1、第十章 達朗伯原理理論力學第1頁，共49頁。 101 質點的達朗伯原理 102 質點系的達朗伯原理 103 剛體慣性力系的簡化 達朗伯原理的應用舉例 第十章 達朗伯原理第2頁，共49頁。動力學 非自由質點M，質量m，受主動力 ， 約束反力 ，合力質點的達朗伯原理10-1質點的達朗伯原理3第3頁，共49頁。動力學 例1 列車在水平軌道上行駛，車廂內懸掛一單擺，當車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角度 ，相對于車廂靜止。求車廂的加速度 。4第4頁，共49頁。動力學 選單擺的擺錘為研究對象 虛加慣性力 角隨著加速度 的變化而變化，當 不變時， 角也不變。只要測出 角，就能知道列車的加速度 。擺式加速計

2、的原理。解：由動靜法, 有 解得 5第5頁，共49頁。例2 質量為m的物塊A，沿半徑為R的光滑圓形軌道從最高點無初速滑下，求在圖示位置軌道對物塊A的約束力。解：視物塊A為質點 切向慣性力法向慣性力將慣性力假想地加在質點上 列靜力學平衡方程第6頁，共49頁。動力學對平面任意力系：對于空間任意力系： 實際應用時, 同靜力學一樣任意選取研究對象, 列平衡方程求解。10-2 質點系的達朗伯原理7第7頁，共49頁。動力學 10-3 剛體慣性力系的簡化 簡化方法:將虛擬的慣性力系視作力系向任一點O簡化而得到一個慣性力 和一個慣性力偶 。 無論剛體作什么運動，慣性力系主矢都等于剛體質量與質心加速度的乘積，方

3、向與質心加速度方向相反。8第8頁，共49頁。動力學一、剛體作平動9第9頁，共49頁。動力學主矢：主矩：二、定軸轉動剛體 對于具有垂直于轉軸的質量對稱平面的簡單情況。10第10頁，共49頁。動力學向O點簡化：向質點C點簡化：作用在C點作用在O點11第11頁，共49頁。動力學討論：剛體作勻速轉動，轉軸不通過質點C 。轉軸過質點C，但0，慣性力偶 （與反向）12第12頁，共49頁。動力學討論：剛體作勻速轉動，且轉軸過質心，則（主矢、主矩均為零）13第13頁，共49頁。動力學 假設剛體具有質量對稱平面，并且平行于該平面作平面運動。此時，剛體的慣性力系可先簡化為對稱平面內的平面力系。剛體平面運動可分解為

4、隨基點（質點C）的平動：繞通過質心軸的轉動： 作用于質心三、剛體作平面運動14第14頁，共49頁。動力學 對于平面運動剛體：由動靜法可列出如下三個方程：實質上：質點系達朗伯原理的平衡方程實際上是動量定理和以固定點為矩心的動量矩定理的另一形式。15第15頁，共49頁。動力學 應用動靜法可以利用靜力學建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意選取，二矩式，三矩式等等。因此當問題中有多個約束反力時，應用動靜法求解它們時就方便得多。 10-3 達朗伯原理的應用16第16頁，共49頁。動力學 選取研究對象。原則與靜力學相同。 受力分析。畫出全部主動力和外約束反力。 運動分析。主要是剛體質心加速度

5、，剛體角加速度，標出 方向。 應用動靜法求動力學問題的步驟及要點：虛加慣性力。在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，一定要 在 正確進行運動分析的基礎上。熟記剛體慣 性力系的簡化結果。 17第17頁，共49頁。動力學 列動靜方程。選取適當的矩心和投影軸。 建立補充方程。運動學補充方程（運動量之間的關系）。 求解求知量。 注 的方向及轉向已在受力圖中標出，建立方程時，只需按 代入即可。18第18頁，共49頁。動力學例1 均質桿長l ,質量m, 與水平面鉸接, 桿由與平面成0角位置靜止落下。求開始落下時桿AB的角加速度及A點支座反力。 選桿AB為研究對象 虛加慣性力系： 解：根據動靜法，有19第19頁，

6、共49頁。動力學20第20頁，共49頁。動力學用動量矩定理+質心運動定理再求解此題：解：選AB為研究對象由得：由質心運動定理：21第21頁，共49頁。動力學 例2 牽引車的主動輪質量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，設車輪所受的主動力可簡化為作用于質心的兩個力 及驅動力偶矩M，車輪對于通過質心C并垂直于輪盤的軸的回轉半徑為，輪與軌道間摩擦系數為f , 試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅動力偶矩M 之最大值。 取輪為研究對象 虛加慣性力系： 解：由動靜法，得：O22第22頁，共49頁。動力學由(1)得由(2)得 N= P +S，要保證車輪不滑動，必須 Ff N =f (P+S) (5) 可見，

7、f 越大越不易滑動。 Mmax的值為上式右端的值。把(5)代入(4)得：O23第23頁，共49頁。動力學 例1 質量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉軸O的轉動慣量為I，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運動，求鼓輪的角加速度。 取系統(tǒng)為研究對象解：方法1 用達朗伯原理求解24第24頁，共49頁。動力學虛加慣性力和慣性力偶：由動靜法：列補充方程： 代入上式得：25第25頁，共49頁。動力學方法2 用動量矩定理求解 根據動量矩定理：取系統(tǒng)為研究對象26第26頁，共49頁。動力學取系統(tǒng)為研究對象，任一瞬時系統(tǒng)的兩邊除以dt，并求導數，得

8、方法3 用動能定理求解27第27頁，共49頁。 例1 均質矩形板重為 ，邊長為b、h，繩1和繩2平行，長度相等，與水平線的夾角為 。求水平繩3突然被剪斷時，板的加速度，及繩1，繩2的拉力。 第28頁，共49頁。解：繩3突然斷裂，板開始平動。初瞬時板上任一點的速度 。 加速度板的慣性力為列平衡方程 解得第29頁，共49頁。 例3 機構在水平面內運動，輪A半徑為r，曲柄OA長為3r。輪A與曲柄OA都是均質的，質量同為m。輪A在圓形輪道上作純滾動。機構由靜止開始運動。求該瞬時輪A與軌道間的摩擦力 ，輪A的角加速度 。 第30頁，共49頁。解：1、取曲柄OA為研究對象 桿質心的加速度為桿OA的慣性力為

9、 桿OA的慣性力偶為 列平衡方程 第31頁，共49頁。2、取輪為研究對象。輪作平面運動，由靜止開始運動 輪心A的加速度 輪的角速度 輪的慣性力 輪的慣性力偶 列平衡方程求解未知量 第32頁，共49頁。課堂練習第33頁，共49頁。動力學1. 物體系統(tǒng)由質量均為m的兩物塊A和B組成，放在光滑水平面上，物體A上作用一水平力F，試用動靜法說明A物體對B物體作用力大小是否等于F ？思考題：解：34第34頁，共49頁。動力學解： 2. 質量為M的三棱柱體A 以加速度 向右移動，質量為m的滑塊B以加速度 相對三棱柱體的斜面滑動，試問滑塊B的慣性力的大小和方向如何？35第35頁，共49頁。動力學 3. 勻質輪

10、重為P，半徑為 r ，在水平面上作純滾動。某瞬時角速度 ，角加速度為 ，求輪對質心C 的轉動慣量，輪的動量、動能，對質心的動量矩，向質心簡化的慣性力系主矢與主矩。解：36第36頁，共49頁。動力學4. 在圖示機構中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均為均質物體，各重為P和Q，半徑均為R，繩子不可伸長，其質量不計，斜面傾角，如在鼓輪上作用一常力偶矩M， 試求：(1)鼓輪的角加速度？ (2)繩子的拉力？ (3)軸承O處的支反力？ (4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？37第37頁，共49頁。動力學解：方法1 用達朗伯原理求解取輪O為研究對象，虛加慣性力偶列出動靜方程：取輪A為研究對象，虛

11、加慣性力 和慣性力偶MQC如圖示。38第38頁，共49頁。動力學列出動靜方程：運動學關系： ，將MQ，RQ，MQA及運動學關系代入到(1)和(4)式并聯立求解得：39第39頁，共49頁。動力學代入(2)、(3)、(5)式，得：40第40頁，共49頁。動力學方法2 用動力學普遍定理求解(1) 用動能定理求鼓輪角加速度。 取系統(tǒng)為研究對象兩邊對t求導數：41第41頁，共49頁。動力學(2) 用動量矩定理求繩子拉力 （定軸轉動微分方程） 取輪O為研究對象，由動量矩定理得(3) 用質心運動定理求解軸承O處支反力 取輪O為研究對象，根據質心運動定理：42第42頁，共49頁。動力學(4) 用剛體平面運動微

12、分方程求摩擦力 取圓柱體A為研究對象， 根據剛體平面運動微分方程方法3：用動能定理求鼓輪的角加速度 用達朗伯原理求約束反力（繩子拉力 、軸承O處反 力 和 及摩擦力 ）。43第43頁，共49頁。動力學5. 均質圓柱體重為P，半徑為R，無滑動地沿傾斜平板由靜止自O點開始滾動。平板對水平線的傾角為 ，試求OA=S時平板在O點的約束反力。板的重力略去不計。 解：(1) 用動能定理求速度，加速度圓柱體作平面運動。在初始位置時，處于靜止狀態(tài)，故T1=0；在末位置時，設角速度為，則vC = R , 動能為：P44第44頁，共49頁。動力學 主動力的功：由動能定理 得對 t 求導數，則：(2) 用達朗伯原理求約束反力取系統(tǒng)為研究對象，虛加慣性力 和慣性力偶MQCP45第45頁，共49頁。動力學列出動靜方程：46第46頁，共49