1、 第二章 初等模型2.2 擬合、比例方法及類比法 汽車剎車距離美國的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：背景與問題 正常駕駛條件下, 車速每增10英里/小時(shí)， 后面與前車的距離應(yīng)增一個(gè)車身的長度。 實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡便辦法是 “2秒準(zhǔn)則” ： 后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù) 2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何判斷 “2秒準(zhǔn)則” 與 “車身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。問題分析常識：剎車距離與車速有關(guān)10英里/小時(shí)(16公里/小時(shí))車速下2秒鐘行駛29英尺( 9米)車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應(yīng)時(shí)間司機(jī)狀況制動(dòng)系

2、統(tǒng)靈活性制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候 最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)。車速常數(shù)反應(yīng)距離制動(dòng)距離常數(shù)假 設(shè) 與 建 模 1. 剎車距離 d 等于反應(yīng)距離 d1 與制動(dòng)距離 d2 之和2. 反應(yīng)距離 d1與車速 v成正比3. 剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車動(dòng)能的改變;F d2= m v2/2F mt1為反應(yīng)時(shí)間且F與車的質(zhì)量m成正比 反應(yīng)時(shí)間 t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒?yún)?shù)估計(jì) 利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合 k模 型最小二乘法 k=0.06計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間車速(英里/小時(shí)) (英尺/秒)實(shí)際剎車距離（英尺）計(jì)算剎車距離（英尺）剎車時(shí)間（秒）2029.34

3、2（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)則”模 型車速(英里/小時(shí))剎車時(shí)間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時(shí)）010104040606080t（秒）1234動(dòng)物的身長和體重問題的提出： 四足動(dòng)物的軀干的長度(不含頭尾)與它的體重有什么關(guān)系？ 這個(gè)問題有一定的

4、實(shí)際意義。比如，在生豬收購站或屠宰場工作的人們，往往希望能從生豬的身長估計(jì)出它的體重。 動(dòng)物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果陷入對生物學(xué)復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的有使用價(jià)值的模型這里我們僅在十分粗賂的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用類比方法，借助力學(xué)的某些結(jié)果，建立動(dòng)物身長和體重間的比例關(guān)系。1、問題的分析與假設(shè) 把四足動(dòng)物的軀干看作圓柱體，長度l、直徑d、斷面面積s如下圖所示。 將這種圓柱體的軀干類比作根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學(xué)的一些研究結(jié)果。2、模型的建立：原理： 動(dòng)物在自身體重f作用下軀干的最大下垂度b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對彈性粱的研究，有：進(jìn)一步分析b/l的意義3、生物學(xué)

5、角度分析b/lb/l生理學(xué)意義： b/l是動(dòng)物軀干的相對下垂度。b/l太大，四肢將無法支撐；b/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費(fèi)。生物學(xué)進(jìn)化角度： 經(jīng)過長期進(jìn)化，對每一種動(dòng)物而言b/l已經(jīng)達(dá)到其最合適的數(shù)值，即b/l應(yīng)視為與這種動(dòng)物的尺寸無關(guān)的常數(shù)。4、結(jié)論（1）關(guān)系式： （前面分析）（2）另一些比例關(guān)系：（3）最終結(jié)論： 即體重與軀干長度的4次方戊正比。這樣，對于某一種四足動(dòng)物比如生豬，在根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定出上述比例系數(shù)以后，就能從軀干長度估計(jì)出動(dòng)物的體重了。作業(yè)問題：人在雨中從一處向另一處行走，當(dāng)雨的速度已知時(shí)，問人行走的速度多大時(shí)才能使淋雨量最??？分析（建模）：

6、人身體的表面非常復(fù)雜，為了簡化問題，將人看作是一長方體，其前、側(cè)、頂?shù)拿娣e之比為1:b:c,選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，使人的行走速度為(u,0,0),設(shè)雨的速度為(vx,vy.vz),人的行走距離為L，則行走時(shí)間為L/u。在上述分析下，由高數(shù)曲面積分中通量的概念，顯然單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量正比于補(bǔ)充：設(shè)某向量場由A (x,y,z)=P (x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k給出，其中P，Q，R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是場內(nèi)的一片有向曲面，n是在點(diǎn)(x,y,z)處的單位法向量，則 叫做向量場A通過曲面向著指定側(cè)的 通量。從而總淋雨量正比于顯然a0,則于是原問題抽象成如下數(shù)學(xué)問題：在L，vx，a，已知的情況下，求R(u)的最小值。在L，vx，a，已知的情況下，求R(u)的最小值，其中求解模型:由于這個(gè)模型的特殊性，用圖解法求解方便些，分以下幾種情況討論：當(dāng)v xa時(shí)，可以大體做出R