1、1哥尼斯堡七橋問題與數(shù)學(xué)抽象 思維是數(shù)學(xué)的靈魂；抽象思維是數(shù)學(xué)思維中最根本、最基礎(chǔ)的部分。 抽象就是把同類事件中最關(guān)鍵、最根本的本質(zhì)性的東西拿出來，加以歸納綜合，使其具有更大的推廣性和普適性。 學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)“抽象”是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 “抽象”是數(shù)學(xué)的武器，數(shù)學(xué)的優(yōu)勢(shì)。 我們應(yīng)該喜歡“抽象”，學(xué)會(huì)“抽象”的手段。 為了讓大家理解“抽象”的優(yōu)勢(shì)，了解“抽象”的思想、原則、方法和作用實(shí)踐“抽象”的過程，學(xué)會(huì)“抽象”的手段，喜歡“抽象”。案例：“哥尼斯堡七橋問題”一、哥尼斯堡七橋問題ADCB問題：能不能找到一條路線，使得散步時(shí)不重復(fù)地走遍這七座橋。歐拉：全新的問題；三步抽象 地圖抽象：點(diǎn)線圖 問題的抽

2、象：“一筆畫問題” 把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方式的敘述：找到“一個(gè)圖形是一筆畫”的充分必要條件，并且對(duì)是一筆畫的圖形給出一筆畫的方法。三步抽象的作用 第一步抽象是把地圖抽象成“點(diǎn)線圖”（把島和岸抽象成點(diǎn)，把橋抽象成線），既簡化了問題的條件，又突出了問題的本質(zhì)； 第二步抽象是把問題抽象成“一筆畫問題 ”，明確了問題的本質(zhì)； 第三步抽象是把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方式的敘述，便于我們數(shù)學(xué)方式的理性思維。三個(gè)層次的課堂討論，與歐拉共思考，同探索歐拉把圖形上的點(diǎn)分成了兩類；請(qǐng)考慮：如果是你，你會(huì)分成哪兩類？為了“一筆畫”成功，圖形中的偶結(jié)點(diǎn)多一些好，還是奇結(jié)點(diǎn)多一些好？奇結(jié)點(diǎn)少一些好， 少到幾個(gè)才能“一筆畫”呢？結(jié)

3、 論 一個(gè)點(diǎn)線圖是“一筆畫”的充分必要條件它是連通的并且奇結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或2。 （一筆畫原理）。 哥尼斯堡七橋問題:“不重復(fù)地走過七座橋”是不可能的。 歐拉在圣彼得堡科學(xué)院發(fā)表了有關(guān)的論文，開創(chuàng)了“圖論”的先河，也開創(chuàng)了“拓?fù)鋵W(xué)”的先河中國郵遞員問題中國郵遞員問題(Chinese Postman Problem, CPP)是由我國管梅谷教授于1962年首先提出并發(fā)表的問題是從郵局出發(fā)，走遍郵區(qū)的所有街道至少一次再回到郵局，走什么路線才能使總的路程最短？如果街區(qū)圖是一個(gè)偶圖，CPP 問題也就迎刃而解了若街區(qū)圖不是偶圖，則必然有一些街道要被重復(fù)走過才能回到原出發(fā)點(diǎn)顯然要在奇結(jié)點(diǎn)間加重復(fù)邊如何使所加

4、的邊長度最少歸結(jié)為求奇結(jié)點(diǎn)間的最小案 例一個(gè)郵遞員投遞信件的街道如圖，圖上的書表示各段街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)，走遍各街道，最后回到郵局，走怎樣的路線最短？112243哈密頓環(huán)球旅行問題: 十二面體的20個(gè)頂點(diǎn)代表世界上20個(gè)城市，能否從某個(gè)城市出發(fā)在十二面體上依次經(jīng)過每個(gè)城市恰好一次最后回到出發(fā)點(diǎn)？哈密頓圈（環(huán)球旅行游戲）“哈密頓環(huán)球旅行問題”與“中國郵遞員問題”的區(qū)別在于：要求不重復(fù)地跑遍點(diǎn)線圖中的各個(gè)點(diǎn)，而不要求走遍各條線。二、拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支：為了某種需要，我們?cè)谘芯繄D形時(shí)，可以只研究圖形各部分位置的相對(duì)關(guān)系，而不考慮它們的大小和角度的幾何學(xué)。例如，歐拉在解決哥尼斯堡七橋

5、問題的時(shí)候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)。這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問題的出發(fā)點(diǎn)。有人把拓?fù)鋵W(xué)說成是“橡皮幾何學(xué)”，因?yàn)橄鹌つど系膱D形，隨著橡皮膜的拉動(dòng)，其長度、曲直、面積等等都將發(fā)生變化。此時(shí)談?wù)摗坝卸嚅L”、“有多大”之類的問題，是毫無意義的，人們感興趣的只是圖形的位置關(guān)系。不過，在橡皮幾何里也有一些圖形的性質(zhì)保持不變。例如：點(diǎn)變化后仍然是點(diǎn)，線變化后依舊是線，相交的圖形絕不因橡皮的拉伸和彎曲而變得不相交。簡單地說，拓?fù)鋵W(xué)就是研究有形的物體在連續(xù)變換下，怎樣還能保持性質(zhì)不變。 拓?fù)鋵W(xué)研究的課題極為有趣。比如：左手戴的手套能否在空間掉轉(zhuǎn)位置后變成右手戴的手套？一個(gè)車胎能否從里面

6、朝外頭把它翻轉(zhuǎn)過來？是否存在只有一個(gè)面的紙張？一只有耳的茶杯與救生圈或花瓶比較，與哪一個(gè)更相似些？諸如此類，都屬于拓?fù)鋵W(xué)研究的范疇。許多難以置信的事情，在拓?fù)鋵W(xué)中似乎都有可能。 “內(nèi)部”和“外部”，是拓樸學(xué)中很重要的一組概念。一條頭尾相連且自身不相交的封閉曲線，把橡皮膜分成兩個(gè)部分。如果我們把其中有限的部分稱為閉曲線的“內(nèi)部”，那么另一部分便是閉曲線的“外部”。從閉曲線的內(nèi)部走到閉曲線的外部，不可能不通過該閉曲線。因此，無論你怎樣拉扯橡皮膜，只要不切割、不撕裂、不折疊、不穿孔，那么閉曲線的內(nèi)部和外部總是保持不變的。“哈里發(fā)嫁女”問題 故事的大意是這樣的：古波斯穆罕默德的繼承人哈里發(fā)，有一個(gè)才貌

7、雙全的女兒。姑娘的智慧和美貌，遠(yuǎn)近聞名，求婚者絡(luò)繹不絕。哈里發(fā)決定從中挑選一位才智超群的青年做女婿，于是便出了一道題目，聲明誰能解出這道題，便將女兒嫁給誰！哈里發(fā)的題目說來也簡單： 請(qǐng)用線把右圖中寫有 相同數(shù)字的小圓圈連 接起來，但所連的線 不許相交。 在普通的平面上，這個(gè)問題不可能有解答的。下面我們用拓?fù)鋵W(xué)的 “內(nèi)部”與“外部”的概念加以證明。 事實(shí)上，如右圖，我們可以很容易用線把 一、一連起來。發(fā)現(xiàn)：我們得到了一條簡單的閉曲線，這條曲線把整個(gè)平面分為內(nèi)部（陰影部分）和外部兩個(gè)區(qū)域。其中一個(gè)在內(nèi)部區(qū)域，而另一個(gè)卻在外部區(qū)域。因此，要想從閉曲線內(nèi)部的，畫一條弧線與外部的相連，且與己畫的閉曲線不

8、相交，是不可能的！這正是哈里發(fā)的失誤所在。 神奇的莫比烏斯帶我們通常講的平面、曲面通常有兩個(gè)面，就像一張紙有兩個(gè)面一樣。但德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯(17901868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯帶，它只有一個(gè)面！實(shí)驗(yàn)一：如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“莫比烏斯帶”，再沿線剪開，把這個(gè)圈一分為二。猜一猜，剪開后的結(jié)果是什么，是兩個(gè)圈兒嗎？ 實(shí)驗(yàn)二：如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“莫比烏斯帶”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個(gè)圈竟然又回到原出發(fā)點(diǎn)，猜一猜，剪開后的結(jié)果是什么，是一個(gè)大圈？是三個(gè)圈兒？“麥比烏斯帶”的故事：有一個(gè)小偷偷了一位很老實(shí)農(nóng)民的東西，并被當(dāng)場捕獲，將小偷送到縣衙，縣

9、官發(fā)現(xiàn)小偷正是自己的兒子。于是在一張紙條的正面寫上：小偷應(yīng)當(dāng)放掉，而在紙的反面寫了：農(nóng)民應(yīng)當(dāng)關(guān)押?？h官將紙條交給執(zhí)事官由他去辦理。聰明的執(zhí)事官將紙條扭了個(gè)彎，用手指將兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據(jù)縣太爺?shù)拿顟?yīng)當(dāng)放掉農(nóng)民，應(yīng)當(dāng)關(guān)押小偷?？h官聽了大怒，責(zé)問執(zhí)事官。執(zhí)事官將紙條捏在手上給縣官看，從“應(yīng)當(dāng)”二字讀起，確實(shí)沒錯(cuò)。仔細(xì)觀看字跡，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認(rèn)倒霉。 在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉正是在解決“哥尼斯堡七橋問題”的過程中，不僅發(fā)現(xiàn)了許多正是并開拓了圖論與拓?fù)鋵W(xué)等嶄新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，而且他的研究也是運(yùn)用抽象化方法和數(shù)學(xué)建模思想的光輝范例。 數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容數(shù)學(xué)內(nèi)容數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)方法哥尼斯堡七橋問題一筆畫原理數(shù)學(xué)建模思想數(shù)學(xué)抽象（心臟）（軀體）（靈魂）（手段）歐拉的第一步抽象ADCBABDC一筆畫問題課堂討論一歐拉把圖形上的點(diǎn)分成了兩類；請(qǐng)考慮：如果是你，你會(huì)分成哪