1、【中考壓軸題專題突破29】圓中的綜合創(chuàng)新實踐題(1)問題探究如圖1.在&中，BC=8, D為BC上一點，AD=6.則&面積的最大值是.如圖2, 在ABC中，ZBAC=60, AG為BC邊上的高，O為ABC的外接圓， 若AG=3,試判斷BC是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理 由.問題解決：_如圖3，王老先生有一塊矩形地ABCD，AB=6 .2+12, BC=6*+6,現(xiàn)在他想利用這塊 地建一個四邊形魚塘AMFN,且滿足點E在CD上，AD=DE,點F在BC上，且CF=6, 點M在AE上，點N在AB 上, ZMFN=90，這個四邊形AMFN的面積是否存在最大 值？若存在，求出面

2、積的最大值；若不存在，請說明理由.E1圖 NS3發(fā)現(xiàn)問題：如圖1, AB為OO的直徑，請在OO上求作一點P,使ZABP=45.(不必寫作 法)問題探究：_如圖2,等腰直角三角形ABC中，ZA = 90, AB=AC=3,由，D是AB上一點， AD = 2典，在BC邊上是否存在點P,使ZAPD=45 ?若存在，求出BP的長度，若不 存在，請說明理由.問題解決：如圖3,為矩形足球場的示意圖，其中寬AB=66米、球門EF=8米，且EB=FA.點 P、Q分別為BC、AD上的點，BP=7米，ZBPQ=135, 一位左前鋒球員從點P處帶球， 沿PQ方向跑動，球員在PQ上的何處才能使射門角度(ZEMF)最大

3、？求出此時PM的 長度.【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,半圓O的直徑AB=10，點P是半圓O上的一個動點，則PAB的面積最大值是.【問題探究】如圖2所示，AB、AC、配是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中AB=6km, AC= 3km, ZBAC=60，C所對的圓心角為60.新區(qū)管委會想在既路邊建物資總站點P， 在AB、AC路邊分別建物資分站點E、尸，即分別在BC、線段AB和AC上選取點P、E、 F.由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P-E-F-P的路徑進行運輸，因 此，要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE、EF和FP.顯然，為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本，就 要使線段PE、EF、FP之和最短（各物資站點與所在道路之間

4、的距離、路寬均忽略不計）.可 求得PEF周長的最小值為 km；【拓展應(yīng)用】如圖3是某街心花園的一角，在扇形OAB 中, ZAOB=90，OA = 12米， 在圍墻OA和OB上分別有兩個入口 C和D，且AC=4米，D是OB的中點，出口 E在 上.現(xiàn)準(zhǔn)備沿CE、DE從入口到出口鋪設(shè)兩條景觀小路，在四邊形CODE內(nèi)種花，在剩 余區(qū)域種草.出口 E設(shè)在距直線OB多遠處可以使四邊形CODE的面積最大？最大面積是多少？（小 路寬度不計）已知鋪設(shè)小路CE所用的普通石材每米的造價是200元，鋪設(shè)小路DE所用的景觀石 材每米的造價是400元.請問：在迎上是否存在點E，使鋪設(shè)小路CE和DE的總造價最低？若存在，求

5、出最低 總造價和出口 E距直線OB的距離；若不存在，請說明理由.【問題背景】（1）如圖1, 0與匕尸的兩邊分別切與A, B兩點.求證：PA=PB.【深入探究】（2）在（1）的條件下，若Z4PB=60，連接P0,以P0為一條邊向上作 等邊三角形P0Q，連接A0, AQ.求證：A0=AQ.（3）若在（1）的條件下，以0P為斜邊向上作等腰直角三角形P0Q，取0P中點M, 連接 MB，MQ，BQ，求證：匕MQB=ZMBQ.【拓展延伸】在（3）的條件下，連接A0, AQ，探索A0, AQ，AP之間的數(shù)量關(guān)系.問題提出：如圖1,在等邊&中，AB=9, C半徑為3, P為圓上一動點，連結(jié)AP, BPZAPB

6、P的最小值嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構(gòu)造一對相似三角形，喜尸轉(zhuǎn)化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)rn rp i如圖2，連結(jié)CP，在CB上取點。，使CD=1，則有冷碧號XVZPCD=Zs.-1. _BP 3:.PD=%BP:,AP-BP=AP+PD.當(dāng)A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+*BP的最小值為.自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC=6, AB=8, P為矩形內(nèi)部一點，且PB=4，貝AP+PC的最小值為.(請在圖3中添加相應(yīng)的輔助線)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，匕COD=

7、120，OC=4. OA = 2, OB=3，點P是CD上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程.(1)初步思考：如圖1,在APC8中，已知PB=2, BC=4, N為BC上一點且BN=1,試證明：PN=PC問題提出：如圖2,已知正方形ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，求 PDPC的最小值.推廣運用:如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,ZB=60。，圓B的半徑為2,點P是圓B上的一 個動點，求PD-PC的最大值.【中考壓軸題專題突破29】圓中的綜合創(chuàng)新實踐題（1）參考答案與試題解析一.解答題（共6小題）解：（1）當(dāng)ADBC時，&面積的最大，則ABC面積

8、的最大值是BCAD=*X &乂 6 = 24,故答案為：24；（2）如圖 2 中，連接 OA, OB, OC,作 OELBC 于 E.設(shè) OA = OC=2x, A2VZCOB=2ZCAB = 120, OC=OB, OE，CB,ACE=EB,ZCOE=ZBOE=60,.,.OE=OB=x, BE=W 3x,OC+OEN AG,3xN3,.*.xN1,.x的最小值為1,BC=2 一 3x,_.BC的最小值為2； &(3)如圖3中，連接AF, EF 延長BC交AE的延長線于G,VZD = 90, AD=DE=6+6,?.ZDAE=ZAED=45,CD= AB=6 .2+12,.CE=CF=6,?

9、.ZCEF=ZCFE=45,:.ZAEF=90,.EF=6 一 2=BF,將AEFM順時針旋轉(zhuǎn)得到AFBH,作f 的外接圓O交BC于N, 連接ON,VZAEF=ZABF=90, AF=AF, EF=BF,:.RtAEFRtABF (HL),.SAEF=SABF,VZEFG=45,VZFEG=90 二 ZEFG=45,:.EF=EG=6： 2,:.FG=J 2EF=12,由（2）可知，當(dāng)FHN的外接圓的圓心O在線段BF上時，F(xiàn)N的面積最小，此時四邊形ANFE的面積最大，_設(shè) OF=ON=r，則 OB=BN=r，.號,=6形，.r=6，/|_（2 - ,.：）， _:.NH=： 2r=12 （2-

10、二2），.四邊形ANFM的面積的最大值=2X號X （12+6，典）X6疣號X12（2-疣）X6.2= 144.解：（1）如圖所示：作AB的垂直平分線交O于點P、P，則點P或P即為所求；01（2）存在.如圖2和圖2所示:圖2在ABC中_VZBAC=90, AB= AC=3 / 2, AD=2 ： 2 ZB=ZC=45, BD= 一 2, BC= :2AB=6 ZBDP+ZBPD = 135VZ APD=45 Z APC+ZBPD=135 ZBDP=Z APC ABPDACAP設(shè) BP=x，貝PC=6-x,(3)先證明以下事實：若點A、E、F、G均在O。上，點。為OO外一點，NGZG證明：如圖所示

11、，連接AFyZG=ZEAF,ZEAFZG.ZGZG，即一條弧所對的圓周角大于圓外角.如圖3,過點E、F作。0,使。0與PQ相切于點M,則此時/EMF最大VAB=66 米、EF=8 米，EB=FA.EB=29延長AB、QP交于點N_.: BN=BP=7 PN= 2BP=7 一 2, NE=36, NF=44VZN=ZN,ZNEM=ZNMF=90:.NEMsNMF.理=四NF 麗:.NM2=NENFANM= 12/ H_:.PM=NM - PN= 12，.： 11-72 _答：當(dāng)球員在PQ上距離點P（12.：1I-7典）米時，才能使射門角度最大，即PM的長 度為（12，門！ -7L.遼）米.解：【

12、問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,點P運動至半圓O的中點時，底邊AB上的高最大，即PO = r=5,此時PAB的面積最大值，SAB=X 10X5=25，故答案為：25；【問題探究】如圖2,假設(shè)P點即為所求，分別作點P關(guān)于AB、AC的對稱點P、P， 連接PP，分別交AB、AC于點E、F，連接PE，PF，由對稱性可知，PE+EF+PF=P E+EF+FP=PP，且P、E、F、P在一條直線上，PP即為最短距離，其長度取決于PA的長度，作出BC的圓心0，連接AO，與巳交于P，P點即為使PA最短的點，VAB=6，AC=3km，ZBAC=60，_ABC 是直角三角形，匕ABC=30，BC=3_ 3，BC所對的圓心角為60

13、，_ OBC 是等邊三角形，匕CBO=60，B0=BC=3： 3，Z ABO=90 ，AO=3L 7，PA = 3一7 - 33,VZPAE=ZEAP，ZP4F=ZF4P，.ZPAP”=2ZABC=120，PA=AP”，.ZAPE=ZAP”F=30，_.pp=2PA-cosZAPE= A = 3 一 21-9，PEF周長的最小值為3 1-9，故答案為：3* 1-9；【拓展應(yīng)用】如圖3- 1，作OGLCD，垂足為G，延長OG交迎于點E，則此時CDE的面積最大，OA = OB=12, AC=4，點D為OB的中點， OC=8，OD=6，在 RtCOD 中，CD=10，OG=4.8，.GE=12-4.

14、8 = 7.2，.四邊形CODE面積的最大值為SaCDO+SaCDEi =X6X8井X 10X7.2=60；作E HLOB，垂足為H,VZEOH+ZOEH=90,ZEOH+ZODC=90,:.ZOEH=ZODC,又./COD=/EHO = 90，:.ACODAOHE,二蟲=里旦CD 0Ey1012.EH=7.2；出口 E設(shè)在距直線OB的7.2米處可以使四邊形CODE的面積最大為60平方米; 鋪設(shè)小路CE和DE的總造價為200CE+400DE=200 （CE+2DE）,如圖3-2,連接OE,延長OB到點0 使BQ = OB=12，連接EQ,在AEOD與AQOE中，匕EOD=ZQOE,且四您,OE

15、 OQ 2.EODsQOE,故 QE=2DE,CE+2DE=CE+QE，問題轉(zhuǎn)化為求CE+QE的最小值，連接CQ,交迎于點E,此時CE+QE取得最小值為CQ,在 RtACOQ中，CO=8, OQ = 24,_CQ = 8. 10,故總造價的最小值為1600L 10元；作E HLOB，垂足為H,連接OE,設(shè) E H=x,則 QH=3x,.在 RtAE OH 中，OH2+HE2 = OE2,.（24 - 3x） 2+x2=122,_曰 36-6V636+6Ve 全土、解得，x1=, x2= （舍去），.總造價的最小值為1600，10元，出口 E距直線OB的距離為及一，岳米.5A圖1圖2圖3-1圖3

16、-2解：【問題背景】連接 OA, OB, OP,01yPA. PB是切線，:.PALOA, PBOB, AZP4O=ZPBO=90, 在 RtAPAO 和 RtAPBO 中， fOP=OP.0A=0B，Z.RtAPAORtAPBO (HL),:.PA=PB；【深入探究】VRtAP4ORtAPBO,AZ APO=ZBPO,VZ APB=60 ,AZ APO =ZBPO=30 ,VAPOQ是等邊三角形， AZOPQ=60, PO=PQ, AZAPQ=ZAPO=30, 且 PO=PQ, :.PA垂直平分OQ,AAO= AQ；如圖3,連接OB,.PB是。是切線，.PB1OB，且點M是OP的中點，:.B

17、M-PO,: OPQ是等腰直角三角形，且點M是OP的中點，QM=:.QM=BM，AZMQB=ZMBQ；拓展延伸】AO 2AQ=AP，理由如下：過點Q作QHAQ交AP于點H，04?.ZAQH=ZPQO=90，?.ZAQO=ZPQH，VZQPO+ZQOP=90，ZAOP+ZAPO=90，.匕 APQ+Z APO =Z APO+Z AOQ，/.ZAPQ =ZAOP，且ZAQO=ZPQH，QP=OQ，.AAOQAHPQ (ASA):.QH=AQ，AO=PH，.AH= 一 2AQ，VAP=PH+AH，?.AO 2AQ= AP.解：(1)如圖1，國1連結(jié)AD,過點A作AFCB于點F,AP-BP=AP+PD

18、，要使 AP-BP 最小，:.AP+AD最小，當(dāng)點A, P, D在同一條直線時，AP+AD最小，即：AP+號BP最小值為AD，VAC=9，AFBC，ZACB=60. CF=旦 af=93CF ， .AF，22 DF=CF - CD = 3 - 號=2，.AD= ：，= :.APBP的最小值為& 故答案為：兩；(2)如圖2,m2在AB上截取BF=2，連接PF，PC，VAB=8，PB=4，BF=2,BP里，AB 2 BP且匕 ABP =Z ABP,.ABPsPBF,.FP BP 1 .l.=,.PF= PAP AB 2號AP+PC=PF+PC,.當(dāng)點/，點P,點C三點共線時，AP+PC的值最小，.CF=布尹+6產(chǎn)=f *=2-T。，：.，AP+PC的值