1、第五節(jié) 一、近似計(jì)算 二、微分方程的冪級數(shù)解法 函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用 第十二章 三、歐拉公式 1一、近似計(jì)算例1. 計(jì)算的近似值, 精確到解: 2例2. 計(jì)算的近似值 ,使準(zhǔn)確到解: 已知故令得于是有用此式求 ln2 計(jì)算量大3在上述展開式中取前四項(xiàng), 4說明: 在展開式中,令得具此遞推公式可求出任意正整數(shù)的對數(shù) . 如 ( n為自然數(shù)) , 5例3. 利用求誤差. 解: 先把角度化為弧度(弧度)的近似值 , 并估計(jì)6( 取 例4. 計(jì)算積分的近似值, 精確到解:7則 n 應(yīng)滿足則所求積分近似值為欲使截?cái)嗾`差8例5. 計(jì)算積分的近似值, 精確到解: 由于故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數(shù)

2、在 x = 0 處的值為 1, 則它在積分區(qū)間上連續(xù), 且有冪級數(shù)展開式 :9二、微分方程的冪級數(shù)解法代入原方程, 比較同次冪系數(shù)可定常數(shù) 由此確定的級數(shù)即為定解問題在收斂區(qū)間內(nèi)的解. 設(shè)所求解為冪級數(shù)解法本質(zhì)上就是待定系數(shù)法 1. 一階微分方程的情形10例6. 解: 根據(jù)初始條件, 設(shè)所求特解為代入原方程, 得比較同次冪系數(shù), 得故所求解的冪級數(shù)前幾項(xiàng)為 112. 二階齊次線性微分方程問題定理:則在R x 4 時(shí),13因此注意到:此題的上述特解即為14三、歐拉(Euler)公式則稱 收斂 , 且其和為絕對收斂收斂 .若收斂,若對復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)絕對收斂則稱 絕對收斂. 由于, 故知 歐拉 15定義

3、: 復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)為易證它在整個(gè)復(fù)平面上絕對收斂 .當(dāng) y = 0 時(shí), 它與實(shí)指數(shù)函數(shù)當(dāng) x = 0 時(shí),的冪級數(shù)展式一致.16（歐拉公式）（也稱歐拉公式）利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式則歐拉 17據(jù)此可得(德莫弗公式)利用冪級數(shù)的乘法, 不難驗(yàn)證特別有第六節(jié) 作業(yè) P291 1 (1),(3); 2(2)；3(1),(3); 4(2)第七節(jié) 18 備用題 1. (1) 驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程(2) 利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)的和. (2002考研) 解: (1)19所以(2) 由(1)的結(jié)果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足其特征方程:特征根:齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入原方程得故非齊次方程通

4、解為20代入初始條件可得故所求級數(shù)的和212.解:求解勒讓德 (Legendre) 方程 展成冪級數(shù), 故方程滿足定理?xiàng)l件.設(shè)方程的解為代入 : 因方程特點(diǎn),不用將 P, Q 進(jìn)行展開定理22整理后得:比較系數(shù), 得例如:23于是得勒讓德方程的通解: 上式中兩個(gè)級數(shù)都在(1, 1 )內(nèi)收斂, 可以任意取, 它們是方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解. 24歐拉 (1707 1783)瑞士數(shù)學(xué)家. 他寫了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典著作, 如無窮小分析引論 , 微 還寫了大量力學(xué), 幾何學(xué), 變分法教材. 他在工作期間幾乎每年都完成 800 頁創(chuàng)造性的論文. 他的最大貢獻(xiàn)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域, 要分支 (如無窮級數(shù), 微分方程) 與微分幾何的產(chǎn)生和發(fā)