1、2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.幾類函數(shù)模型知識(shí)梳理函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb (a、b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x) b (k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb (a，b為常數(shù)，a0) 函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性單調(diào)_單調(diào)_單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對(duì)

2、平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與 平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與 平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，有l(wèi)ogaxxn0)的函數(shù)模型稱為“對(duì)勾”函數(shù)模型：判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加25%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利.()(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快.()(3)不存在x0，使 ()(4)在(0，)上，隨著x的增大，yax(a1)的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxa(a0)的增長速度.()(5)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)yabxc(a0，b0，b1)增長速度越來越快的形象比喻.()思考辨析 1

3、.(教材改編)已知某種動(dòng)物繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為yalog3(x1)，設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到A.100只 B.200只C.300只 D.400只考點(diǎn)自測(cè)答案解析由題意知100alog3(21)，a100.y100log3(x1)，當(dāng)x8時(shí)，y100log39200.2.若一根蠟燭長20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖像表示為 答案解析根據(jù)題意得解析式為h205t(0t4)，其圖像為B. 3.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為答

4、案解析設(shè)年平均增長率為x，則(1x)2(1p)(1q)， 4.用長度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為A.3 B.4 C.6 D.12答案解析設(shè)隔墻的長度為x(0 x0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖像為 答案解析y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，應(yīng)隨時(shí)間增大而增大，故排除A，C；又因?yàn)樾⊥踉谝业匦菹?0分鐘，故排除B，故選D.題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題例2(1)某航空公司規(guī)定，乘飛機(jī)所攜帶行李的

5、質(zhì)量(kg)與其運(yùn)費(fèi)(元)由如圖的一次函數(shù)圖像確定，那么乘客可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量最大為_kg.答案解析19由圖像可求得一次函數(shù)的解析式為y30 x570，令30 x5700，解得x19.(2)一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為yaebt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過_min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一.答案解析16容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，則t24，所以再經(jīng)過16 min.思維升華求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定

6、系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該模型求解實(shí)際問題.跟蹤訓(xùn)練2(2015四川)某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33 的保鮮時(shí)間是_小時(shí).答案解析24 題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題命題點(diǎn)1構(gòu)造二次函數(shù)模型例3(2016武漢模擬)某城市對(duì)一種售價(jià)為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為(30 R)萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是A.4,8 B.6,10C.4%,

7、8% D.6%,10%根據(jù)題意得，要使附加稅不少于128萬元，需(30 R)160R%128，整理得R212R320，解得4R8，即R4,8.答案解析命題點(diǎn)2構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型例4光線通過一塊玻璃，強(qiáng)度要損失10%.設(shè)光線原來的強(qiáng)度為k，通過x塊這樣的玻璃以后強(qiáng)度為y.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；解答光線通過1塊玻璃后，強(qiáng)度y(110%)k0.9k；光線通過2塊玻璃后，強(qiáng)度y(110%)0.9k0.92k；光線通過3塊玻璃后，強(qiáng)度y(110%)0.92k0.93k；光線通過x塊玻璃后，強(qiáng)度y0.9xk.故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y0.9xk(xN).(2)至少通過多少塊這樣的玻璃，光

8、線強(qiáng)度能減弱到原來的 以下？(參考數(shù)據(jù)：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解答且xN，所以xmin14.故至少通過14塊這樣的玻璃，光線強(qiáng)度能減弱到原來的 以下.命題點(diǎn)3構(gòu)造分段函數(shù)模型例5(2016武漢模擬)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)20 x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).(1)當(dāng)0 x200時(shí)，求函數(shù)v(x

9、)的表達(dá)式；解答由題意可知當(dāng)0 x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20 x200時(shí)，設(shè)v(x)axb，顯然v(x)axb在20,200上是減函數(shù)，故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí))解答依題意并由(1)可得當(dāng)0 x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60201 200；當(dāng)且僅當(dāng)x200 x，即x100時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約3 333輛/小時(shí).思維升華構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，要正確理解題意，分清條

10、件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽略實(shí)際問題對(duì)變量的限制.跟蹤訓(xùn)練3(1)一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)道路交通安全法規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL，那么，此人至少經(jīng)過_小時(shí)才能開車.(精確到1小時(shí))答案解析5設(shè)經(jīng)過x小時(shí)才能開車.由題意得0.3(125%)x0.09，0.75x0.3，xlog0.750.34.19.x最小為5.(2)大學(xué)畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店，經(jīng)過預(yù)算，該門面需要裝修費(fèi)為20

11、 000元，每天需要房租、水電等費(fèi)用100元，受經(jīng)營信譽(yù)度、銷售季節(jié)等因素的影響，專賣店銷售總收益R與門面經(jīng)營天數(shù)x的關(guān)系是R(x)則總利潤最大時(shí)，該門面經(jīng)營的天數(shù)是_.答案解析300由題意，總利潤所以當(dāng)x300時(shí)，ymax25 000，當(dāng)x400時(shí)，y60 000100 x20 000，綜上，當(dāng)x300時(shí)，總利潤最大為25 000元.典例(12分)已知美國某手機(jī)品牌公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元.設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且R(x)(1)寫出年利潤W(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式；(

12、2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤. 函數(shù)應(yīng)用問題答題模板系列2思維點(diǎn)撥規(guī)范解答答題模板根據(jù)題意，要利用分段函數(shù)求最大利潤.列出解析式后，比較二次函數(shù)和“對(duì)勾”函數(shù)的最值的結(jié)論.返回解(1)當(dāng)0 x40時(shí)，WxR(x)(16x40)6x2384x40，2分(2)當(dāng)0 x40時(shí)，W6(x32)26 104，所以WmaxW(32)6 104； 6分即x50(40，)時(shí)，取等號(hào)，所以W取最大值為5 760.10分綜合知，當(dāng)x32時(shí)，W取得最大值6 104萬美元.12分返回解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：第一步：(審題)弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二

13、步：(建模)將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：(解模)求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：(還原)將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義；第五步：(反思)對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性.返回課時(shí)作業(yè)1.在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：答案解析則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是A.y2x B.yx21C.y2x2 D.ylog2x根據(jù)x0.50，y0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x2.01，y0.98，代入計(jì)算，可以排除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)ylog2x，可知滿足題意.12345678910111213

14、x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A，C圖像符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，故選A.2.某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖像正確的是答案解析12345678910111213123456789101112133.某家具的標(biāo)價(jià)為132元，若降價(jià)以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對(duì)進(jìn)貨價(jià))，則該家具的進(jìn)貨價(jià)是A.118元 B.105元 C.106元 D.108元答案解析設(shè)進(jìn)貨價(jià)為a元，由題意

15、知132(110%)a10%a，解得a108.4.某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10 m3的，按每立方米m元收費(fèi)；用水超過10 m3的，超過部分加倍收費(fèi).某職工某月繳水費(fèi)16m元，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水為A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3答案解析設(shè)該職工用水x m3時(shí)，繳納的水費(fèi)為y元，則10m(x10)2m16m，解得x13.12345678910111213123456789101112135.(2016北京朝陽區(qū)統(tǒng)一考試)設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn)，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值t萬元(t為正常數(shù)).公司決定從原有員工中分

16、流x(0 x0).則當(dāng)年廣告費(fèi)投入_萬元時(shí)，該公司的年利潤最大.答案解析4故當(dāng)年廣告費(fèi)投入4萬元時(shí)，該公司的年利潤最大.12345678910111213123456789101112138.某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為yekt(其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間，單位：小時(shí)，y表示病毒個(gè)數(shù))，則k_，經(jīng)過5小時(shí)，1個(gè)病毒能繁殖為_個(gè).答案解析2ln 21 024當(dāng)t0.5時(shí)，y2，k2ln 2，ye2tln 2，當(dāng)t5時(shí)，ye10ln 22101 024.9.(2016寶雞模擬)在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為_m.答案

17、解析20設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長為y，所以面積Sx(40 x)x240 x(x20)2400(0 xa)以及實(shí)數(shù)x(0 x1)確定實(shí)際銷售價(jià)格cax(ba).這里，x被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中項(xiàng).據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于_.答案解析12345678910111213bc(ba)(ca)，(ca)2(ba)2(ba)(ca)，兩邊同除以(ba)2，得x2x10，1234567891011121311.候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模的遷徙，研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn)，該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為va (其

18、中a、b是實(shí)數(shù)).據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥類在靜止的時(shí)候其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，其飛行速度為1 m/s.(1)求出a、b的值；解答由題意可知，當(dāng)這種鳥類靜止時(shí)，它的速度為0 m/s，此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位，當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，速度為1 m/s，12345678910111213(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要多少個(gè)單位？解答所以要使飛行速度不低于2 m/s，則有v2，所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要270個(gè)單位.1234567891011121312.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品在過去50天的銷售量和價(jià)格均為銷售時(shí)間t(天)的函數(shù)，且銷售量近似地滿足f(t)2t200 (1t50，tN).前30天價(jià)格為g(t) 30 (1t30，tN)，后20天價(jià)格為g(t)45 (31t50，tN).(1)寫出該種商品的日銷售額S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系；解答依題意得12345678910111