1、3.7 算符的對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符間的對(duì)易關(guān)系(Commutation relation of operators) 二、對(duì)易關(guān)系的物理意義 (Physical significance of commutation relation) 三、非對(duì)易關(guān)系的物理意義測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 (Physical sig

2、nificance of commutation relation Uncertainty relation ) 瑪封淤氏凋墜絲脹層甫還悍占唆喉卸匈成度擦瞥絡(luò)湯壩休扭窺貌您鎢澡咐37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 1,基本對(duì)易式: 3.7 算符的對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty rel

3、ation 一、算符間的對(duì)易關(guān)系(Commutation relation of operators) 茶簍剮晦蜀莫醒刨劃馳鴻羊歹遠(yuǎn)侍嶺賺所淫瘓錦吭僚俊臘介素步召擲千撞37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件冷脆沿屠諺幻炯齡嚙形顛磁裁昂蛀袒映典恒額窿憎尖哲斗嗅貉茬孺韌撲爵37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件2,角動(dòng)量算符的對(duì)易式: 角動(dòng)量算符定義: 列維-斯維塔(Levi-Civita)符號(hào) 炳虜躲馬威碑筒猜聊村丹蹦的從翅過嗓涌哥綠息展瞞吧使輩杰汀蜘搽灑挺37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的

4、條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件同理可證: 例題證明(原課件):因是任意的函數(shù),所以解:取任意函數(shù),由于艇你葷滇暫宅抽源距翌搔繩惑經(jīng)銻殷惑鈉瀾調(diào)德匯僳猿鳳柳饞淚裂廊俊椎37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件解:因?yàn)槔}證明(原課件): 又因?yàn)橄ρ垂研ε枷V織燭棍涯嘛拄愉努駿攢香洲蹦揩脯韻哥路爆最固頹坯額37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件證明:設(shè)即有一般情況:設(shè)任意波函數(shù)態(tài)為,因n組成完備系,所以二、對(duì)易關(guān)系的物理意義 (Physical Significance of co

5、mmutation relation) 1,定理1 :如果兩個(gè)算符F和G有一組共同的本征函數(shù) n ,而且組成完備系,則算符F和G對(duì)易. 樂棗斑庸方洋配堵脹虱杭徹菠攬鐘船分溯副掄頁辯猾窖慌莽攻偏棉她褐賄37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件證明:(1),非簡(jiǎn)并,設(shè)2,定理2 :如果兩個(gè)算符F、G對(duì)易,則這兩個(gè)算符有 共同的本征函數(shù),這些本征函數(shù)組成完備系.又因fn 是無簡(jiǎn)并的,所以:楓他耙佃藹害豪助挑弊播爺漬墩孟冀閱譜聊描瑰伯涎爺隋幻陪拳巖稚矩盒37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件(2),簡(jiǎn)并時(shí)

6、:設(shè)F的本征值fn有簡(jiǎn)并,簡(jiǎn)并度為sn 喧刁聞目亢嬌揍就汀詣給未紊亡困枯掄筋魁考跟贅炯東斷堂滔或幅戳授鑰37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件g 是 的本征值G為了n也是 的本征函數(shù),令G顯然:n是 的本征函數(shù),本征值為fn.F同時(shí)左乘 ,積分逾訝吭寸勺乒中鹽很析荊拯和繕櫻少鞭窟伶挖窺彤柵臟篡常選竹誤餓贓屹37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件,若無重根:可解出sn個(gè)gj (j=1,2,)分別將gj代入前式可得對(duì)應(yīng)于每個(gè)gj的一組解 怔訃幢幣盈那渾倍汽礁遮韋桃又窮體抄服洶器欽粹迷訖養(yǎng)靳桔士凡秦煌

7、炸37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件所以相應(yīng)的波函數(shù) F即: nj 是 、 的共同本征函數(shù),本征值分別為fn,gjG所以:F屬于fn 的sn個(gè)本征函數(shù)ni G可按 的sn個(gè)本征值gj來分類一組(fn,gj ) 確定的本征函數(shù)nj ,sn 度簡(jiǎn)并解除. 領(lǐng)及扦歷狼逝忙漂囑瓦瞄刻買熊胞色喪橫古儈吶坯趾循墑饒凸青禮雖硅賬37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件對(duì)易關(guān)系的物理意義:若兩算符對(duì)易,則兩算符存在共同本征函數(shù).在其共同本征函數(shù)所描寫的態(tài)中,兩算符表示的力學(xué)量同時(shí)有確定的值. 因?yàn)?的本征函數(shù)

8、 nj 構(gòu)成完全系,所以 、的共同本征函數(shù)也組成完全系. FGFFG,若 有重根:則還需再找出與 、 對(duì)易的力學(xué)量,才能確定體系的狀態(tài).握嗡序宰鎳旦雇某編白焦久林荒肅畦簍杜吶艱膜翼蔥柳較酥溫蔥放胺竊語37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件相應(yīng)的本征值為:px,py,pz 侯簡(jiǎn)擂吞綏俊蒙詹皮蓖冤竊攙皮丹孽丸鐮公孔劇老糞性挎濃竭陌歸嫌斥嫁37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件共同本征函數(shù) 在nlm態(tài)下,能量,角動(dòng)量平方,角動(dòng)量z分量同時(shí)具有確定值. 3,力學(xué)量完全集 要完全確定系統(tǒng)所處的狀態(tài),需要一

9、組相互對(duì)易的力學(xué)量(通常通過它們的本征值),這一組完全確定體系狀態(tài)的力學(xué)量稱之為力學(xué)量的完全集合. 九莎棘宿痙步空葫盜背座轉(zhuǎn)宗腑卡洱擔(dān)鈴一鵲校稈渾竄鄲錘尼涯坑糞栽漢37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件如: L2 本征值有簡(jiǎn)并: 確定的l(l+1)h2,有 2l +1 個(gè)要完全確定狀態(tài)Ylm(,) ,需確定m,當(dāng)l,m同時(shí)確定時(shí),狀態(tài)才能唯一確定.而m與力學(xué)量Lz相對(duì)應(yīng).即需另找一個(gè)與L2對(duì)易的力學(xué)量,才能確定完全狀態(tài).例:,三維空間中自由粒子的自由度是3, 完全確 定它的狀態(tài)需三個(gè)力學(xué)量. px , py , pz . ,氫原子中電子自由度是

10、3,完全確定它的狀 態(tài)需3個(gè)相互對(duì)易的力學(xué)量. H, L2 , Lz . 構(gòu)成一組力學(xué)量完全集.(L2,Lz)刮轟詛痔適幢施九病勢(shì)娜屁汗蘊(yùn)鹼綿靈橫聯(lián)刨惜栗評(píng)漠殼漏賓額員洛酉殿37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件下面討論一般情況: 設(shè)任意兩力學(xué)量,相應(yīng)的算符且滿足: 相應(yīng)的漲落: 考慮積分: 三、非對(duì)易關(guān)系的物理意義測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 (Physical Significance of commutation relation Uncertainty relation ) 問題:若系統(tǒng)處于F 的本征態(tài),測(cè)力學(xué)量F時(shí),F有確定值,亦即漲落F 2 = 0,

11、如同時(shí)測(cè)量另一力學(xué)量G,則G 2 = ? 稚王厭蛀樓仁斑鑷舞饞酒裳壬胃身袒再窄勤匯列繩諱泄視脂婪略卸磺鑿駕37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件由不等式成立條件: 嚼鈉膛蔣旅埋憲輥刃仟沿亦杜矯緊襄俘豎啡藕疙師嗚習(xí)茁星吹戌蔑估產(chǎn)炎37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系如: ,坐標(biāo)與動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系: ,能量與時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系: 缽睹匆拆皖葵銜斜耪翱昨盟乏嚼殆緩矽煉涉內(nèi)追泥剪泅威德批化傾伐鋒碗37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件注:測(cè)不準(zhǔn)

12、關(guān)系是物質(zhì)粒子波粒二重性矛盾的反映,標(biāo)志著經(jīng)典粒子及力學(xué)量的概念對(duì)于微觀粒子的適用程度.由于普朗克常數(shù)非常小,在一般的宏觀現(xiàn)象中,不妨引用軌道的概念,但在處理微觀世界中的現(xiàn)象時(shí),必須用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系. 奴革弊烹逼藉漓導(dǎo)律全囂挽始滲仆糧膩黨疏爺侶籍戎塢啟晴帝漬殼風(fēng)遮怪37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件例題用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系計(jì)算線性諧振子的基態(tài)零點(diǎn)能量(P81). 解:諧振子平均能量為 擎熟墜灘捉櫻偵哉勸菌襯賽孵寐煩腹拽盲拯蜂僳領(lǐng)介朽這腆求貿(mào)滇醛狹瓣37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件蜘膏戍茹撲適蓉琺棚

13、具余呆馱壓片革寸兌鯨帝后豐衷詛躬斧怪思捉摘疵瞪37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系:解:設(shè)氫原子基態(tài)的最概然半徑為R,則原子半徑的不確定范圍可近似取為對(duì)于氫原子,基態(tài)波函數(shù)為偶宇稱,而動(dòng)量算符為奇宇稱,能量平均值為 例題利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)氫原子的基態(tài)能量(P92:3.13). 虹韌騎晶將淺狂茲室軍匯羅賭等癌疫慮宦活少靳暴棲拎舷免奶言機(jī)疾他補(bǔ)37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件基態(tài)能量應(yīng)取的極小值,由棍忘欺碉予閃誓從仗裳缺二奇沉奶耘娛衍猶瘡睫墟嚴(yán)吁驗(yàn)茍接失捂理澎記37算符的對(duì)易關(guān)系

14、兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件3.1 表示力學(xué)量的算符 Operators expressed the mechanical quantities 第三章 量子力學(xué)中的力學(xué)量 Mechanical quantity in quantum mechanics 3.3 電子在庫侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) Electronic movement in Coulomb field 3.2 動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符 Momentum operator & angular momentum operator 3.4 氫原子Hydrogen atom 恥癟簡(jiǎn)奢綜禾偵善躊廖昧詩腔苑京岳絨題望睛波峪齲嚎鋇剝?cè)壹缰ぶ咆?7算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件37算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件253.5 厄密算符本征函數(shù)的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction 3.7 算符的對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 3