1、第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 與垂直相關(guān)的命題的判定考向聚焦高考的常考內(nèi)容,常將定義、判定和性質(zhì)結(jié)合起來,與線面平行相關(guān)知識命制試題,有時(shí)結(jié)合命題的真假判定或充要條件綜合命題,考查學(xué)生對線面平行與垂直的判定定理及性質(zhì)的理解,一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn),難度中檔以下,所占分值45分1.(2012年安徽卷,理6,5分)設(shè)平面與平面相交于直線m,直線a在平面內(nèi).直線b在平面內(nèi),且bm,則“”是“ab”的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件解析:本題考查面面垂直的判定與性質(zhì),考查空間想象能力,考查充分必要條件.若,由條件可以得出ab,若ab,b

2、m,由條件不能得出,所以“”是“ab”的充分不必要條件.故選A.答案:A. 本題解決的關(guān)鍵是對面面垂直的性質(zhì)及判定定理的理解,屬于概念識別問題,解決這類問題要注意直線與直線可能位置的多種情況,比如本題中b與m可能平行,也可能相交.2.(2012年浙江卷,理10,5分)已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折過程中,()(A)存在某個位置,使得直線AC與直線BD垂直(B)存在某個位置,使得直線AB與直線CD垂直(C)存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直(D)對任意位置,三對直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直解析:假設(shè)A

3、項(xiàng)正確,過點(diǎn)A作AO平面BCD,垂足為O,連接CO交BD于H,連接AH,則BD平面ACH,從而BDAH,BDCH,這是不可能的;假設(shè)B項(xiàng)正確,因?yàn)镈CBC,DC平面ABC,此時(shí)ACD=90,CD=1,AD=2,只需AC=1即可,這種情況是存在的,故選B.答案:B.3.(2011年浙江卷,理4)下列命題中錯誤的是()(A)如果平面平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面(B)如果平面不垂直于平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面(C)如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面(D)如果平面平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面解析:不妨取一個長方體,平面ABB1A1平面A1B1C1D1,而C1D1平

4、面A1B1C1D1,C1D1平面ABB1A1,從而D錯誤,故選D. EQ 答案:D.4.(2010年山東卷,理3)在空間,下列命題正確的是( EQ )(A)平行直線的平行投影重合(B)平行于同一直線的兩個平面平行(C)垂直于同一平面的兩個平面平行(D)垂直于同一平面的兩條直線平行解析:A選項(xiàng)中平行直線的平行投影也可能是平行的;B選項(xiàng)中的兩個平面也可以相交;C選項(xiàng)中的兩個平面也可以相交.故選D.答案:D.5.(2012年陜西卷,理18,12分)(1)如圖,證明命題“a是平面內(nèi)的一條直線,b是外的一條直線(b不垂直于),c是直線b在上的投影,若ab,則ac”為真;(2)寫出上述命題的逆命題,并判斷

5、其真假(不需證明).(1)證明:法一:設(shè)斜線b與平面交于點(diǎn)A,在b上任取一點(diǎn)P(異于點(diǎn)A),過P作PB平面,則垂足B落在投影c上.PB平面,aPBa.又ba,且PB、b是平面PAB內(nèi)的兩條相交線,a平面PAB,又c平面PAB,ac.法二:如圖,過直線b上任一點(diǎn)作平面的垂線d,則da,設(shè)直線a、b、c、d的方向向量分別為a、b、c、d,則b,c,d共面,由平面向量基本定理知,存在唯一的實(shí)數(shù)、使得c=b+d,ac=a(b+d)=(ab)+(ad)由于da,ba,ad=0,ab=0,ac=0,即ac.(2)解:逆命題為:“a是平面內(nèi)的一條直線,b是平面外的一條直線(b不垂直于),c是直線b在上的投影

6、,若ac,則ab”.逆命題為真命題. 拋開常規(guī)的柱、錐問題,考查線面的基本問題,要求將文字語言轉(zhuǎn)化為幾何語言,難度不大,中檔.與垂直相關(guān)的問題的證明考向聚焦高考的必考內(nèi)容,常以棱柱、棱錐為載體,考查學(xué)生對線面垂直、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用,主要題型有(1)線線垂直的證明;(2)線面垂直的證明;(3)面面垂直的證明.常以解答題形式出現(xiàn),難度中檔,所占分值48分備考指津注意線線垂直線面垂直面面垂直的轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練,及推理論證能力的培養(yǎng)6.(2012年湖南卷,理18,12分)如圖,在四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90,E是CD的中點(diǎn).(

7、1)證明:CD平面PAE;(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐PABCD的體積.解:法一:(1)如圖(1),連結(jié)AC.由AB=4,BC=3,ABC=90得AC=5.又AD=5,E是CD的中點(diǎn),所以CDAE.因?yàn)镻A平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.而PA,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,所以CD平面PAE.(2)過點(diǎn)B作BGCD,分別與AE,AD相交于點(diǎn)F,G,連結(jié)PF.由(1)CD平面PAE知,BG平面PAE.于是BPF為直線PB與平面PAE所成的角,且BGAE.由PA平面ABCD知,PBA為直線PB與平面ABCD所成的角.由題意PBA

8、=BPF,因?yàn)閟in PBA=PAPB,sin BPF=BFPB,所以PA=BF.由DAB=ABC=90知,ADBC,又BGCD,所以四邊形BCDG是平行四邊形.故GD=BC=3,于是AG=2.在RtBAG中,AB=4,AG=2,BGAF,所以BG=AB2+AG2=25,BF=AB2BG=1625=855.于是PA=BF=855.又梯形ABCD的面積為S=12(5+3)4=16,所以四棱錐PABCD的體積為V=13SPA=1316855=128515.法二:如圖(2),以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=h,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0

9、),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).(1)易知CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h).因?yàn)镃DAE=-8+8+0=0,CDAP=0,所以CDAE,CDAP,而AP,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,所以CD平面PAE.(2)由題設(shè)和(1)知,CD,PA分別是平面PAE,平面ABCD的法向量,而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,所以| cos |=|cos |,即|CDPB|CD|PB|=|PAPB|PA|PB|.由(1)知,CD=(-4,2,0),PA=(0,0,-h),又PB=(4,

10、0,-h),故|-16+0+0|2516+h2=|0+0+h2|h16+h2解得h=855.又梯形ABCD的面積為S=12(5+3)4=16,所以四棱錐PABCD的體積為V=13SPA=1316855=128515.7.(2012年全國大綱卷,理18,12分)如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,PA底面ABCD,AC=22,PA=2,E是PC上的一點(diǎn),PE=2EC.(1)證明:PC平面BED;(2)設(shè)二面角APBC為90,求PD與平面PBC所成角的大小.解:法一:(1)因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,所以BDAC,又PA底面ABCD,所以PCBD.設(shè)ACBD=F,連結(jié)EF.因?yàn)锳C=22,P

11、A=2,PE=2EC,故PC=23,EC=233,FC=2,從而PCFC=6,ACEC=6.因?yàn)镻CFC=ACEC,FCE=PCA,所以FCEPCA,FEC=PAC=90,由此知PCEF.PC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD,EF都垂直,所以PC平面BED.(2)在平面PAB內(nèi)過點(diǎn)A作AGPB,G為垂足.因?yàn)槎娼茿PBC為90,所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBC=PB,故AG平面PBC,AGBC.BC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA,AG都垂直,故BC平面PAB,于是BCAB,所以底面ABCD為正方形,AD=2,PD=PA2+AD2=22.設(shè)D到平面PBC的距離為d.因?yàn)锳DBC,

12、且AD平面PBC,BC平面PBC,故AD平面PBC,A、D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等,即d=AG=2.設(shè)PD與平面PBC所成的角為,則sin =dPD=12.所以PD與平面PBC所成的角為30.法二:(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),射線AC為x軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)C(22,0,0),D(2,b,0),其中b0,則P(0,0,2),E(423,0,23),B(2,-b,0).于是PC=(22,0,-2),BE=(23,b,23),DE=(23,-b,23),從而PCBE=0,PCDE=0,故PCBE,PCDE,又BEDE=E,所以PC平面BED.(2)AP=(0,0,2),

13、AB=(2,-b,0).設(shè)m=(x,y,z)為平面PAB的法向量,則mAP=0,mAB=0,即2z=0且2x-by=0,令x=b,則m=(b,2,0).設(shè)n=(p,q,r)為平面PBC的法向量,則nPC=0,nBE=0,即22p-2r=0且2p3+bq+23r=0,令p=1,則r=2,q=-2b,n=(1,-2b,2).因?yàn)槊鍼AB面PBC,故mn=0,即b-2b=0,故b=2,于是n=(1,-1,2),DP=(-2,-2,2),cos=nDP|n|DP|=12,=60.因?yàn)镻D與平面PBC所成角和互余,故PD與平面PBC所成的角為30.8.(2012年江蘇數(shù)學(xué),16,14分)如圖,在直三棱柱

14、ABCA1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C),且ADDE,F為B1C1的中點(diǎn).求證:(1)平面ADE平面BCC1B1;(2)直線A1F平面ADE.證明:(1)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC,又AD平面ABC,所以CC1AD.又因?yàn)锳DDE,CC1,DE平面BCC1B1,CC1DE=E,所以AD平面BCC1B1,又AD平面ADE.所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因?yàn)锳1B1=A1C1,F是B1C1的中點(diǎn),所以A1FB1C1.因?yàn)镃C1平面A1B1C1,且A1F平面A1B1C1,所以CC1A1F.又因?yàn)镃C1,B1C1平

15、面BCC1B1,CC1B1C1=C1,所以A1F平面BCC1B1,由(1)知AD平面BCC1B1,所以A1FAD.又AD平面ADE,A1F平面ADE,所以A1F平面ADE.9.(2011年廣東卷,理18)如圖所示,在錐體PABCD中,ABCD是邊長為1的菱形,且DAB=60,PA=PD=2,PB=2,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).(1)證明:AD平面DEF;(2)求二面角PADB的余弦值.(1)證明:ADPB=AD(PA+AB)=ADPA+ADAB=|AD|PA|cos(-PAD)+|AD|AB|cosDAB=-2cosPAD+cos 60=-2cosPAD+12又PAD為等腰三角形,cosP

16、AD=12|AD|PA|=24,從而ADPB=-224+12=0,ADPB,又由題意EFPB,ADEF又在DEC中,EC=12,DC=1,DCE=60,DEC=90,即DEBC,又ADBC,DEAD由知AD平面DEF.(2)解:取AD的中點(diǎn)G,連接PG、GB,PAD為等腰三角形,PA=PD,PGAD,ABD為等邊三角形,BGAD,從而BGP為二面角PADB的平面角,又在PGB中,cosBGP=PG2+GB2-PB22|PG|GB|=(PA2-AG2)+(AB2-AG2)-222PA2-AG2AB2-AG2=-217二面角PADB的余弦值為-217.10.(2011年上海卷,理21)已知ABCD

17、A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱,O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn).(1)設(shè)AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為,二面角AB1D1A1的大小為,求證:tan =2tan ;(2)若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為43,求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高.(1)證明:連接AO1、AC.AA1平面A1B1C1D1,AB1A1為AB1與平面A1B1C1D1所成的角.即AB1A1大小為.A1B1C1D1為正方形,B1D1A1C1.又CC1平面A1B1C1D1,CC1B1D1,B1D1平面ACC1A1,B1D1AO1,A1O1A即為二面角AB1D1A1的平面角.即A1O1A的大小為.在RtA

18、B1A1中,tan =AA1B1A1,在RtAA1O1中,tan =AA1A1O1.在等腰直角三角形A1B1O1中,A1B1=1,A1O1=22.tan=AA1,tan=AA122=2AA1,tan =2tan .(2)解:在平面AA1C1C內(nèi),過點(diǎn)C作CHAO1于點(diǎn)H.由(1)知B1D1平面AA1C1C,B1O1CH.CH平面AB1D1.即CH為點(diǎn)C到平面AB1D1的距離.CH=43.設(shè)AA1=x,則AO1=AA12+A1O12=x2+12.又SAO1C=12CHAO1且SAO1C=12ACAA1,CHAO1=ACAA1,43x2+12=2x,x=2.即正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高為

19、2.11.(2011年湖南卷,理19)如圖,在圓錐PO中,已知PO=2,O的直徑AB=2,C是AB的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).(1)證明:平面POD平面PAC;(2)求二面角BPAC的余弦值.(1)證明:連接OC,因?yàn)镺A=OC,D是AC的中點(diǎn),所以ACOD,又PO底面O,AC底面O,所以ACPO.因?yàn)镺DPO=O,所以AC平面POD.而AC平面PAC,所以平面POD平面PAC.(2)解:在平面POD中,過O作OHPD于H,由(1)知,平面POD平面PAC,所以O(shè)H平面PAC.又PA面PAC,所以PAOH.在平面PAO中,過O作OGPA于G,連接HG,則有PA平面OGH.從而PAHG.故OGH為二

20、面角BPAC的平面角.在RtODA中,OD=OAsin 45=22.在RtPOD中,OH=POODPO2+OD2=2222+12=105.在RtPOA中,OG=POOAPO2+OA2=212+1=63.在RtOHG中,sin OGH=OHOG=10563=155.所以cos OGH=1-sin2OGH=1-1525=105.故二面角BPAC的余弦值為105.12.(2010年安徽卷,理18)如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,EFAB,EFFB,AB=2EF,BFC=90,BF=FC,H為BC的中點(diǎn).(1)求證:FH平面EDB;(2)求證:AC平面EDB;(3)求二面角BDE

21、C的大小.法一:(綜合法)(1)證明:設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G,則G為AC的中點(diǎn),連接EG,GH,又H為BC的中點(diǎn),GH12AB,又EF12AB,EFGH,四邊形EFHG為平行四邊形,EGFH,而EG平面EDB,FH平面EDB,FH平面EDB.(2)證明:由四邊形ABCD為正方形,有ABBC.又EFAB,EFBC.而EFFB,BCFB=B,EF平面BFC,EFFH.ABFH,又BF=FC,H是BC的中點(diǎn),FHBC.又ABBC=B,FH平面ABCD.FHAC.又FHEG,ACEG,又ACBD,EGBD=G,AC平面EDB.(3)解:EFFB,BFC=90,EFFC=F,BF平面CDEF.在平面CDE

22、F內(nèi)過點(diǎn)F作FKDE交DE的延長線于K,連接BK,則FKB為二面角BDEC的一個平面角.設(shè)EF=1,則AB=2,FC=2,DE=3.又EFDC,KEF=EDC.sin EDC=sin KEF=23.FK=EFsin KEF=23,tan FKB=BFFK=3,FKB=60.即二面角BDEC的大小為60.法二:(向量法):四邊形ABCD為正方形,ABBC,又EFAB,EFBC.又EFFB,FBBC=B,EF平面BFC.EFFH,ABFH.又BF=FC,H為BC的中點(diǎn),FHBC.又ABBC=B,FH平面ABC.以H為坐標(biāo)原點(diǎn),HB為x軸正方向,HF為z軸正方向,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BH=

23、1,則A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).(1)證明:設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,連接GE,GH,則G(0,-1,0),GE=(0,0,1),又HF=(0,0,1),HF=GE,HFGE,又GE平面EDB,FH平面EDB,FH平面EDB.(2)證明:AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),ACGE=0,ACGE.又ACBD,EGBD=G,AC平面EDB.(3)解:BE=(-1,-1,1),BD=(-2,-2,0).設(shè)平面BDE的法向量為n1=(1,y1,z1),則BEn1=-1-y1+z1=0,BDn1=-2-2y1=0,y1=-1,z1=0,即n1=(1,-1,0).CD=(0,-2,0),CE=(1,-1,1),設(shè)平面CDE的法向量為n2=(1,y2,z2),則n2CD=0,得y2=0,又n2CE=0,即1-y2+z2=0,故z2=-1,故n2=(1,0,-1),cos=n1n2|n1|n2|=122=12,=60,即二面角BDEC的大小為60. 線面平行、線面垂直是線面位置關(guān)系的重要內(nèi)