(shù)b,c.解析：函數(shù)的定義域?yàn)閤1R.將函數(shù)變形為：y(x

12、2 1)2x22bx c,即：(2 y)xbx(cy) 0其判別式不等式為:b24(2y)(c y) (b2 8c)4(2c)y4y2 0b 9即：際22c(2 c)yy2而函數(shù)f (x)的值域是1,3,即:(y 1)(3 y) 0,即:4y對(duì)比兩式得：c 2, (b)220,故：b故：實(shí)數(shù)b 2 , c 2.此法稱為“判別式法”6、已知：x,y,z為正實(shí)數(shù)，且 x yxyz,求函數(shù) f (x, y, z)222xyzxyz的最小值.解析：首先設(shè)x y z a ,代入xz xyz得：3a a3 ,即:當(dāng)xyz 3 J3時(shí)，由均值不等式Qn222An，即：一y一 32x y z /曰- 得:3(

13、xyz)1 232 (xyz)3xyz2222 (x y z)x y z 3222x y z 則：f (x, y, z)xyz當(dāng)xyz 3J3時(shí)，由均值不等式An Gn ,即：-一y- 3(xyz)2 得:x2 y2 z2 33 (xyz)2222x V z則：f(x,y,z) v xyz當(dāng)xyz 3有時(shí)，由均值不等式33(xyz)2333xyz 3 (xyz) 3( 3)32222 (x y z)QnAn，即：x y z 3代入已知條件xyz xyz,/、2/、2加 222 (x y z) (xyz)Ex y z 33則：f (x, y, z)222xyzxyz(xyz)2xyz 3 33x

14、yz 33故：由、得, f (x, y, z)222xyz的最小值是xyz本題先確定xyz均值，然后在xyz 均值和xyz 均值下求極值.此法稱為“分別討論法”7、已知：2x2 3xy 2y21 ,求：f (x, y) x y xy 的最小值.解析：由已知條件2x2 3xy 2y2 1得：xy 2(x y)2 1 2代入 f (x, y) x y xy 得：f (x, y) z x y xy x y 2(x y) 1即：2(x v)2 (x v) (1 z) 0令：t x y,則方程變?yōu)椋?t2 t (1 z) 0219米用判別式法得：14 2 (1 z) 0,即：(1 z) 一，即：z 一8

15、故：f (x, y) x y xy的最小值是 一.此題采用的是“判別式法”8解析：首先，f(x)是一個(gè)偶函數(shù)，在(，0)區(qū)間單調(diào)遞增，在(0,)區(qū)間單調(diào)遞減當(dāng)0 a b時(shí)，f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，即:f(a) f(b).故：f (a)是最大值為2b, f(b)是最小值為2a.即： TOC o 1-5 h z 一、1 213f (a)a2b222hla 4b 13 022即：(*)f(b)1b2132ab24a 13 022(*)兩式相減得：(a2b2)4(ab)0 ,即：ab 4則：(a b)2 16,即：(a2b2)162ab(*)兩式相加得：(a2b2)4(ab)26將式代入后化簡(jiǎn)得：ab

16、 3由得：a 1, b 3.則區(qū)間a, b為1,3.,.一，八一1313當(dāng)a 0、b 0時(shí)，f(x)的最大值是f(0) 13,即：b 13221 c 13.若 a b ,則 f (x)的最小值為：f(a) 1a2 13 2a, 22即：a2 4a 13 0 ,解之及a 0可得：a 2歷,，一、.13故此時(shí)區(qū)間出,3為2 J17,13.4.一 1o 13.若a b則f(x)的最小值為：f(b) - b2 2a, 22即：a1 , 2 131,13、2 13b()444 4413-13、13 3(1 一)4164 163964 則：a 0.不符合題設(shè)，即此時(shí)無解當(dāng)a b 0時(shí)，由f(x)是一個(gè)偶函

17、數(shù)可得：f(a) f(b),故:f (a)是最小值為2a , f (b)是最大值為2b ,即： TOC o 1-5 h z 213f (a)a一2a22即：a 4a 13 0f(b)1b2132bb24b 13 022則：a,b為一元二次方程 x2 門口( ：8y 6x 50 )2 ( 8y 6x 50)2 4x 13 0的兩個(gè)根,由韋達(dá)定理得：x 82 b 即：f (x, y) 22 .8y 50 即：f (x, y) 2 8 5 50 6 10 當(dāng)y 5時(shí)，x 0, f (0,5) 6 J10,即可以取到不等式的等號(hào)。故：函數(shù)f(x,y)的最大值是6、訶.本題采用An Qn ,稱為“均值不

18、等式”.10、求函數(shù)：f(x) Vx2 2x 10 4x2 16x 68 的最小值.解析：函數(shù) f(x) Vx2 2x 10 Vx2 16x 68%(x 1)2 32.(x 8)2 22其定義域?yàn)椋簒 R令：m (x1),3), n (x8,2) 則:mi ：(x1)2 32, n-./(x8)222,mn(7,5)于是：f(x) m| |n| |m n| V 5249 2574 當(dāng) J/時(shí)，(x 1)3,即：3(x8)2( x1)0, ,則由ab 13得：ab 13a,b異號(hào)，不符合題設(shè)，即此時(shí)無解13綜上，區(qū)間a,b為1,3或2 J17,.本題采用“分別討論法”和“極值法”4一, 22 9

19、、已知：x2 y2 25,求函數(shù) f (x,y) J8y 6x50 J8y 6x50 的最大值.解析：由x2 y2 25可知，函數(shù)f(x,y)的定義域是：x 5,5, y 5,5有均值不等式An Qn ,即：即：5x 260,則：x 型d8y 6x 50 J8y 6x 50(J8y 6x 50 )2 (J8y 6x 50)226 22(85)2 TOC o 1-5 h z 2626 22f(，(15)355212 32 52142 22 523.72 52 2.72 52，52 1L,72 52.,4925 .74所以，丁不是可以取到的.故f(x)的最小值是 J74.正是由于/1時(shí)，函數(shù)f(x

20、) (x 1)2 32,(x 8)2 22取到極值，所以有人總結(jié)出此jI類題的解法用mn來解，即設(shè)，代入m (x i),3), n (x 8,2)后得：m ( (x 1),3) (x 8, 2) ( x 8 42 )3即:21)x8即：x12 124 2三二，即:3 226x1二，x2 522這兩個(gè)結(jié)果分別對(duì)應(yīng)于f(x) Jx2 2x 10 Jx2 16x 68的極小值和 f(x) Ux2 2x 10 Vx2 16x 68 的極大值.本題采用的是“向量法”.2.x x 11、求函數(shù)： f(x)的值域.x2 4x 4解析：先求函數(shù)白定義域.定義域?yàn)椋簒 2本題采用判別式法解題.2由y 等價(jià)變形為

21、： yx2 4yx 4y x2 xx2 4x 4即：(1 y)x2 (4y 1)x 4y 0式上面方程有解得判別式是：(4y 1)2 4 4y(1 y) 0一o11即：16y2 8y 1 16y 16y2 8y 1 0 ,即：y82x x 故：函數(shù)f (x)的值域?yàn)閤2 4x 4本題亦可以采用換元法和配方法來做.).此法稱為“判別式法”12、已知實(shí)數(shù)f(t)2(t 2)2 (t 2)t2即：當(dāng)x1, x2, x3滿足x1t23tt232321於丞5)解析：由已知得：x1x22則由柯西不等式得:2 x1將、代入得:云332112(于 2)2(：x22x332 x2 f )(12即：9(9 x2)

22、 2(3 x3)2,即：11x2 12x3 63 033其判別式為:(12)2故：方程等號(hào)下的兩根為:x3,21則：X3 彳33)2f (x)達(dá)到極小值x331)此法就是“換元配方法”21和x；2 x222 x333 ,求x?的最小值.x2(x1x2 )22x3 2(1于22即：81 9x22x212x31811 ( 63) 412 6 92 11根據(jù)柯西不等式等號(hào)成立的條件得:x1x262 116 27117 6292 622111代入式得：x3 1 (x1 至312x33(13x1學(xué))2代入式得：x3 33(x2母2x1 r3(1,)，即:22x39(12 x1 )d2由兩式得：9(12x

23、1-1),即：(127)2 (12?)即:(2 3x1)2 (42x2),即:12x1 9x24 2x2即:iix212x10,即:(11xi12)x10 ,即:1211則:(1)x1x2x33 ；此為最大值.)3(1 )目11111112- 3x1 一 xx2 一，此時(shí)：x3 3(1 )3(1112所以，x3的最小值為21.此題解法為“柯西不等式” .1113、求函數(shù)：f (x,y) (1 y)2 (x y 3)2 (2x y 6)2 的最小值.解析：待定系數(shù)法用于柯西不等式來解本題設(shè)：A,B,C R,則柯西不等式為:(1 y)2 (x y 3)2 (2x y6)2A2B2 C2A(1 y)

24、 B(x y 3) C(2xy 6)2g(x, y,z)即:f(x,y,z)A2 B2 C2g(x,y,z)則:g(x,y,z) (A 3B 6C)(B 2C)xA B C)y22CB 2c 0, ( A B C)故:設(shè) C 1 ,則：A 1, B2, A2 B2C2則:g(x,y,z) (A 3B 6C)2(1 6 6)2將、代入得：f (x, y,z)g(x,y,z)A2B2 C2柯西不等式中，等號(hào)成立的條件是:2x即：y 11 ,(x y 3) 2x y 6 k ,則：y k 1 212 ,即：x3k 125k得:6k 245則： 1(x y 3) 2x y 6,即：32即：5x 3y

25、153(k 1) 15 3k、， .一 3k 12將y k 1和x 代入2x y 6rr1即：6k 24 25,即：k 61千曰獨(dú) 3k 12 2 12 25 5 TOC o 1-5 h z 于是：當(dāng)x - ,5510 2即：f(x,y) (1 y)2 (x y 3)2 (2x 本題系“待定系數(shù)法”用于“柯西不等式”.x y 4x 2 y 1215,一一，y 1時(shí)，柯西不等式中，等號(hào)成立66八、21y 6)2的最小值是一.614、已知： &_1 Jy_2 5 ,求函數(shù)：f(x,y) x y的最小值.解析：函數(shù)f (x, y)的定義域?yàn)椋簒 1,), y 2,)由均值不等式An2(，x 1)2

26、(. y 2)2x y 1得:y一2254即：x y252,則：f (x, y)272當(dāng) &1 Vy2 ：時(shí)，即：x21433一時(shí)，f (x, y)4272,一 27 故：函數(shù)f(x,y)的最小值是27.此法采用“均值不等式法”22 x 15、已知點(diǎn)P(x,y)在橢圓41上，求f(x,y) 2x y的最大值.解析：函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)?2,2, y 3,3由柯西不等式得：(2xy)292 (廣42 ( 3)21 5252即:2x y 5 ,即：f(x, y) 2x y 5,5由柯西不等式的等號(hào)成立的條件得:工,即：3代入1得:16y281即:16y2819y2則:8y9-8:時(shí)，f (x

27、:時(shí)，f (x95)所以，函數(shù)f (x, y)2xy的最大值是5.本題也可以采用“權(quán)方和不等式”x24(2x)216(y)29(2x即:2xf (x, y)此法為“權(quán)方和不等式”16、求函數(shù)：f(x) J2 x8 3x此法是用“柯西不等式”y)216 92x y的值域.解析：函數(shù)f(x)的定義域是:8x 2 -.3待定系數(shù)法用于柯西不等式來解本題設(shè)：A,B 0,則柯西不等式為:(一晨2一x)2 (.B8一 2 113x) A B即：f2(x) A(2 x)令：A 3B 0 ,則：A(2x y)2525,5(2 x、-8 3x )2f2(x)11B(8 3x) - b(2A8B) (A11_3B

28、)xW -由柯西不等式的等號(hào)成立條件，即函數(shù)取極值時(shí)條件得:AV2x B 用 3x ,即：A2(2 x)B2(8 3x),2222即：(A2 3B2)x 8B2 2A2,則：x8BA2 3B2將代入得:函數(shù)的極值為:8B2 18B2101269B2 3B22 425在x 2, 1區(qū)間，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故：f(x) f( 2) ,2-(1) ,8 3( 2) iU于是，函數(shù)f (x)在該區(qū)間的值域是JT4,232.3,、， 一 5 8_.在x ,區(qū)間，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，故： 6 3f(x) f(8) ,2 (8)、8 3 (8) / 22即：一x (2 y)x (2 y ) 0 0 *

29、3.3,31 33于是，函數(shù)f (x)在該區(qū)間的值域是42 2 423 , 3 42 2 42綜上，函數(shù)f(x)的值域是42,22. 33此法為“待定系數(shù)法”用于 柯西不等式”，最后用“單調(diào)性法”得到值域17、求函數(shù)：f(x) 1 - Jx2 2x 2的值域. 2解析：函數(shù)f(x) 1 - &2x2的定義域是：x R.本題采用判別式法2令：y f(x) 1 vx22x22則：y x2 2x 2 02yx2x 2即：(y x)2 x2 2x 2 ,即：y22 TOC o 1-5 h z 2322由的判別式得:(2 y)在 x 0時(shí)，f (0) 2(1 4(2 y2) 4y2 4y 2 04口口

30、21 Q 21113H ,1、2,與、2即：y y 不即：y y 二，即：(y 工)(二)242 4422拓 1J3-1.31、,3_1,3故：y -或 y ，即：y 或 y 由于式即y 0的條件必須那滿足，故 y -.222此時(shí)，f (x) y 1 L(3 sin x) (3 sin x),函數(shù)f(x)的值域?yàn)? J,).此法為“判別式法”18、求：f(x) Jisin x、.1 sin x 2 sin x . 2 sin x 3 sin x 3 sin x 的最大值.解析：由均值不等式An Qn得:(1 sin x) (1 sin x)2 sin x 2 sin x2(2 sin x) (

31、2 sin x)3 sin x . 3 sin x2所以，兩邊相加得：f (x)2(1,2,3)J3),即不等式的等號(hào)可以取到故：f(x)的最大值為2(12 33).此法為“均值不等式”19、設(shè)：xi (i 1,2,3,., 2003)為正實(shí)數(shù)，且滿足 收 折 . ”20032003,試求：yx1x2,x2x3.x2002x2003,一x2003x1的最小值.解析：由均值不等式AnQn得：2 2 2 x2002 x20032 x2002x2003 22 2、x2002x2003不等式兩邊分別相加得:x2003 x12 v x2003、2(Jx1 x2 x2002 x2003.x2003 x1

32、)即：y .2 2003 2003,2當(dāng) x1x2x20031 時(shí)，2003 J2,即不等式的等號(hào)可以取到故：y的最小值是2003 J2.此法為“均值不等式”20、已知, x2x,y,z為正實(shí)數(shù)，且滿足-1 x22y_ _1 y212z2 z2,求:_xf (x,y,z) 21 x2y1 y2z-的最大值1 z2解析：由111 x21 y21TV2(12y1y2由柯西不等式得:(-1J2z(12x2 x2y2yz21_1 z2)(1 x211 y2即:(x y1 x21 y2z1 z2)2故:_xf (x,y,z) 21 x2 1yy2z1 z2因此，f (x, y, z)的最大值是此法為“柯西不等式”21、設(shè)為銳角，求：f ()(11，)(1 )的最小值.sin cos1解析：f( ) (1 )(1sincoss