1、2012年第八屆北方數(shù)學奧林匹克邀請賽試題及解答第一天FDEBn匚N_):滿足咗一噸一一吒=111:求11-T2Tn5=n1.如虱在ABC:ZC=90M是內(nèi)心一直線EJ交AU于D作DE平行TA7交BC于&直線ET交于F證明：DF垂直于41一的最大可能值一設S=rx=(Tabb.a.bQ一求證：JTJ若皿S:31m,則yS:若m.nE足則mnS.平面上有n(n4)條直線對于直線aTb:在余下的n2條直線中=如果至少存在兩條直線與直線a.b都相交側(cè)稱直線込b是相合的直線對匚否則稱其是相離的直線對一若n條直線中相合直線對的個數(shù)比相離直線對的個數(shù)多2012.求冗的最小可能值(宜線對中的兩條aSFtHI

2、W).2012年第八屆北方數(shù)學奧林匹克建請賽第一題第二天1-已知數(shù)列陽：旬=0=S=n匸N-在數(shù)列s中任意取定一項%構(gòu)造數(shù)S-12列bn.bo=%爲=嚀一譏匚N-試判斷數(shù)列亦是有限數(shù)列還是無窮數(shù)列？并給出證明-2.設H.是正暑t證明3一如圖:S5邊形ABCDE電BC=DE:CD羽尸EE：ABAE:若ABAC=DAEZ4RAE且瓦=云方求證:AC平方線段HE（四邊形BCDE必須是等腰梯形否則命題不成立:有反例）2012年第八屆北方數(shù)學奧林匹克謹請賽第七題4一設戸是素數(shù):如果存在正整數(shù)!2使p|+l:證明:缺I1一-沒有小于P的素因子一a+1外+L參考答案ADEB201E年第八屆北方數(shù)學奧林匹克建

3、請賽第一題如圖所示連結(jié)CL容易計算得LAID=LICE=4$因為AI羽？TDE:所以AIDE=AAID=ICE:所以I:D:C:E四點共圓一于是AFID=DCE=9OZ:因此AIF=FID-ZAID=4az=MAID.=AI:所以AAFI全等于AADI:從而AF=AD:FI=ID:因此又由FAI=AIAD:AIAI是FD的中垂線一第一題第二題對xxlXn=111模s可知112Xn=3(mod8):因此必然肓n3.舉法可知元=3時匚不存在x-xl-zl=111的曲解:所以只需考慮元24一5_1_5fi91當n=4時一取巧=盹=巧=N珥=住此時S=.由柯西不等式有4424-CM3T+22(ZJz3

4、x4).所以巧也巧乞4W21(因為匕是正當715時=此時由柯西不等式有(nS)?冬侃(zf嘆)=111-n.綜上所述業(yè)最大可能值是亍第它第三題（神賜歐拉生）因為a2被3整除，所以a+沙和b4加也被3整除一設a+25=3m:b+2a=3足則a=2nm:b=Imn.注意到a2+ab+b，=(2nm)2+(2mn)2+(2nm)(2mn)=3(m2thn+n2)=3(77?2+m(n)+(n)2)因此若:rUS且ir是3的倍數(shù):那么GS.(2)(asbalatiua)注意到恒等式(a+a&+，祥)(c+cd+護)=(ac.bd)2+(acbd)(ad+bti斗&c)+(ad+bti+be)2即可-第

5、二天第一注意到因為bn=牛可得為_1bn-ibn=+1=&n-i=;這說明如果加=%則&!=斑一i=以此類推=可知bk=%=0:于是不存在&fc+i遞推式分母為耳所贈列偽是有E觀列第二天第二題考慮加強命題我們設（1+）（1+右）（1+圭）如為了利用歸納法匚則必須W2-f（n一1）,只需?兩足1fg）負仇-1）3n+1%顯然此時可以取畑=為了能夠歸納必須驗證況=1時是成立的匚即這是顯然的-另外一44乍法是引理當IEE(1.4-00)時:Whi(lI)IE.n(l_扌)u(i_*)n(l春)w52.只需證1113F麗犬注意到11113Fne=1即可一第二題第三題勿僥年第八屆北方數(shù)學奧林匹克謹請賽第

6、七題設工=ABAC=ZAE:y=ZCAD:再令a=BCA:尸=ZACK7=ZSDA8=ADE.由條件我們有四邊形BCDE是梯形=因此BD=CE:BCE=ABDE:即a-=7-0.下面我們證明sinasinQ=sin7sin&.注意到由IE弦走理有ABsinaAEsin$BCsinirTCEsinzy)ABsin7AEsin0BDsin(zy)DEsint因為BC=DKBD=CE:所以曲asin3=sinsin比因此CO(QCO(Qf0)=COS(7&)CO(7S),掃“OOOIHUBFN十opqpz追E”凰體換舊印EaGmFfr,gHg“Lnd”E8LHg燈淚6+LHg.cHo8.LHgu遙(枷舉柳Esffi劃T總I)”(61fH(gI璽IIII,bfcHmF眼直殂”盜B-HLHgc汕IIIHQS黑帶第二天第四題因為P是奇素數(shù):所以必然有P不整除d于是由費馬小走理有dPk(mod皿即a-1被P整除因為對正曲見有因此對奇素數(shù)p有(h_1.)=(a_1.應1_應_l_I)=(a-1,(護T(-1廠)-(嚴-(-1)P_?)(a-l)-p)=一=P-設q是小于p的素數(shù)且g是手于的素因子:則d-l=于是血如L設元是滿足an=1(modq)的最啲TF翠數(shù):則n2p:所以n=1.2.p.2p.然而由費馬小定理知護T=1(mod處所以n小于因此只需考慮n=l:n