1、第八章真空中靜電場1、三個(gè)電量為q 的點(diǎn)電荷各放在邊長為 r 的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上。電荷 Q (Q0 )放在三角形的重心上，為使每個(gè)負(fù)電荷受力為零，Q 之值應(yīng)為多大？解：利用矢量q 2cos 30 24 0 r 234 0 ( 3 )r23 q3所以Q Q2、線電荷密度為的無限長均勻帶電線，分別彎成如圖 (a) 和 (b) 所示的兩種形狀，若圓半徑為 R，試求(a)、(b) 圖中 O 點(diǎn)的場強(qiáng)。解：圖（a）由兩根半無限長帶電直線和一段圓弧組A成，方向。根據(jù)矢量EO E1 E 2 E 3 E 2B（a）2AE E O24 RE （B）10E2E ytg 1 E x= 45即與水平成 45E3

2、（A）B（b）圖（b）由兩根半無限長帶電直線和一段半圓弧組成，方向。根據(jù)矢量E E 2E cos 450 2 0Ox212 R4 R00 E1 sin 45 E sin 45 0003EOyEO 01E1（B）E2ORE3（A）3、有一細(xì)玻璃棒被彎成半徑為 R 的半圓形，其上半部均勻分布有電荷+Q，下半部均勻分布有電荷Q，如圖所示求半圓中心處的場強(qiáng)。解：由于對稱性，dE+、dE在x方向上的分量抵+R+OE x 0消dq dl Rd（ 2Q）RRd ddE 44 RR 200dE dE cos cos dy4 R0dQEy 2 dE cos 2cos 24 R2 R 2000方向沿y 方向4、一

3、無限大的均勻帶電平板，電荷密度為，在平板上挖去一個(gè)半徑為的圓孔，求通過圓孔中心并垂直于板的軸上一點(diǎn)的場強(qiáng)。解：取圓環(huán)元半徑為， dq 2d則圓環(huán)元在軸線上產(chǎn)生 dE 公式ORP1xdqdE xxp43(2 x2 ) 202xdE dE pRp3R24 (2 x 2 )0 x120 (R x )22 2方向沿x 軸方向25，在點(diǎn)電荷的電場中，取半徑為的平面，r在該平面的軸線上的點(diǎn)處求通過此圓平面的電通量。解法一：以 A 為中心，r 為半徑作一球面，則通過圓平面的電通量與通過以圓平面為底的球冠電通量相等。ROAqq通量 設(shè)球面積S 4r 2 ，000S 2r(r r cos ) 通量 球冠面積S

4、2r 2 (1 cos ) 1 cos 4r 2S200(1 cos ) q (1 cos ) x0220解法二：vrq E ds E cosds Rcos2xdx4 (x 2 h 2 )00h q1h2Rxdx4 (x 2 h 2 ) (x 2 h 2 )1020qhq=1 (1 cos )2(R 2 h 2 )1 22006、一半徑為R 的無限長直圓柱體，均勻帶電，電荷體密度 0，求電場場強(qiáng)分布；并用 E r 圖表示場強(qiáng)隨距離的分布情況。r q定理 Ev dS解：在圓柱體內(nèi)外取圖示面，由0R 2 hr R E dS E2rh 0R 22 0 rE r 2 hr R E dS E2rh 0E

5、 r 2 0E Rr37、一厚度為 d 的無限大平板，均勻帶電，體電荷密度為 ，求平板體內(nèi)、外場強(qiáng)的分布，并以其對稱面為坐標(biāo)原點(diǎn)作出 E x 的分布曲線。解：在平板內(nèi)外取圖示面，由定理 E dS 2E S 2xSd x d11220 xE10 x d2or x d2 E dS 2E2dE 2208、半徑為 R 的非金屬球帶有正電荷，電荷體密度隨徑向距離的變化滿足 =br，其中b 為常數(shù)，r 為離球心的距離，求球內(nèi)、外場強(qiáng)的分布。解：由于 與 r 成線性關(guān)系，電場分布仍有球?qū)ΨQ性，故可由定理求解。作同心球面為面 qr RdS E 4r 2 E內(nèi)內(nèi)0 q br4rr dr 4brr dr b又因2

6、3r400br 4br 2E 4 r 4內(nèi)200r Rq dV 4brRr dr b4Rr dr b23R400bR 4 E dS E 4r 2 外外0bR 4E 外4r 204Ev dr qS0S d S209、兩個(gè)同心的均勻帶電球面，半徑分別為R1=5.0cm，R2 =20.0cm，已知內(nèi)球面的電勢為 U1=60V，外球面的電勢U2= 30V求：內(nèi)、外球面上所帶電量；在兩個(gè)球面之間何處的電勢為零。q1q111解：（1） Udr () 60 (30) 90VR2R1R 2R14 r4R2R0012q1 6.67 10C10U2q2q1q 2U 60V又U1q14 R4 RR10 10 2R1

7、q 2 1.33 10 C9R2（2）令 r 處 U（r）=0q1q2 0即4 0r4 0 R2r=0.10m=10.0cm所以10、電荷 Q 均勻地分布在半徑為 R 的球體內(nèi)，試證明離球心 r (rR )處的電動(dòng)勢為Q 3R 2 r 2 U R830解：先由定理分別求出球內(nèi)、球外 EQrr R 4R 3E 0Qr R 4r 20Q3R 2 r 2 rrR rr rrU E dl E1 dl E 2 dl 80 R3rrR511、一均勻帶電細(xì)桿，長為l =15.0cm，電荷線密度 2.0107 C / m 求:細(xì)桿延長線上與桿的一端相距 a=5.0cm 處的電勢。細(xì)桿中垂線上與細(xì)桿相距 b=5

8、.0cm 處的電勢。dxdq解：（1） dU40 (l a x)40 (l a x)OdqlaxdxU l 2.5103 V4（l a x)00dx（2） dU 4x 2 b 20bl2dxU 4.3103 V l 4x 2 b 2-l/20dql/20212、半徑為 R 的無限長圓柱體中，電荷按體密度均勻分布，分別以勢位置；(2) 圓柱體表面為零電勢位置。求圓柱體內(nèi)、外的電勢。解：場強(qiáng)分布(1)軸線處為零電v r 2 l rv r R EdsE 2rlE200 R 2 l R 2r RE 2rlE 0dr 20 rr4（1） r RU 0r 2r200vv vvR2rr RU E dlE d

9、l (2 ln1)RR04rR0（2） r RU Edr (R 2 r 2 )R4r0R 2rr RU Edr lnRr2R0613、，AB=2l，弧OCD是以B為中心，l為半徑的半圓。A點(diǎn)有點(diǎn)電荷+q，B點(diǎn)有點(diǎn)電荷q。把正電荷從O 點(diǎn)沿弧OCD 移到D 點(diǎn)，電場力作了多少功?若把負(fù)電荷從 D 點(diǎn)沿 AB 的延長線移到無窮遠(yuǎn)處，電場力作功又為多少?C+qAq DO2llqq4 l4 l 0解：（1） U 000qqqU D4 3l4 l6 l000qA q(U U ) U U 10D0D6 l0q(2)A (U U ) 026 l014、在靜電透鏡實(shí)驗(yàn)裝置中，有一均勻帶電的圓環(huán)，內(nèi)半徑為R1，

10、外半徑為R2，其電荷面密度為 (負(fù)電)，現(xiàn)有一電子沿著軸線從無限遠(yuǎn)射向帶負(fù)電的圓環(huán)，欲使電子能穿過圓環(huán)，它的初始動(dòng)能至少要多大?解：設(shè)電子在無窮遠(yuǎn)處初動(dòng)能為Ek ,0 點(diǎn)電子動(dòng)能 0A e(U 0 U ) EK EKR22dqrdrU R24 r4 r0R100 (R R )R12210eE eU (R R )K02210715、一電偶極子原來與均勻電場平行，將它轉(zhuǎn)到與電場反平行時(shí)，外力作功為 A，則當(dāng)此電偶極子與場強(qiáng)成 45角時(shí)，此電偶極子所受的力矩為多少?解：QA Md PEsin 2PEd022A24 ( Pe E) 2Pe E )(12316、，三塊互相平行的均勻帶電大平面，電荷密度為 1=1.210 C/m ， =0.210 C/m ， =1.110 C/m ，-42-42-4223A點(diǎn)與平面II相距為 5.0cm，B點(diǎn)與平面II相距 7.0cm，求:(1) A、B 兩點(diǎn)的電勢差；AB= 1.010-8C的點(diǎn)電荷從A點(diǎn)移到B點(diǎn)，外(2) 把電量q0力克服電場力作功多少?IIIIII103解：（1） E E E E 1 2 3 2222A1230000310 32E B E1 E 2 E 3 03U U E 2AB（2） A A 0外靜A外 A靜 W q0 (UB UA )