1、第 PAGE14 頁 共 NUMPAGES14 頁函數(shù)奇偶性、周期性、對稱性（一）函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性一、函數(shù)的奇偶性1函數(shù)奇偶性的定義：函數(shù) f (_) 的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，對定義域內(nèi)的任意一個 _ 都滿足 f (_) f (_) 函數(shù) f (_) 為偶函數(shù)； f (_) f (_) f (_) f (_) 0 函數(shù) f (_) 為奇函數(shù).2奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于 y 軸對稱；反過來如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)，若該函數(shù)的圖像關(guān)于 y 軸對稱，該函數(shù)為偶函數(shù). 3函數(shù)奇偶性的性質(zhì)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即 f (_) 0

2、， _ D ，其中定義域 D 是關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集. 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同.即奇函數(shù) f (_) 在區(qū)間 a, b(0 a b) 上單調(diào)遞增（減），則 f (_) 在區(qū)間 b, a 上也是單調(diào)遞增（減）；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.即偶函數(shù) f (_) 在區(qū)間 a, b(0 a b) 上單調(diào)遞增（減），則 f (_) 在區(qū)間 b, a 上也是單調(diào)遞減（增）；f (_) f (_) f (_) f (_) f (_) .2 2二、函數(shù)的周期性1函數(shù)的周期性定義：對于函數(shù) f (_) ，如果存在一個非零常數(shù) T ，使得定義域

3、內(nèi)的每一個 個 _ 值，都滿足 f (_ T ) f (_) ，那么函數(shù) f (_) 就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) T 叫做這 個函數(shù)的周期，應(yīng)注意 nT （ n Z 且 n 0 )也是函數(shù)的周期2最小正周期：如果在周期函數(shù) f (_) 的所有周期中，存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做 f (_) 的最小正周期.并非所有的函數(shù)都有最小正周期，如 f (_) c （ c 為常數(shù)），任意一個實(shí)數(shù) _ 都是該函數(shù)的一個周期，卻沒有最小正周期. 三、函數(shù)的對稱性1函數(shù)軸對稱：如果一個函數(shù)的圖像沿一條直線對折，直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合，則稱該函數(shù)具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數(shù)的對稱軸.2

4、中心對稱：如果一個函數(shù)的圖像沿一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 ，所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重合，則稱該函數(shù)具備對稱性中的中心對稱，該點(diǎn)稱為該函數(shù)的對稱中心.【必記結(jié)論】1奇函數(shù) f (_) 若在 _ 0 處有定義，則必有 f (0) 0 ，但若不能判斷奇函數(shù) f (_) 的定義域中一定有 _ 0 ，則不能使用 f (0) 0 ，求取參數(shù)的值.2 函數(shù)f (_) 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱， 則函數(shù) F (_) f (_) f (_) 為偶函數(shù)， 函數(shù)F (_) f (_) f (_) 為奇函數(shù). 3幾類函數(shù)的周期(約定 a 0 )問題： 若 函 數(shù) f (_) 滿 足 ：f (_ a) f (_ a) 或 f

5、 (_ a) f (_) 或f (_ a) kf (_)( f (_) 0, k 0) ， 或 f (_ a) kf (_) ( f (_) 0, k 0) ,或f (_ a) 1 f (_) 或 f (_ a) f (_) b 等，則 f (_) 的周期 T 2a ；1 f (_)若 y f (_) 的圖象關(guān)于直線 _ a , _ b (a b) 對稱，則函數(shù) y f (_) 是周期為2 a b 的周期函數(shù)；若 y f (_) 的圖象關(guān)于 (a,0) 對稱， 同時關(guān)于點(diǎn) (b,0) 對稱，（ b a ）， 則函數(shù)y f (_) 是周期為 2 | b a | ；若 y f (_) 的圖象關(guān)于

6、_ a 對稱， 同時關(guān)于點(diǎn) (b,0) 對稱，（ b a ）， 則函數(shù)y f (_) 是周期為 4 | b a | .4函數(shù) y f (_) 的圖像的對稱性函數(shù) y f (_) 的圖像關(guān)于直線 _ a 對稱 f (a _) f (a _) f (2a _) f (_) .函數(shù) y f (_) 的圖像關(guān)于點(diǎn) (a,0) 對稱 f (_) f (2a _) f (a _) f (a _) . 函數(shù) y f (_) 滿足 f (a _) f (b _) ，則 y f (_) 的圖像關(guān)于直線 _ b a2對稱. 若函數(shù) y f (_) 對定義域中任意 _ 均有 f (a _) f (b _) c 0

7、， 則函數(shù) y f (_) 的圖像關(guān)于點(diǎn) ( a b , c ) 成中心對稱圖形.2 25高中涉及對稱性問題的幾個基本函數(shù)的對稱軸、對稱中心的問題常數(shù)函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點(diǎn)均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸. 一次函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點(diǎn)均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸. 二次函數(shù) f (_) a_ 2 b_ c(a 0) ：是軸對稱，不是中心對稱，其對稱軸方程為 _ b .2a k 反比例函數(shù) y (k 0) ：既是軸對稱又是中心對稱，其中原點(diǎn)為它的對稱中心， _ y _ 與 y _ 均為它的對稱軸.推廣

8、：函數(shù) a (c_ d ) b ad b ady a_ b c c a c c 2，由函數(shù)圖象的平移知識易知：函數(shù) c_ d c_ d c _ d c da_ 2 的對稱中心為 (, ) .（思考：如何快速作出函數(shù) y c c2_ 5 的圖象？找對稱中心， 化分母變量的系數(shù)為正，并將分母為零點(diǎn)時的自變量的值代入分子，看正負(fù)，從而快速畫出圖形.）函數(shù) y a | _ b | c 的圖象關(guān)于直線 _ b 對稱. b c 函數(shù) y | a_ b | | a_ c | (a 0) 的對稱軸為 _ a a b c ； 2 2a y | a_ b | | a_ c | (a 0) 的對稱中心為 ( b c

9、 , 0) .2a函數(shù) y _ a (a 0) 是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn) (0, 0) 對稱._函數(shù) y Asin( _ ) k 、 y A cos( _ ) k 的圖象既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，它們的對稱軸在函數(shù)取得最值（最大或最小）時取到，它們的對稱中心是“平衡點(diǎn)”. 三次函數(shù) f (_) a_ 3 b_ 2 c_ d (a 0) 的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為 ( b3a, f ( b ) （二階導(dǎo)數(shù)為零時的自變量的取值為對稱中心的橫坐標(biāo)，在該點(diǎn)的函3a 數(shù)值是對稱中心的縱坐標(biāo)）. 絕對值函數(shù)：這里主要說的是 y f (| _ |) 和 y | f (_) | 兩類.前者顯然是偶

10、函數(shù)，它會 關(guān)于 y 軸對稱；后者是把 _ 軸下方的圖像對稱到 _ 軸的上方，是否仍然具備對稱性， 這也沒有一定的結(jié)論，例如 y ln _ 就沒有對稱性，而 y | sin _ | 卻仍然是軸對稱.6兩個函數(shù)圖像的對稱性互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線 y _ 對稱.如指數(shù)函數(shù) y a _ 與對數(shù)函數(shù)y log a _ 的圖象關(guān)于直線 y _ 對稱.函數(shù) y f (a _) 與函數(shù) y f (b _) 的圖像關(guān)于直線 _ b a2對稱. 函數(shù) y f (a w_) 與函數(shù) y f (b w_) 的圖像關(guān)于直線 _ b a2w對稱. 【解題方法】1定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不

11、充分條件. 2函數(shù)奇偶性的判斷方法：定義法判斷，步驟：1）求出函數(shù)的定義域；2）判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；3）根據(jù)定義域化簡函數(shù)的解析式， 并求出 f (_) ； 4）判斷 f (_) f (_) 或 f (_) f (_) 是否對定義域內(nèi)的每一個 _ 恒成立（恒成立要給予證明，否則要舉出反 例，若在函數(shù) f (_) 的定義域內(nèi)有 f (m) f (m) ，則可以斷定 f (_) 不是偶函數(shù)，同 樣，若在函數(shù) f (_) 的定義域內(nèi)有 f (m) f (m) ，則可以斷定 f (_) 不是奇函數(shù)）； 【注意】（1）判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明 f (_) 與 f (_) 的關(guān)系，只有對

12、各段上的 _ 都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性（2）對于抽象函數(shù)奇偶性的判斷，應(yīng)充分利用定義，巧妙賦值，通過合理、靈活地變形配湊來判定函數(shù)的圖像法判斷（函數(shù)的圖像是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；函數(shù)的圖像是否關(guān)于 y 軸對稱）；函數(shù) f (_), g(_) 的公共定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱1）若函數(shù) f (_), g(_) 都為奇函數(shù)或都為偶函數(shù)，則函數(shù) F (_) f (_)g(_) 為偶函數(shù)； 2）若函數(shù) f (_), g(_) 其中一個為奇函數(shù)，另一個為偶函數(shù)，則函數(shù) F (_) 為奇函數(shù)；f (_)g(_)3）若函數(shù) f (_), g(_) 都為奇函數(shù)，則函數(shù) F (_) f (_) g(_) 為奇函數(shù)

13、； 4）若函數(shù) f (_), g(_) 都為偶函數(shù)，則函數(shù) F (_) f (_) g(_) 為偶函數(shù). 【注意】復(fù)合函數(shù) y f g(_) 的奇偶性原理：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇. 3 已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù)：常采用待定系數(shù)法， 利用 f (_) f (_) 0 產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對等性可得知字母的值.4如果函數(shù) f (_) 是偶函數(shù)，那么 f (_) f (| _ |) ，通常在求解與偶函數(shù)、單調(diào)性有關(guān)的不等式時，利用此公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化所求解的不等式. 5周期性與奇偶性相結(jié)合的綜合問題中，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號作用6對抽象函數(shù)的周期性、對稱

14、性問題的總結(jié)當(dāng)括號里面 _ 前面的符號一正一負(fù)時告訴我們的就是對稱性，其中的對稱為多少我們可以用特殊值代入來猜測,這里并不主張記結(jié)論，因?yàn)楹苋菀着c后面的結(jié)論相混淆.而當(dāng) _ 前面的符號相同時告訴我們的是周期性.當(dāng) _ 前面的符號相同，同時告訴我們奇偶性時我們也可以推出對稱性，因?yàn)槠媾夹杂兄圃熵?fù)號的能力.7證明一個函數(shù) y f (_) 關(guān)于直線 _ a 對稱的步驟：設(shè)函數(shù) y f (_) 圖像上的任意點(diǎn) (_, y) ；找到點(diǎn) (_, y) 關(guān)于直線 _ a 的對稱點(diǎn) (2a _, y) ；設(shè)法證明點(diǎn) (2a _, y) 也在函數(shù) y f (_) 的圖像上；下結(jié)論. 8證明一個函數(shù) y f (_

15、) 關(guān)于點(diǎn) (a, b) 對稱的步驟：設(shè)函數(shù) y f (_) 圖像上的任意點(diǎn) (_, y) ； 找到點(diǎn) (_, y) 關(guān)于點(diǎn) (a, b) 的對稱點(diǎn) (2a _, 2b y) ； 設(shè)法證明點(diǎn) (2a _, 2b y) 也在函數(shù) y f (_) 的圖像上；下結(jié)論. 9對于證明兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線 _ a 對稱或關(guān)于點(diǎn) (a, b) 對稱的方法參照一個函數(shù)的證明方法進(jìn)行即可. 10已知定義在 R 上的周期函數(shù) f (_) ，周期為 T ，函數(shù) f (_) 的一個對稱中心為 (a, b) 或?qū) T 稱軸為 _ a ，則點(diǎn) (k a, b) 必是函數(shù) f (_) 的對稱中心，直線 _ k a 必是

16、函 2 2 數(shù) f (_) 的對稱軸（每相鄰兩個對稱中心之間相差半周期，每相鄰兩條對稱軸之間相差半周期，只要有有一個對稱中心，根據(jù)周期就可求出所有的對稱中心，只要知道一條對 稱軸，就可以根據(jù)周期找出所有的對稱軸，但是由對稱中心及周期，卻不能找出對稱軸， 同樣由對稱軸及周期，也不能找到對稱中心）. 11若函數(shù) y f (_) 有對稱中心，則函數(shù) y f (_) 的對稱中心求解類型有：若函數(shù) y 的橫坐標(biāo)； 若函數(shù) y 坐標(biāo)； f (_) 的定義域有對稱中心，則對稱中心的橫坐標(biāo)就是定義域的對稱中心f (_) 的值域有對稱中心，則對稱中心的縱坐標(biāo)就是值域的對稱中心的縱 若 函 數(shù) y f (_) 的

17、 定 義 域 與 值 域 都 是 R ， 則 設(shè) 對 稱 中 心 為 (a, b) ， 由f (a _) f (a _) 2b 確定參數(shù) a, b 的值即可.上些具體函數(shù)的對稱中心問題：三次函數(shù)的對稱中心，可通過二階導(dǎo)數(shù)為零求出，對于一些明顯可以來奇函數(shù)平移得來的函數(shù)，可以借用奇函數(shù)的性質(zhì)與平移方法得到函數(shù)的對稱中心. 注：函數(shù) y 1 1 1 的對稱中心為 n , 0 ._ _ 1 _ n 2 【易錯提醒】f (_) _ 2 (_ 1) ， 該函數(shù)是沒有奇偶性， 但如果沒有判斷函數(shù)的定義域， 而直接f (_) (_) 2 _ 2 f (_) ，容易得出錯誤的結(jié)論：f (_) _ 2 (_ 1) 是偶函數(shù). 2奇函數(shù) f (_) 在 _ 0 處可以沒有定義，如 f (_) 定義，則 f (0) 0 .1 ；但如果奇函數(shù) f (_) 在 _ 0 處有 _3 周期函數(shù) f (_) 的定義域至少有一邊是無界的.如：命題“ 函數(shù) f (_) sin _ 在1000 ,1000 是周期函數(shù)”是錯誤的；命題“函數(shù) f (_) sin _ 在 0, ) 是最小正周期為 2 的周期函數(shù)”是正確的，該函數(shù)沒有