1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書一數(shù)學(xué)選修2-2人教人版2018年10月1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)開封高中張傳濤一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課是人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書一數(shù)學(xué)選修2-2，第一章第一節(jié)1.1.2 的第一課時(shí)一導(dǎo)數(shù)的概念.導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大 （?。┲档葐栴}的最一般、最有效的工具.考慮到高中學(xué)生認(rèn)知水平，沒有采用一般的：數(shù)列- 數(shù)列的極限一一函數(shù)的極限一一導(dǎo)數(shù)這種建立概念的方式，而是從變化率入手，用形象直觀的“逼 近”定義導(dǎo)數(shù).這樣一來，一方面排除了因難以理解極限的形式化定義，而對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)理解的干 擾，將更多的精力放在對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)與內(nèi)

2、涵的理解上；另一方面，學(xué)生對(duì)逼近的思想有了豐富的直 觀基礎(chǔ)和一定理解，有利于大學(xué)學(xué)習(xí)嚴(yán)格的極限定義本節(jié)課將導(dǎo)數(shù)概念的建立劃分為兩個(gè)階段： 首先明確瞬時(shí)速度和切線斜率的含義，然后去掉物理背景和幾何背景，由兩個(gè)實(shí)例出發(fā)，抽象出 一般函數(shù)的瞬時(shí)變化率的概念，給出導(dǎo)數(shù)的定義.借助信息技術(shù)，通過讓學(xué)生親自計(jì)算、幾何畫 板展示等方法，讓學(xué)生體會(huì)逼近的思想和用已知探求未知的思考方法基于以上分析，確定本節(jié) 課教學(xué)重點(diǎn)為：建立導(dǎo)數(shù)概念及對(duì)導(dǎo)數(shù)思想和內(nèi)涵的理解.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置本節(jié)的中心任務(wù)是形成導(dǎo)數(shù)概念.概念形成通過兩個(gè)實(shí)例抽象得出：（1）借助高臺(tái)跳水問題，明確瞬時(shí)速度的含義；（2）借助拋物線的割線逼近切線的問

3、題，明確切線斜率的含義；（3）以速度模型為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合切線斜率抽象出導(dǎo)數(shù)概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)就是瞬 時(shí)變化率，理解導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵.（4）通過平均變化率的計(jì)算，讓學(xué)生切身體會(huì)逼近思想，滲透以已知探求未知的思考 方法，提升數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).三、學(xué)生學(xué)情分析重點(diǎn)中學(xué)的學(xué)生，思維活躍，善于動(dòng)腦.在高一年級(jí)的物理課程中學(xué)習(xí)過瞬時(shí)速度； 在之前函數(shù)零點(diǎn)的學(xué)習(xí)過程中，已有利用“二分法”逼近函數(shù)零點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)，“逼近”的思想 對(duì)于學(xué)生而言，并不陌生.因此，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的認(rèn)知基礎(chǔ).可能存在的問題：（1）使學(xué)生能通過觀察發(fā)現(xiàn)：運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻附近的一段時(shí)間內(nèi)的平均速度在 時(shí)間間隔越來越小時(shí)，逐漸趨于

4、一個(gè)確定的值，而且這個(gè)確定值就是物體在該時(shí)刻的瞬時(shí)速 度.這個(gè)過程學(xué)生難以想象，同時(shí)數(shù)值逼近的運(yùn)算繁瑣，但又不能采取簡單的方式告知學(xué)生， . . Ah而是要學(xué)生通過實(shí)際的計(jì)算，在計(jì)算過程中，充分感知當(dāng)I At I趨于0時(shí)，了趨于一個(gè)定值，AtAy當(dāng)I AI趨于0時(shí)，趨于一個(gè)定值.Ax（2）在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生需要用到思想方法和表達(dá)形式的遷移，即把從平均速度到瞬 時(shí)速度過渡中所運(yùn)用的“逼近”的思想方法遷移到從平均變化率到瞬時(shí)變化率的過渡，從對(duì) 一個(gè)具體函數(shù)在一個(gè)確定點(diǎn)的瞬時(shí)變化率的表達(dá)式遷移到任意一個(gè)函數(shù)在任意一點(diǎn)的瞬時(shí) 變化率的表達(dá)，這樣的探究方法可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的不適應(yīng)而產(chǎn)生困難因此，如何引導(dǎo)學(xué)

5、生根據(jù)生活中具體的實(shí)例，結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過“逼近”的 方法，由特殊到一般，用類比的方法歸納探究出導(dǎo)數(shù)的概念是本節(jié)課的難點(diǎn)四、教學(xué)策略分析基于以上分析，本節(jié)課決定采用復(fù)習(xí)上節(jié)課的探究問題-學(xué)生自己計(jì)算高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng) 員在0 t 65這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，發(fā)現(xiàn)平均速度不能準(zhǔn)確反映運(yùn)動(dòng)員在這一時(shí)間段里49任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而，由平均速度的局限性，引出學(xué)習(xí)瞬時(shí)速度的必要性引導(dǎo)學(xué)生 思考，如何計(jì)算瞬時(shí)速度？前面學(xué)習(xí)的平均速度與要計(jì)算的瞬時(shí)速度有何關(guān)系？用生活中處 理瞬時(shí)速度的方法-用極短時(shí)間內(nèi)的平均速度近似刻畫這段時(shí)間內(nèi)任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度， 給學(xué)生以啟發(fā)，可以用同樣的方法來探求運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻的瞬

6、時(shí)速度，注意用已知探求未知人Ah的思考方法.先讓學(xué)生計(jì)算1s附近的平均速度，注意當(dāng)At趨于0時(shí)，趨于一個(gè)定值；At要求學(xué)生親自計(jì)算兩串平均速度，讓學(xué)生在計(jì)算的過程中感受逼近的趨勢(shì)然后，再探求2s 的瞬時(shí)速度，再由特殊到一般，得出任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度；然后換個(gè)角度，割線逼近切線， 從而割線斜率逼近切線斜率問題；最后舍棄這兩個(gè)問題的實(shí)際背景，抽象出一般函數(shù)的瞬時(shí) 變化率的概念，并用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確表達(dá).用直觀形象的逼近思想來刻畫導(dǎo)數(shù)概念.通過“學(xué)生親自計(jì)算，讓學(xué)生充分感知平均速度到瞬時(shí)速度的數(shù)值逼近”采用學(xué)生熟 悉的物理背景平均速度到瞬時(shí)速度、割線斜率到切線斜率；以及先由特殊到特殊的類比，再 由特殊到一

7、般的歸納，思維難度逐層遞進(jìn)的策略來突破難點(diǎn)?；玖鞒蹋?提出問題，激發(fā)求知欲;明確解決問題的想法及途徑;組織學(xué)生小組合作、自主探索，建立導(dǎo)數(shù)概念;通過用導(dǎo)數(shù)概念求解例題和練習(xí)，進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)概念五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)回顧回顧探究：在一次跳水運(yùn)動(dòng)中，某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度。（單位：m）與起跳后的時(shí)間1（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系：h（t） = 4.9t2 + 6.5t +10.計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0 t 0 時(shí)，在1,1+At 內(nèi)，V = h(1+At)-=4.9 At 3.3 (1+At) 1當(dāng)At 0 時(shí)，在I1+At,1內(nèi)，V =h(1+At)= 4.9At 3.31 (1+At)AtV

8、AtV0.013.3490.013.2510.0013.30490.0013.29510.00013.300490.00013.299510.000013.3000490.000013.2999510.0000013.30000490.0000013.2999951為便于觀察變化趨勢(shì)，要計(jì)算一組平均速度，引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)學(xué)符號(hào)將想法具體化，明確計(jì)算公式.要求學(xué)生分組合作，通過學(xué)生親自計(jì)算引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)平均速度的變化趨勢(shì) 【設(shè)計(jì)意圖】熟悉符號(hào).讓學(xué)生在親自計(jì)算（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作）的過程中感受逼近的趨勢(shì).當(dāng)At趨近于0時(shí)，平均速度v有什么樣的變化趨勢(shì)？結(jié)合學(xué)生的計(jì)算結(jié)果，組織學(xué)生觀察、討論平均速度的變化趨

9、勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生說出“當(dāng)At 趨近于0時(shí)，平均速度趨近于一個(gè)確定的值-3.3”.另一方面，根據(jù)物理知識(shí)，當(dāng)At趨近于0時(shí)，平均速度趨近于瞬時(shí)速度從而得出，當(dāng) t=1，At趨近于0時(shí)，平均速度7趨于的定值，就是t = 1時(shí)的瞬時(shí)速度.借助幾何畫板，讓學(xué)生更直觀的感受逼近的趨勢(shì)觀察動(dòng)畫，可以看到更多的At和V的 值，并且隨著At逐漸趨近于0，平均速度更加趨近t = 1時(shí)刻的瞬時(shí)速度.盡管如此，通過有 限具體的數(shù)據(jù)只能近似刻畫，不能滿足我們數(shù)學(xué)上想要表達(dá)的準(zhǔn)確刻畫瞬時(shí)速度的要求要 想準(zhǔn)確刻畫瞬時(shí)速度，需要有限上升到無限，理想狀態(tài)下的At無限趨近于0時(shí)，平均速度 趨于的定值就是t = 1的瞬時(shí)速度.【設(shè)計(jì)

10、意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、歸納、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，體會(huì)瞬時(shí)速度的含義更多數(shù)據(jù)，感受規(guī)律我們用這個(gè)方法得到了高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在t = 1s附近，平均速度逼近一個(gè)確定的常數(shù). 那其他時(shí)刻呢？比如t = 2s ？請(qǐng)大家按照剛才我們探究t = 1s時(shí)的過程，用同樣的方法，計(jì) 算t = 2s時(shí)刻附近的平均速度.【設(shè)計(jì)意圖】更多的數(shù)值有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的規(guī)律總結(jié)規(guī)律運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t的瞬時(shí)速度怎樣表示？已知其他路程和時(shí)間函數(shù)的解析式，求瞬時(shí) 0速度都是這樣嗎？帶領(lǐng)學(xué)生回顧探求t=1時(shí)瞬時(shí)速度的全過程，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，獲得t=t0時(shí)瞬時(shí)速度的形式化表示.教師介紹符號(hào)，并解釋符號(hào)含義.【設(shè)計(jì)意圖】從特

11、殊到一般，即從特殊點(diǎn)t=1,t=2上升到任意點(diǎn)t=t瞬時(shí)速度的表示. 0在從特殊到一般的過程中，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)研究同一類問題的思想方法是相同的，獲得更 一般的形式化表示.學(xué)習(xí)遷移幾何學(xué)中也有類似的情況需要無限逼近的思想，例如拋物線的割線和切線的位置關(guān)系 借助幾何畫板，讓學(xué)生觀察，割線BA，逼近拋物線在點(diǎn)A處切線的過程，再一次直觀 體會(huì)無限逼近的思想.問題2.曲線f (x) = -4.9x2 + 6.5x +10在x = 1處切線斜率是多少？伴隨割線逼近切線的過程，割線斜率逼近切線斜率.仿照求平均速度的方法可以求得拋物線f (x) = -4.9 x 2 + 6.5 x +10在任一點(diǎn)處的切線斜

12、率.【設(shè)計(jì)意圖】借助幾何畫板，讓學(xué)生直觀感知逼近思想，將瞬時(shí)速度的形式化遷移到切 線斜率上，讓學(xué)生體會(huì)其中的共同點(diǎn).抽象概念，數(shù)學(xué)表達(dá)如果將這兩個(gè)變化率問題中的函數(shù)用都y=f (x)表示，那么函數(shù)y=f (x)在x=x0的瞬時(shí) 變化率怎樣表示？比較兩個(gè)變化率問題，體會(huì)它們的共同特征.引導(dǎo)學(xué)生舍棄這兩個(gè)問題的實(shí)際意義，抽 象為數(shù)學(xué)問題.共同寫出瞬時(shí)變化率的表示，并定義為導(dǎo)數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】舍棄變化率問題的實(shí)際意義，抽象為數(shù)學(xué)問題，定義導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)：一般地，函數(shù)y=f (x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是yf (x + Ax) - f (x ) TOC o 1-5 h z lim 二=lim o ,xT0

13、T0我們稱它為函數(shù) = f (X)在X = X0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(X)或 1 x x0，即f(x ) = lim 竺=lim f (x0+Ax) - f (x0).0 &項(xiàng) A Ax0A例題講解例1.求f (x )= x 2在x =2處的導(dǎo)數(shù).解因?yàn)槠骄兓蔲 (2+Ax)-fx(2 + Ax)2 - 22 (Ax)2 + 4Ax 、/= = = Ax + 4xAx所以/，(2) = lim f (2 + Ax) - f =lim(Ax + 4) = 4.Axc0AxAx 項(xiàng)練習(xí)：求f (x) = x2在x = 3處的導(dǎo)數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】熟悉導(dǎo)數(shù)定義，掌握求導(dǎo)步驟，了解導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵.課堂小結(jié)教師引

14、導(dǎo)學(xué)生從以下兩個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)：知識(shí)方面：瞬時(shí)速度，切線斜率，瞬時(shí)變化率，即導(dǎo)數(shù)的定義思想方法：思考方法一以已知探求未知，特殊到一般，具體到抽象，逼近思想.布置作業(yè)認(rèn)真閱讀課本例1，計(jì)算第3h和第5h原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義.請(qǐng)大家查閱相關(guān)資料，了解導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生的背景與過程.結(jié)合上節(jié)課平均變化率的幾何意義，請(qǐng)大家思考，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？這是我 們下一節(jié)要探究的問題.六、課堂教學(xué)目標(biāo)檢測(cè)通過練習(xí)題和本節(jié)課小結(jié)，檢測(cè)目標(biāo)情況發(fā)現(xiàn)，圓滿完成教學(xué)目標(biāo)1,2,3,4.七、板書設(shè)計(jì)導(dǎo)數(shù)的概念例.解：1.瞬時(shí)速度：t附近趨于0課件0時(shí)，平均速度趨于的定值切線斜率：x附近Ax趨于00時(shí)，割線斜

15、率趨于的定值瞬時(shí)變化率(導(dǎo)數(shù))練習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念課例點(diǎn)評(píng)開封市基礎(chǔ)教育教研室高靜導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一。17世紀(jì)中葉，牛頓從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)， 萊布尼茲從幾何學(xué)的角度考慮，各自用不同的方法，創(chuàng)立了微積分。雖然他們建 立微積分的出發(fā)點(diǎn)不同，但殊途同歸?；趯?duì)微積分產(chǎn)生歷史的認(rèn)識(shí)，本節(jié)課進(jìn) 行了大膽的嘗試。導(dǎo)數(shù)的起始課，主要包括三方面的內(nèi)容：變化率、導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何 意義。實(shí)際上，它們是理解導(dǎo)數(shù)思想及其內(nèi)涵的不同角度。本節(jié)課張老師通過層 層設(shè)問，步步引導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)數(shù)概念引入的必要性和合理性進(jìn)行了自然的、清楚的深 入剖析。首先，借助學(xué)生熟悉的高臺(tái)跳水的實(shí)例，從平均速度開始，利用平均速度探 求瞬時(shí)

16、速度。學(xué)生在高一年級(jí)的物理課程中學(xué)習(xí)過瞬時(shí)速度，已經(jīng)具備了一定的 認(rèn)知基礎(chǔ)，充分利用這一認(rèn)知基礎(chǔ)，用形象直觀的“逼近”定義瞬時(shí)速度。然后， 從數(shù)轉(zhuǎn)向形，借助函數(shù)圖象、幾何畫板直觀的動(dòng)態(tài)演示，探求割線無限“逼近” 切線的過程。上述過程研究了兩類變化率問題：一類是物理學(xué)中的問題，涉及平 均速度和瞬時(shí)速度；另一類是幾何學(xué)中的問題，涉及割線斜率和切線斜率。這 兩類問題雖然來自不同的學(xué)科領(lǐng)域，但在解決問題時(shí)，都采用了由“平均變化率” 逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法。接著引導(dǎo)學(xué)生舍棄具體問題的實(shí)際意義，用上 述思想方法研究更一般的問題，抽象得到導(dǎo)數(shù)定義。本堂課抓住“逼近”的思想，由平均速度到瞬時(shí)速度，割線斜率到切線斜率， 再到導(dǎo)數(shù)，由淺入深、由易到難、由特殊到一般，展現(xiàn)了一個(gè)完整的數(shù)學(xué)探究過 程，幫助學(xué)生完成了思維的飛躍，順利突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。一方面排除了因 難以理解極限的形式化定義，而對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)理解的干擾，將更多的精力放在對(duì)導(dǎo) 數(shù)本質(zhì)與內(nèi)涵的理解上；另一方面，使學(xué)生對(duì)逼近的思