1、題型51 多次使用基本不等式【方法點(diǎn)撥】多元變量的最值問題是一種常見的題型，也是高考命題的熱點(diǎn)，其解法靈活多變，較難把握.當(dāng)目標(biāo)式中有的變量間彼此獨(dú)立，相互間沒有制約條件時(shí)，使用分離變量法，多次使用基本不等式即可.這是可多次使用基本不等式的先決條件，其目的是保證等號能同時(shí)成立.【典型題示例】例1 （2021全國高考天津卷13）若，則的最小值為_【答案】【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號成立，所以的最小值為.例2 已知且，則的最小值是_.【答案】24【解析】由于，故考慮先求出的最小值，.點(diǎn)評：（1）“多元問題一般應(yīng)減元”，這是解決多元問題的基本思路.本題中，雖然已

2、知中含有三個(gè)變量，但其地位是不同的，這里有約束條件，而變量除了“”外，沒有其它的任何約束條件，系“單身狗”，故應(yīng)將其分為一組-其目的是“孤立單身狗”，求出其最小值，再使用基本不等式，而兩次使用基本不等式的條件沒有關(guān)聯(lián)；（2）在求的最小值時(shí)，觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，使用了“1”的代換，其目的仍在于“化齊次”.例3 設(shè)，則 的最小值為 .【答案】【分析】所求變形為.三次使用基本不等式，第一次，在條件下，求最小值，需使用“1”的代換化齊次；第二次，在條件下，求最小值，為達(dá)到消的目的，需拆湊放縮（解答所給方法）或直接使用基本不等式；第三次，直接運(yùn)用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等條件相互獨(dú)立

3、，從而最小值能夠取得.【解析】由題x+4y=1(x0，y0)， eq f(x2+y,xy)= eq f(x2+(x+4y)y,xy)= eq f(x,y)+1+ eq f(4y,x)4+1=5，當(dāng)且僅當(dāng)x= eq f(1,3)，y= eq f(1,6)時(shí)，“=”成立因?yàn)?ts，則 eq f(1,tst2)= eq f(4,s2(s2t)2) eq f(4,s2)，當(dāng)且僅當(dāng)s=2t時(shí)，“=”成立于是 eq f(x2s2+ys2,xy)+ eq f(1,tst2)5s2+ eq f(4,s2)4 eq r(5)，當(dāng)且僅當(dāng)x= eq f(1,3)，y= eq f(1,6)，s= eq f(2r(5)

4、,5)，t= eq f(r(5),5)時(shí)，“=”成立所以 eq f(x2s2+ys2,xy)+ eq f(1,tst2)的最小值為4 eq r(5)例4 已知a0，b0，c2，且ab2，那么eq f(ac,b)eq f(c,ab)eq f(c,2)eq f(r(5),c2)的最小值為_【答案】eq r(10)eq r(5)【分析】a、b間有制約條件“ab2”，“c”為獨(dú)立變量，故將所求變形為eq f(ac,b)eq f(c,ab)eq f(c,2)eq f(r(5),c2)ceq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)f(1,ab)f(1,2)eq f(r(5),c2)，先求出eq

5、f(a,b)eq f(1,ab)的最小值即可.【解析】因?yàn)閍0，b0，所以eq f(a,b)eq f(1,ab)eq f(1,2)eq f(a,b)eq f(ab2,4ab)eq f(1,2)eq f(a,b)eq f(a22abb2,4ab)eq f(1,2)eq f(5a,4b)eq f(b,4a)eq f(r(5),2)，當(dāng)且僅當(dāng)beq r(5)a時(shí)等號成立又因?yàn)閏2，由不等式的性質(zhì)可得eq f(ac,b)eq f(c,ab)eq f(c,2)eq f(r(5),c2)ceq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)f(1,ab)f(1,2)eq f(r(5),c2)eq f(r

6、(5),2)ceq f(r(5),c2).又因?yàn)閑q f(r(5),2)ceq f(r(5),c2)eq f(r(5),2)(c2)eq f(r(5),c2)eq r(5)eq r(10)eq r(5)，當(dāng)且僅當(dāng)c2eq r(2)時(shí)等號成立，所以eq f(ac,b)eq f(c,ab)eq f(c,2)eq f(r(5),c2)的最小值為eq r(10)eq r(5).點(diǎn)評：本題中有三個(gè)變量,其中兩個(gè)變量間有約束條件.先求出其最值，然后使用不等式的性質(zhì)放縮，再使用一次基本不等式.【鞏固訓(xùn)練】1.已知x0，y0，則的最小值為 2.已知，則的最小值為 3.已知，且，則的最小值為 4.設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足

7、，則實(shí)數(shù)的最小值為5.已知正數(shù)滿足，則的最小值為 6. 若，則的最小值為 7.已知正數(shù)a,b滿足aba+2b1，則a+12+b+22的最小值是 【答案與提示】1.【答案】【解析】所求變形為y0 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，x0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，成立2.【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立， 的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，成立3. 【答案】【解析】先減元令，在（0,1）上遞減，在（1，）上遞增，所以，f（1）2當(dāng)y時(shí)，有最小值：所以的最小值為2.4.【答案】【解析】由正實(shí)數(shù)，滿足，化為，為求的最小值，將含“”項(xiàng)用“”的函數(shù)表示得：（當(dāng)且僅當(dāng)，“=”成立），解得實(shí)數(shù)的最小值為5.【答案】 【解析】將已知條件視為關(guān)于的一元二次方程，利用解方程分離元來實(shí)施減元.由解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等.6. 【答案】10【提示】，再利用導(dǎo)數(shù)知識解決.7.【答案】22+122【解析】由平方均值不等式得a+12+b+222a+1+b+22，當(dāng)且僅當(dāng)a=b+1時(shí)，“=”成立由aba+2b1變形得2a