1、課題7.3二向應力狀態(tài)分析解析法需2課時教學目的要求掌握運用解析法求二向應力狀態(tài)，斜截面上的應力、主應力、主平面、最大切應力、切平面。教學重點解析法分析二向應力狀態(tài)，主應力，主平面，最大切應力。教學難點解析法分析二向應力狀態(tài)編寫日期年月日教學內(nèi)容與教學過程提示與補充1、解析法分析二向應力狀態(tài)2、斜截面上的應力3、主應力，主平面4、最大切應力例71，例72，例73。7.3二向應力狀態(tài)分析解析法一、斜截面上的應力二向應力狀態(tài)的一般情況是一對橫截面和一對縱向截面上既有正應力又有切應力，如圖10-6a所示，從桿件中取出的單元體，可以用如圖10-6b所示的簡圖來表示。假定在一對豎向平面上的正應力0 x、

2、切應力rx和在一對水平平面上的正應力。、切應力r的大小和方向都已yy經(jīng)求出，現(xiàn)在要求在這個單元體的任一斜截面ef上的應力的大小和方向。由于習慣上常用Q表示斜截面ef的外法線n與x軸間的夾角，所以有把這個斜截面簡稱為截面”并且用b和t表示作用在這個截面上的aa應力。a)b)圖10-6對應力O、T和角度a的正負號，作這樣的規(guī)定：正應力。以拉應力為正，壓應力為負；切應力r以對單元體內(nèi)的任一點作順時針轉向時為正，反時針轉向時為負（這種規(guī)定與第八章中對剪力所作的規(guī)定是一致的）；角度a以從x軸出發(fā)量到截面的外法線n是反時針轉時為正，時順時針轉時為負。按照上述正負號的規(guī)定可以判斷，在圖10-6中的。、xO是

3、正值，T是正值，T是負值，a是正值。x當桿件處于靜力平衡狀態(tài)時，從其中截取出來的任一單元體也必然處于靜力平衡狀態(tài)，因此，也可以采用截面法來計算單元體任一斜截面ef上的應力。取bef為脫離體如圖10-6c所示。對于斜截面ef上的未知應力0和aT，可以先假定它們都是正值。脫離體bef的立體圖和其上應力的作用a情況如圖10-6d所示。設斜截面ef的面積為dA，則截面eb和bf的面積分別是dAcosa和dAsina。脫離體bef的受力圖如圖10-6e所示。取n軸和t軸如圖10-6e所示，則可以列出脫離體的靜力平衡方程如下：由工n=0,得到odA+（TdAcosa）sina-（odAcosa）cosaT

4、OC o 1-5 h zaxx+（TdAsina）cosa-（odAsina）sina=0yy由工t=0,得到TdA+（TdAcosa）cosa-（odAcosa）sinaaxx+（TdAsina）sina-（odAsina）cosa=0yy由式（a）和（b）就可以分別推導出o和T的計算公式。aa在推倒過程中可以首先利用切應力互等定理T=T，將式（a）改xy寫為1一cos2ao+2tsinacosaocos2aosin2a=0axx代入以下的三角函數(shù)關系：1+cos2acos2a=，sin2a=2sin2a=2sinacosa就可以得到1+cos2aTOC o 1-5 h zo+tsin2a-

5、o()axx(a)(b)=0(6-1)(6-2)-oIy1一cos2a(2_Tsin2axcos2a-經(jīng)過整理后，便為Q+QQQxy,x22同理，可以由式（b）推導得QQcos2axTysin2a+T2式（6-1）和（6-2）就是對處于二向應力狀態(tài)下的單元體，根據(jù)o、xo、T求o和T的解析法公式。yxaa例71一平面應力狀態(tài)如例圖10-7所示，試求其外法線與x軸成30角斜截面上的應力。解根據(jù)正應力、切應力和a角的正負規(guī)定，有ox=10MPa，T20MPa,Oy=-20MPa，a10-20=(2+=30。，將各數(shù)據(jù)代入式（10-1）和（10-2）得10+20COS60+20血60)MPa1V3=

6、(-5+15x2+20=)Mpa=1982Mpay203010202020b)s4=2.2w100Tyn800Fq圖b)圖3kN-m1020圖10-7結果為正，表示實際應力的方向與圖中假設方向一致，如圖6）所/示O(單位:MPa)的斜截面上的應力的大小和方向。=1.1300IOkN4kN-m31=(15XT-20X2)MPa=阿MPa（應力單位：MPa）d）丘4=2.2mrx=.例72試計算圖10-8a所示的矩形截面簡支梁，在點k處a=-30妙心=0.40、=2.6010+20t30=(-sin60-20cos60)MPa20*.KcisF=20kN010kN解(1)計算截面mm上的內(nèi)力。支座

7、反力YA=YB=10kN，畫出內(nèi)力圖如(圖10-8b)所示。截面m-mAB上的內(nèi)力為：M=(10X103X300X10-3)Nm=3000Nm=3kNmFq=10kN(2)計算截面m-m上點k處的正應力。、(J和切應力r、T。xyXy由式(10-2)計算J；Xbh3,80 x1603.I=()mm=27300000mm=27.3X10-6m41212My,3x103x20 x10-3、27.3x10-6叭=()N/m2=2.2X106N/m2=2.2MPa根據(jù)梁受純彎曲時縱向各層之間互不擠壓的假定，可以近似地認為計算TJ=0y和T;yQST=xIb10 x103x(60 x80 x50 x10

8、-9)27.3x10_6x80 x10-3N/m=1，1X10)N/m2T=-1.1MPaX=1.1MPayTOC o 1-5 h z在點k處取出單元體，并且將J、J、T、T的代數(shù)值表示在xyxy單元體上，如圖10-8c所示。計算點k處a=-30。的斜截面上的應力。將上面已求出的J、j、t、t的代數(shù)值和a=-300代入式xyxy(6-1)和(6-2)就可以求得：2.22.2Ja=+亍cos2(-300)-1.1sin2(-300)MPa屈=(1.1+1.1X+1.1X)MPa=2.60MPa22.2Ta=sin2(-300)+1.1cos2(-300)MPaV31=1.1X(-)+1.1X-M

9、Pa=-0.40MPa將求得的。和r表示在單元體上，如圖10-8c所示。aa將圖10&所表示的單元體上的應力情況反映到梁AB上，則得如圖10-8d所示。仔細觀察圖10&和d的對應關系，可以加深我們對應力狀態(tài)概念的理解。二、主應力的計算和主平面確定根據(jù)上面導出的斜截面上的正應力和剪應力的計算公式，還可確定這些應力的最大值和最小值。將公式（61）對a取導數(shù)，得：dGGG孟(_sin2a+Txcos2a)令此導數(shù)等于零，可求得叭達到極值時的5，以a0表示，即有GGxy2sin2a+tcos2a=00化簡，得tan2a02txGGxy(63)2t2a二arctan0GGxy(64)由此可求出a0的相差

10、90的兩個根，也就是說有相互垂直的兩個面，其中一個面上作用的正應力是極大值，用G表示，稱為最大正應力，另max一個面上的是極小值，用Gmin表示，稱為最小正應力?？梢郧蟮茫鼈兊闹捣謩e為G+GGmax=xminx)2+T22x(65)不難得到G+G二G+Gmaxminxy將公式（62）對a取導數(shù)，得:(66)dTa=(gg)cos2a一2tdaxysin2aTOC o 1-5 h z令此導數(shù)等于零，可求得e達到極值時的Q值，以a表示，即有aeQ-c)cos2a2esin2a=0 xyexe化簡，得c-ctan2a=-斗(67)e2ex由此也可求出a的相差90的兩個根，也就是說有相互垂直的兩個面

11、，e其中一個面上作用的切應力是極大值，用e表示，稱為最大切應力，max另一個面上的是極小值，用e表示，稱為最小切應力。可以求得，它in們的值分別為I1c-c(68)emax=1(x)2+e2TOC o 1-5 h zmin2x比較(103)和(107),可得(69)tan2a-tan2a=10e因此，2a和2a相差90，a和a相差45，即最大正應力的作0e0e用面和最大切應力作用面的夾角為45。從公式(65)還可得到c-c：c-cfflftxmin二丫(x亠)2+e2二e(610)22xmax即最大切應力等于兩個主應力之差的一半。例73試分別確定，E、F兩點的主平面的位置及主應力。FF7D5i7222頭xyy5i最大應力最小應力(70-0)g=26MPa32+T2xyGmaxG