1、.：.；第一章 數(shù)學(xué)模型概述1.1 數(shù)學(xué)模型概述數(shù)學(xué)模型的歷史可以追朔到人類開場運用數(shù)字的時代。隨著人類運用數(shù)字，就不斷地建立各種數(shù)學(xué)模型，以處理各種各樣的實踐問題。真正開場提出并研討它是20世紀(jì)70年代后，由于它的廣泛性與適用性，于是迅速推行開來。大家能夠記得，從20世紀(jì)80年代起，我國科技界興起一股不論對什么問題進(jìn)展研討，都要建立數(shù)學(xué)模型的風(fēng)氣。從此不論是經(jīng)濟(jì)、法律、醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、交通、軍事等領(lǐng)域，數(shù)學(xué)模型已不再是陌生的名詞。在工程領(lǐng)域，電氣工程師必需建立所要控制的消費過程的數(shù)學(xué)模型，以便對控制安裝做出相應(yīng)的設(shè)計和計算，才干實現(xiàn)有效的過程控制。氣候任務(wù)者為了得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)告，一刻也離不開根

2、據(jù)氣候站、氣候衛(wèi)星聚集的氣壓、雨量、風(fēng)速等資料建立數(shù)學(xué)模型。生理醫(yī)學(xué)專家有了藥物濃度在人體內(nèi)隨時間、空間變化的數(shù)學(xué)模型，就可以分析藥物的療效，有效的指點臨床用藥。城市規(guī)劃者需求建立一個包括人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為指點層對城市開展規(guī)劃的決策提供科學(xué)根據(jù)。廠長經(jīng)理們應(yīng)該可以根據(jù)產(chǎn)品的需求情況、消費條件和本錢、貯藏費用等信息，謀劃出一個合理安排消費和銷售的數(shù)學(xué)模型。就是在平常對大學(xué)生的綜合素質(zhì)測評、對教師的任務(wù)業(yè)績的評定以及諸如訪友、采購等日常活動，都可以建立一個數(shù)學(xué)模型，確立一個最正確方案。對于寬廣的科學(xué)技術(shù)任務(wù)者對大學(xué)生的綜合素質(zhì)測評、對教師的任務(wù)業(yè)績的評定以及諸如訪友、采購

3、等日?；顒?，都可以建立一個數(shù)學(xué)模型，確立一個最正確方案。建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實踐問題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)絡(luò)的一座必不可少的橋梁。1.2 數(shù)學(xué)模型概念什么是數(shù)學(xué)模型？國外曾有人為它下了一個簡單的定義：把實踐問題中各變量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)方式表示出來，叫數(shù)學(xué)模型。由于它的廣泛性，這樣的定義是難以真正了解它的真實含義的。下面舉例來闡明。 1、各種運用題的解過程都是數(shù)學(xué)模型。小學(xué)的數(shù)學(xué)題可以分為文字題、碼字題兩類，文字題較難，何況還可以有不同的方法、思緒，這部分就是在建模。碼字題是以有算式，只需求求解可看作是模型的求解。有這樣一道題：雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？用x,y分別表示雞與兔

4、，可以列出方程 x+y=46 ,2x+4y=128 實踐上，這組方程就是上述雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型。列出方程，原問題已轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問題。方程的解為x=28,y=18,這就是雞兔同籠問題的答案。2、九大行星的發(fā)現(xiàn)過程。太陽系有金星、木星、水星、火星、土星、地球、天王星、海王星和冥王星等九大行星。在人類開展的歷史長河中，很早就經(jīng)過察看留意到了金、木、水、火、土五星與其他星不同，中國歷史上的“五行一說也來源于此。在伽利略、哥白尼的太陽中心說確立后，到它們與地球一同是太陽系的行星，不久又發(fā)現(xiàn)了天王星，之后就沒有單純依托觀測發(fā)現(xiàn)其它行星。微積分開展起來之后，人們開場計算太陽系每顆行星的軌道?？茖W(xué)家發(fā)

5、現(xiàn)除了天王星之外，其它行星的實際軌道根本吻合，而天王星相差較大，仿佛遭到變化的外力，估計有另外的行星經(jīng)過萬有引力在影響著它的運動。于是根據(jù)天王星運動的差別，經(jīng)過計算確定在天空的某一位置應(yīng)有一顆行星，這樣在確定的區(qū)域里去尋覓，終于發(fā)現(xiàn)了第八顆行星海王星。后來，有人又用同樣方法發(fā)行了冥王星。用數(shù)學(xué)模型的方法找到海王星的事例 ，是人類最初也是最重要的數(shù)學(xué)模型運用的范例。 3、美國總統(tǒng)競選的模擬?？偨y(tǒng)競選是西方國家政治上的頭等大事。早在20世紀(jì)30年代美國有人企圖用模擬的方法去預(yù)測一下評選結(jié)果，于是國家出資成立一個專門的預(yù)測機構(gòu)。經(jīng)過搜集資料，設(shè)計不同的模擬方法，進(jìn)展預(yù)測。開場沒有運用計算機，后來運用

6、計算機，前后預(yù)測了十幾屆的總統(tǒng)選舉，都收到非常好的效果。首先選舉結(jié)果沒有預(yù)測錯，其次票數(shù)也根本一致，這里主要是采用模擬模型。4、內(nèi)燃機。從20世紀(jì)80年代初起，國內(nèi)興起優(yōu)化設(shè)計的風(fēng)氣，各行各業(yè)的設(shè)計部門紛紛采用各種方法對本人的設(shè)計進(jìn)展優(yōu)化。日本在這方面走在前面，各種產(chǎn)品小巧而精致，性能又好。內(nèi)燃機設(shè)計行業(yè)首先留意到，內(nèi)燃機的性能主要由進(jìn)氣過程、排氣過程而決議，而兩個過程由凸輪來完成，那么凸輪的外形設(shè)計自然是內(nèi)燃機性能的主要決議要素了。但凸輪有許多個，每一條曲線的外形都影響性能，而性能也由許多目的構(gòu)成。這比n維變量m個目的函數(shù)的非線性規(guī)劃難得多，雖然許多人在這些方面做了大量任務(wù)，但是本質(zhì)的問題數(shù)

7、學(xué)模型的建立沒有處理。至今仍是運用領(lǐng)域的一個有待處理的實踐問題。 又有人提出一種方法，排氣管里的壓力波能充分決議整機的任務(wù)性能，經(jīng)研討這個壓力波滿足熱傳導(dǎo)方程，而不同的設(shè)計對應(yīng)著方程中參數(shù)a與初始條件、邊境條件的改動 。 反過來確定a與一組初始條件、邊境條件也就相當(dāng)于進(jìn)展了一個設(shè)計。于是采用計算機模擬這個熱傳導(dǎo)方程的開展過程，在反復(fù)調(diào)整邊境與初始條件在模擬，尋覓最優(yōu)的性能就是一種全新的內(nèi)燃機優(yōu)化設(shè)計方法。 5、沖壓過程的有限元模型。沖壓是汽車、遷延機等行業(yè)非常重要的加工手段，即板材在壓力下加工成型。模具是蟲牙行業(yè)最重要的設(shè)備。本錢最高，遠(yuǎn)超出常人的料想。一套模具在設(shè)計、制造出來以后，它的性能曾

8、經(jīng)決議，不能更改。因此模具的設(shè)計與制造都是責(zé)任很大的任務(wù)，技術(shù)性要求很高，能否在設(shè)計時用計算機模擬一下所設(shè)計的模具的任務(wù)性能呢？這是當(dāng)今世界上公認(rèn)的難題之一。我國年輕學(xué)者胡平教授潛心研討近十年，根本上處理了這一難題，世界上公認(rèn)他的成果處于首位。他是采用有限元剛度矩陣勝利模擬了瞬間的鋼板變形，指出危險應(yīng)力區(qū)與詳細(xì)的應(yīng)力值，這樣反復(fù)修正設(shè)計、反復(fù)模擬，即可得到性能優(yōu)良的模具設(shè)計。6、四處都有數(shù)學(xué)模型的問題。不是只需那些大型、中心的問題才有數(shù)學(xué)模型問題。在我們身邊四處都是需處理的問題。20年前中央發(fā)下的售房的價錢通知中，有這樣一個公式，根據(jù)房子本錢價、運用年限以及工齡等可算出應(yīng)售出的價錢。公式中有一

9、括號，括號內(nèi)是加減運算，其中一項為哪一項工齡，括號外是一乘法運算，因子是用房子運用年限構(gòu)成的“成新率，含義是按運用年限對房屋進(jìn)展折舊。但是有心人馬上能看出公式有缺陷；工齡也被折舊了！本來對這樣一個簡單的公式，只需對大家都公平，沒有仔細(xì)琢磨，也都知道這不是出于數(shù)學(xué)任務(wù)者之手，不用求全指摘?？善皇沁@樣，明顯看出這種公式對工齡越長、住房越久的人越不公平。從這個問題更看出普及建模才干的必要性。 從以上 我們可以看出數(shù)學(xué)建模的威力，它正在浸透在科學(xué)研討、工、農(nóng)業(yè)消費、我們?nèi)粘Ｉ畹雀鞣矫?。那么?shù)學(xué)建模的準(zhǔn)確定義是什么呢？ 數(shù)學(xué)建模是運用數(shù)學(xué)的言語和工具，對部分現(xiàn)實世界的信息景象、數(shù)據(jù)加以翻譯、歸納的

10、產(chǎn)物。數(shù)學(xué)模型經(jīng)過演繹、求解以及推斷，給出數(shù)學(xué)上的分析、預(yù)測、決策或控制，再經(jīng)過翻譯和解釋，回到現(xiàn)實世界中。最后，這些推論或結(jié)果必需經(jīng)受實踐的檢驗，完成實際實際實際這一循環(huán)，假設(shè)檢驗的結(jié)果是正確或根本正確的，即可用來指點實踐，否那么，要重新思索翻譯、歸納的過程，修正數(shù)學(xué)模型。作為一種數(shù)學(xué)思索方法，數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實的對象經(jīng)過心智活動構(gòu)造出的一種能抓住其重要而且有用的經(jīng)常是籠統(tǒng)化的或者是符號的表示。更詳細(xì)的，它是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，為了某個特定目的，做出一些必要的簡化和假設(shè)，動用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個數(shù)學(xué)構(gòu)造。它或者能解釋特定景象的現(xiàn)實性態(tài)，或者能預(yù)測對象的未來情況，或者能提供處置對象

11、的最優(yōu)決策或控制。數(shù)學(xué)模型的分類方法有多種，下面引見常用的幾種分類。1按照建模所用的數(shù)學(xué)方法的不同，可分為：人口模型、運籌學(xué)模型、微分方程模型、概率統(tǒng)計模型、控制論模型等2按照數(shù)學(xué)模型運用領(lǐng)域的不同，可分為人口模型、交通模型、體育模型、經(jīng)濟(jì)預(yù)測模型、金融模型、環(huán)境模型、生理模型、生態(tài)模型、企業(yè)管理模型等。3按照人們對建模機理的了解程度的不同，有所謂的白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。這是把研討對象比喻為一只箱子里的機關(guān)，我們要經(jīng)過建模過程來提示它的微妙。白箱主要指物理、力學(xué)等一些機理比較清楚的學(xué)科描畫的景象以及相應(yīng)的工程技術(shù)問題，這些方面的數(shù)學(xué)模型大多曾經(jīng)建立起來，還需深化研討的主要是針對詳細(xì)問題

12、的特定目的進(jìn)展修正與完善，或者是進(jìn)展優(yōu)化設(shè)計與控制等?；蚁渲饕干鷳B(tài)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中遇到的模型，人們對其機理雖有所了解，但還不很清楚，故稱為灰箱模型。在建立和改良模型方面還有不少任務(wù)要做。黑箱主要指生命科學(xué)、社會科學(xué)等領(lǐng)域中遇到的模型機理知之甚少，甚至完全不清楚，故稱為黑箱模型。人們對其在工程技術(shù)和現(xiàn)代化管理中，有時會遇到這樣一類問題：由于要素眾多、關(guān)系復(fù)雜以及觀測困難等緣由，人們也經(jīng)常將它作為灰箱或黑箱模型問題來處置。應(yīng)該指出的是，這三者之間并沒有嚴(yán)厲的界限，而且隨著科學(xué)技術(shù)的開展，情況也是不斷變化的。1按照模型的表現(xiàn)特性可分為：確定性與不確定性模型，不確定模型包括隨機性與模糊性模型；靜態(tài)模型

13、與動態(tài)模型；離散模型與延續(xù)模型；線性模型與非線性模型。1.3 建立數(shù)學(xué)模型的方法與步驟現(xiàn)實世界中的實踐問題是多種多樣的，而且大多比較復(fù)雜，所以建立數(shù)學(xué)模型需求哪些步驟并沒有固定的方式，建立數(shù)學(xué)模型的方法也是多種多樣的。但是建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟也有一些共性的東西，掌握這些共同的規(guī)律，將有助于數(shù)學(xué)模型的建立。一、數(shù)學(xué)建模的方法數(shù)學(xué)建模的方法按大類來分，大體上可分為三類：1、機理分析法機理分析法就是根據(jù)人們對現(xiàn)實對象的了解和已有的知識、閱歷等，分析研討對象中各變量要素之間的因果關(guān)系，找出反映其內(nèi)部機理規(guī)律的一類方法。建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義。運用這種方法的前提是我們對研討對象的機理應(yīng)有

14、一定的了解，模型也要求具有反映內(nèi)在特征的物理意義。機理分析要針對詳細(xì)問題來做，因此沒有一致的方法。2、測試分析法 測試分析法是一種統(tǒng)計分析法。當(dāng)我們對研討對象視為一個“黑箱系統(tǒng)，對系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)進(jìn)展觀測，并以這些實測數(shù)據(jù)為根底進(jìn)展統(tǒng)計分析，按照一定準(zhǔn)那么找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型。當(dāng)我們對對象的內(nèi)部規(guī)律根本不清楚，模型也不需求反映內(nèi)部特征時，就可以用測試分析建立數(shù)學(xué)模型。測試分析有一套完好的數(shù)學(xué)方法。3、綜合分析法對于某些實踐問題，人們常將上述兩種建模方法結(jié)合起來運用，例如用機理分析法確定模型構(gòu)造，再用測試分析法確定其中的參數(shù)。二、數(shù)學(xué)建模的根本步驟 1、模型預(yù)備對原始實踐問題進(jìn)展調(diào)查了解

15、，籠統(tǒng)出言語表達(dá)的模型及相應(yīng)的數(shù)據(jù)條件等，常稱為原始模型。建模競賽時常換為問題重述實踐上籠統(tǒng)出原始模型時經(jīng)常已對模型的進(jìn)一步建立及求解有了一些想法，比如采用哪種類型模型等。此步驟留意要將一切搜集到信息表述出來，不得脫漏。2、 模型的假設(shè) 這是非常關(guān)鍵的步驟，不同的假設(shè)將導(dǎo)致不同的模型。利用合理的、必要的假設(shè)，可簡化模型使無法下手的問題易于處理。但過度的簡化而得到模型能夠無適用價值，舍不得簡化又能夠?qū)е碌玫揭粋€無法求解的模型或模型的解非常復(fù)雜，以致無法運用。究竟簡化到什么程度要看問題的性質(zhì)與建模的目的以及建立模型中的某些需求。這里要提示留意的是：對于一個假設(shè)，最重要的是它能否符合實踐情況，而不是

16、為理處理問題的方便。 通常做出合理假設(shè)的根據(jù)一是處于對問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識，二是對數(shù)據(jù)或景象的分析，也可是兩者的綜合。作假設(shè)時既要運用與問題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面的知識，又要充分發(fā)揚想象力、洞察力和判別力，擅長區(qū)分問題的主次，抓住主要要素，舍棄次要要素，盡量使問題簡化比如線形化、均勻化等。閱歷在這里也常起重要作用 有些假設(shè)在建模過程中才會發(fā)現(xiàn)。因此在建模是要留意調(diào)整假設(shè)。 3 、模型的建立 根據(jù)所做的假設(shè)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各個量之間的等式或不等式關(guān)系，列出表格，畫出圖形或確定其他數(shù)學(xué)構(gòu)造，是建立數(shù)學(xué)模型的第三步。為了完成這項數(shù)學(xué)模型的主體任務(wù)，人們經(jīng)常需求寬廣的運用數(shù)學(xué)知識，

17、除了微積分、微分方程、線形代數(shù)及概率統(tǒng)計等根底知識外，還會用到諸如規(guī)劃論、排隊論、圖與網(wǎng)絡(luò)及對策論等。推而廣之，可以說任何一個數(shù)字分支都能夠運用到建模過程中。當(dāng)然，這并非是要求他對數(shù)學(xué)的各個分支都知曉，現(xiàn)實上，建模時還有一個原那么，即盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，以便使更多的人了解和運用。當(dāng)然建模時需求有靈敏、清醒的頭腦和發(fā)明性思想的才干。4 、模型的求解 根據(jù)模型的性質(zhì)，選擇適當(dāng)方法去解。能夠是解析方法，也可是求近似解。再根據(jù)建模目的對系統(tǒng)進(jìn)展預(yù)測，決策與控制。5、模型的檢驗 把上述結(jié)果翻譯回原問題，并與實踐數(shù)據(jù)進(jìn)展比較，檢驗?zāi)Ｐ偷倪m用性與合理性。假設(shè)模型不適用，必需從模型假設(shè)那里重新開場，直到得

18、到可用模型。6、模型的推行在一個領(lǐng)域里處理問題時建立的模型，經(jīng)常簡單的稍加處置推行到其他領(lǐng)域。討論一下這方面內(nèi)容常可添加模型的運用價值。1.4 數(shù)學(xué)建模實例1 、動物數(shù)量預(yù)測 動物繁衍是一個非常復(fù)雜的問題，但是假設(shè)把影響繁衍的許多次要要素忽略掉或簡單化，可以用微分方程來描畫動物繁衍的近似規(guī)律，從而預(yù)測動物的未來數(shù)量。 如今思索一種與外界完全隔絕的某種動物，這里所說的與外界完全隔絕是指他們中間除了本族的出生和死亡之外，既無遷出也無遷入。設(shè)在時間內(nèi)這種動物的數(shù)量為，并設(shè)他們的出生率與死亡率分別為與。假設(shè)他們的出生數(shù)與死亡數(shù)都和時的動物數(shù)及時間成正比。如今討論動物數(shù)與時間之間的函數(shù)關(guān)系。 ：設(shè)時間間

19、隔內(nèi)動物數(shù)量的增量為，由題意，在時間內(nèi)這類動物的出生量與死亡量分別為與。根據(jù)增量=出生量-死亡量 容易得到 即 假設(shè)處始條件為，解上變量可分別方程， 得 那么 或?qū)懗?從上式看出，假設(shè)，那么動物數(shù)量將無限添加；假設(shè)，那么動物數(shù)量將逐漸減少，趨于滅亡。這樣的結(jié)論是非常天真的，現(xiàn)實決不會如此簡單。為此生物學(xué)家及數(shù)學(xué)家根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)對作了修正，使節(jié)果能更符合現(xiàn)實。比如，設(shè) ，式中均為正常數(shù)。上兩式闡明出生率與死亡率已不再是常數(shù)。而是的線性函數(shù)，前者均勻隨減小，后者均勻隨添加。這時方程1-1化為令 那么上式化為即 積分上式留意到 得 或其中是 時的動物數(shù)，不論初值多少，當(dāng) 時，的極限總為 。 可以用實驗

20、的方法對不同的問題，像人口的增長、傳染病的發(fā)生率等來確定1式的圖形。這個圖形稱為Logistic曲線。所以2004年的動物數(shù)量是174(百萬)只。 2、在越野賽中取勝的方法越野賽在湖邊舉行，場地情況如書中 圖1-2：出發(fā)點在陸地處，終點在湖心島處，南北相距5km，東西7km，湖岸位于點南側(cè)km，是一條東西走向的筆直長堤。競賽中運發(fā)動可自行選擇道路，但必需先從出發(fā)到達(dá)長堤，再從長堤處下水游泳到達(dá)終點。知運發(fā)動甲跑步速度為，游泳速度為。問他們應(yīng)該在長堤的何處下水才干使競賽用時最少？以長堤作為軸建立直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)分別是，。設(shè)甲在軸上處下水，為使耗時最少，運發(fā)動在陸上和水中的運動道路應(yīng)該都取直線。跑

21、步耗時：游泳耗時：全程總耗時：求 ，使 到達(dá)極小。 1-5 令 ，得 1-6 利用1-6可解出駐點 。計算可知，類似可得 比較端點與駐點處的值，可知 時到達(dá)最小值。因此，甲應(yīng)該在處下水，才干使競賽全程用時最少。第二章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型2.1 線性規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的普通表達(dá)式： 其中為目的函數(shù)，為約束函數(shù)，為可控變量，為知參數(shù)，為隨機參數(shù)。 數(shù)學(xué)規(guī)劃分為線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃等十幾種。一線性規(guī)劃的普通方式及其解的概念1.線性規(guī)劃:通常把目的函數(shù)及約束都是線性表達(dá)式的規(guī)劃問題稱為線性規(guī)劃，普通可表示為： ，那么線性規(guī)劃模型1可表示為矩陣的方式：2. 線性規(guī)劃的可行解:滿足約束條件

22、的解；3.線性規(guī)劃的最優(yōu)解:使目的函數(shù)到達(dá)最優(yōu)的可行解。二軟件求解命令求解線性規(guī)劃的軟件很多，下面引見Mathematica和MATLAB軟件。1Mathematica命令可用于求解各種方式線性規(guī)劃命令。 命令輸入格式 c=c1x1+c2x2+cnxn；m=a11x1+a12x2+a1nxn=b1，am1x1+am2x2+amnxn=bm；ConstrainedMinc，m，x1,x2, ,xn 用于求極小或Constrained-Maxc，m，x1,x2, ,xn用于求極大2MATLAB命令命令輸入格式它用于求解線性規(guī)劃模型：，x0是算法迭代的初始點可恣意取，nEq表示等式約束的個數(shù)。三、模

23、型示范 三 模型示范例1 、 消費組織與方案問題某工廠方案消費甲、乙兩種產(chǎn)品，主要資料有鋼材3600kg、公用設(shè)備才干3000臺時。資料與設(shè)備才干的耗費定額以及單位產(chǎn)品所獲利潤如下表所示，問如何安排消費，才干使該廠所獲利潤最大只需建立數(shù)學(xué)模型。單位產(chǎn)品消 產(chǎn) 甲件 乙件 現(xiàn)有資料與備 資料與設(shè)備 耗定額品 設(shè)備才干鋼材kg 9 4 3600銅材kg 4 5 2000設(shè)備才干臺時 3 10 3000單位產(chǎn)品的利潤元 70 120建模過程： 設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品方案消費量分別為，(件)，總的利潤為(元)。求變量，的值為多少時，才干使總利潤最大？建立數(shù)學(xué)模型： 例2、營養(yǎng)配餐問題每種蔬菜含有的營養(yǎng)素成份

24、是不同的從醫(yī)學(xué)上知道每人每周對每種營養(yǎng)成分的最低需求量。某醫(yī)院營養(yǎng)室在制定下一周菜單時，需求確定表61中所列六種蔬菜的供應(yīng)量，以便使費用最小而又能滿足營養(yǎng)素等其它方面的要求。規(guī)定白菜的供應(yīng)一周內(nèi)不多于20千克，其它蔬菜的供應(yīng)在一周內(nèi)不多于40千克，每周共需供應(yīng)140千克蔬菜，為了使費用最小又滿足營養(yǎng)素等其它方面的要求，問在下一周內(nèi)該當(dāng)供應(yīng)每種蔬菜各多少千克？建模過程：設(shè)分別表示在下一周內(nèi)該當(dāng)供應(yīng)的青豆、胡蘿卜、菜花、白菜、甜菜及土豆的量，那么費用的目的函數(shù)為：建立數(shù)學(xué)模型：0 x140，0 x240，0 x340，0 x420，0 x540，0 x640運用MATLAB程序求解得青豆40，胡羅

25、卜40.0000，菜花0，白菜20.0000，甜菜0，土豆40，最小費用560.0000。 例3、背包問題有件物品，編號為。第件重為，價值為元。今一裝包者欲將這些物品裝入一包，其質(zhì)量不能超越，問應(yīng)裝入哪幾件價值最大？建模過程： 設(shè)， 建立模型： 例4、投資場所的選定相互排斥的方案某公司擬在市東、西、南三區(qū)建立門市部。擬議中有7個位置點可供選擇。規(guī)定 在東區(qū)，由三個點中至多項選擇兩個； 在西區(qū)，由兩個點中至少選一個；在南區(qū)，由兩個點中至少選一個。如選用點，設(shè)備投資估計為元，每年可獲利潤估計為元，但投資總額不能超越元。問應(yīng)選擇哪幾個點可使年利潤為最大？建模過程：引入變量，令 .建立模型： 2.2

26、非線性規(guī)劃模型在數(shù)學(xué)規(guī)劃問題中，當(dāng)目的函數(shù)或約束函數(shù)中至少有一個是非線性函數(shù)時稱這類問題為非線性規(guī)劃。一、非線性規(guī)劃的普通規(guī)范方式1.非線性規(guī)劃：設(shè)均為上的實值函數(shù)，我們稱為非線性規(guī)劃的規(guī)范普通方式。2.可行域:假設(shè)令 稱為可行域，那么可寫成簡單方式3.無約束問題與約束問題：當(dāng)時，稱為無約束問題，否那么稱為約束問題。二模型示范例5、 某裝飾資料公司欲以每桶2元的價錢購進(jìn)一批彩漆。普通來說隨著彩漆售價的提高，預(yù)期銷售量將減少，并對此進(jìn)展了估算，見表1。為了盡快收回資金并獲得較多的贏利，裝飾資料公司計劃做廣告，投入一定的廣告費后，銷售量將有一個增長，可由銷售增長因子來表示。根據(jù)閱歷，廣告費與銷售增

27、長因子關(guān)系見表2。如今的問題是裝飾資料公司采取怎樣的營銷戰(zhàn)略預(yù)期的利潤最大？表1 表2建模過程：設(shè)x表示售價單位：元，y表示預(yù)期銷售量單位：桶，z表示廣告費單位：元，k表示銷售增長因子。投入廣告費后，實踐銷售量記為s， 獲得的利潤記為P單位：元。由表1易見預(yù)期銷售量y 隨著售價x 的添加而單調(diào)下降，而銷售增長因子k在開場時隨著廣告費z的添加而添加，在廣告費z等于50000元時到達(dá)最大值，然后在廣告費添加時反而有所回落，為此可用Mathematica畫出散點圖。運轉(zhuǎn)之后，可顯示圖1，圖2 圖-1 圖-2從圖1和圖2易見，售價與預(yù)期銷售量近似于一條直線，廣告費與銷售增長因子k近似于一條二次曲線。為

28、此可令： 系數(shù)是待定參數(shù)。建立模型： 模型求解： 首先利用Mathematica計算12中的參數(shù)，并畫出散點圖和擬合曲線。文件名：ch622.ma f3=Fitd1,1,x,x f4=Plotf3,x,1,7Showf1,f4f5=Fitd2,1,x,x2,xf6=Plotf5,x,0,70000Showf2,f6運轉(zhuǎn)之后，顯示Out3= 50422.2-5133.33xOut5=1.01875+0.0000409226x-4.25595 10-10 x2 圖-3 圖-4 及擬合曲線圖-3和圖-4。圖-3 即： 其次用MATLAB求解優(yōu)化模型，因MATLAB中僅能求極小值，為此將優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為

29、且=5.9113，=33113，函數(shù)到達(dá)最大值16670。2.3 多目的規(guī)劃模型一.多目的規(guī)劃模型的普通方式為稱之為多目的規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)記那么上述模型可簡記為二.模型示范 例1、投資收益和風(fēng)險問題這是全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的A題。市場上有種資產(chǎn)股票、債券、 供投資者選擇，某公司有數(shù)額為的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個時間的投資。公司財務(wù)分析人員對種資產(chǎn)進(jìn)展評價，估算在這一時期內(nèi)購買有平均收益率為 ，并預(yù)測出購買的損失率為。思索到投資分散，總的風(fēng)險越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買假設(shè)干種資產(chǎn)時，總體風(fēng)險可用所投資的中的最大一個風(fēng)險來度量。購買要付買賣費，費率為,并且當(dāng)購買額不超越給定值時，

30、買賣費按購買計算不買當(dāng)然無須付費。另外，假定同期銀行存款利率是,且既無買賣費又無風(fēng)險。 1知時的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：試給該公司設(shè)計一種投資組合方案，即用給定的資金M，有選擇地購買假設(shè)干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡能夠大，而總體風(fēng)險盡能夠小。2試就普通情況對以上問題進(jìn)展討論，利用以下數(shù)據(jù)進(jìn)展計算。%元元9.6422.118118118.5543.240740749.4606.042842823.9421.55495498.11.27.627027014393.439739740.7685.617817831.233.433.122022033.653.32.747547536.8402.924824

31、811.8315.119519595.55.732032035462.72672679.45.34.532832815237.6131131建模過程:1. 模型的假設(shè)及符號闡明1模型的假設(shè)在一個時期內(nèi)所給出的 堅持不變。在一個時間內(nèi)所購買的各種資產(chǎn)如股票、證券等不進(jìn)展買賣買賣，即在買入后不再賣出。每種投資能否收益是相互獨立的。在投資過程中，無論盈利與否必需先付買賣費。2符號闡明元：公司現(xiàn)有投資總金額；：欲購買的第種資產(chǎn)種類其中=0表示存入銀行；：:公司購買金額； ：公司購買的平均收益率；()：公司購買的平均損失率；()：公司購買超越時所付買賣費率。設(shè)購買的金額為，所付的買賣費,令. 投資額相當(dāng)

32、大，所以總可以假定對每個的投資 ,這時1式可簡化為 對投資的凈收益 3對投資的風(fēng)險 4對投資所需資金投資金額與所需的手續(xù)費之和即 (5)當(dāng)購買的金額為，投資組合的凈收益總額 6整體風(fēng)險： 7資金約束： 82.數(shù)學(xué)模型為使凈收益總額Rx盡能夠大，而整體風(fēng)險Qx又盡能夠小，那么該問題的數(shù)學(xué)模型可歸為多目的規(guī)劃模型，即 9 假定投資者對風(fēng)險收益的相對偏好參數(shù)為，那么模型9可轉(zhuǎn)化為： 10將總收益與整體風(fēng)險相比，那么模型9可化為： (11)2.4 動態(tài)規(guī)劃模型 一最短路問題及其解法 如以下圖所示，稱它為線路圖網(wǎng)絡(luò)圖。B1B2C1C2C3C4D1D2D3EA53136876683533843221問題求

33、一條從起點A到終點E的連通弧，使其總弧長最短最短路問題。2意義最短路問題的含義是很廣泛的，如點代表加油站，弧代表管道，弧長代表鋪設(shè)管道的費用。問題就變成讓我們設(shè)計一條從起點A到終點E的管道，使其總費用最少。3特點 從A到E整個過程可分為從A到BB有二種選擇B1,B2從B到CC有四種選擇C1，C2，C3，C4 ，從C到DD有三種選擇D1，D2，D3，在從D到E四個階段，是一個多階段決策問題。 每個階段都有起點，用表示第K階段的起點，并稱為形狀變量：每個階段都有終點，前一段的終點就是后一段的起點。從每個起點出發(fā)形狀出發(fā)，都有假設(shè)干選擇例如從B1出發(fā)有三種選擇，用 表示從第K階段的形狀出發(fā)所作的選擇

34、并成為決策變量。決策變量全體成為決策集合允許決策集合，即為。假設(shè)用表示從第K階段的形狀出發(fā)終點的最短弧長，或者用表示從起點到第K 階段的形狀的最短弧長，那么問題就變成求或者求出。 4解法 逆序解法：從后向前逐漸求出各階段到終點E的最短道路與最短弧長，最后求出即從最后一個階段K=4開場。逆序解法：求 K=3,有4個形狀，每個形狀又有兩個決策可選取，所以有最短弧長為9，途徑為 決策為 。類似地有K=2，有2個形狀，每個形狀又有3個決策可選，所以有 或 那么從A到E的最短弧長為14，途徑為 。 決策為 上述解法的四個步驟可歸納為下述地推公式 其中。順序解法：從前逐漸求出從起點A到個階段起點的最短弧長

35、及其對應(yīng)的途徑。最后求出 。二動態(tài)規(guī)劃的根本概念1. 多階段決策問題，形狀變量，允許決策變量，決策集合，最優(yōu)函數(shù) 這些概念在前面的例中都已引見過不再反復(fù)。需補充闡明的是形狀變量必需滿足無后效性即馬爾科夫性條件。即：給定某一階段的形狀，以后各階段的行進(jìn)不受以前個階段形狀的影響。 2. 階段目的：用表示形狀和形狀間對應(yīng)的目的，并稱為階段目的。 3. 戰(zhàn)略：當(dāng)每一階段的戰(zhàn)略都確定以后，由初始形狀出發(fā)到終止形狀每階段的決策所構(gòu)成的決策序列就成為一個整體戰(zhàn)略，簡稱戰(zhàn)略。記為 ，而 稱為子戰(zhàn)略。到達(dá)最優(yōu)的戰(zhàn)略成為最優(yōu)戰(zhàn)略。4.形狀轉(zhuǎn)移方程：把過程由一個形狀變到另一個形狀的變化叫做形狀轉(zhuǎn)移。它與形狀有關(guān)，由

36、與戰(zhàn)略有關(guān)。逆序時，假設(shè)第K階段的形狀和決策都確定以后，第K+1階段的狀態(tài)就隨之確定，那么把這個對應(yīng)稱為形狀裝移方程，記為 。最短路問題的形狀裝移方程是。5.目的函數(shù)：用來衡量所實現(xiàn)過程優(yōu)劣的一種目的成為目的函數(shù)，用或表示。目的函數(shù)有和與積二種方式。又分逆序和順序二種情形。即 逆序情形順序情形6.動態(tài)規(guī)劃方程：1逆序情形： 2順序情形7.最優(yōu)化原理：從最短路問題我們看到他具有這樣的特點，假設(shè)最短道路過第K階段的形狀，那么從出發(fā)到達(dá)終點的這條道路，對于從出發(fā)到達(dá)終點的一切道路來說，也是最短的。三建立動態(tài)規(guī)劃模型的根本步驟 1將問題的過程恰當(dāng)?shù)胤殖杉僭O(shè)干階段，普通可按問題所處的時間或空間進(jìn)展劃分，

37、并確定階段變量。如。 2正確選擇形狀變量并滿足無后效性條件。 3確定決策變量及允許決策集合。 4寫出形狀轉(zhuǎn)移方程。 5明確目的函數(shù)或與階段目的之間的關(guān)系以及邊境條件。 6寫出動態(tài)規(guī)劃方程數(shù)學(xué)模型。第三章 微分方程模型與一階常微分方程初值問題數(shù)值解3.1 一階微分方程初值問題數(shù)值解一、兩個模型1、餓狼追兔問題現(xiàn)有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米處。假設(shè)兔子與狼同時發(fā)現(xiàn)對方并一同起跑，兔子往正北60米處的巢穴跑，而狼在追兔子，知兔子、狼是勻速跑且狼的速度是兔子的兩倍。問題是兔子能否平安回到巢穴？解 首先建立坐標(biāo)系，兔子在O處，狼在A處。由于狼要盯著兔子追，所以狼行走的是一條曲線，且在同一

38、時辰，曲線上狼的位置與兔子的位置的連線為曲線上該點處的切線。設(shè)狼的行走軌跡是y=f(x)，那么有 ，又因狼的速度是兔子的兩倍，所以在一樣時間內(nèi)狼走的間隔 為兔子走的間隔 的兩倍。假設(shè)在某一時辰，兔子跑到(0,h)處，而狼在(x,y)處，那么有整理得到下述模型這屬于可降階的二階微分方程，解得狼的行走軌跡因，所以狼追不上兔子。2、尸體冷卻模型受害者的尸體于晚上7:30被發(fā)現(xiàn)，法醫(yī)于晚上8:20趕到兇案現(xiàn)場，測得尸體溫度為32.6；一小時后，當(dāng)尸體即將被抬走時，測得尸體溫度為31.4，室溫在幾個小時內(nèi)一直堅持21.1。此案最大的嫌疑犯張某聲稱本人是無罪的，并有證人說：“下午張某不斷在辦公室上班，5:

39、00時打完后就分開了辦公室。從張某到受害者家兇案現(xiàn)場步行需5分鐘，如今的問題是，張某不在兇案現(xiàn)場的證言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。解：首先應(yīng)確定兇案的發(fā)生時間，假設(shè)死亡時間在下午5點5分之前，那么張某就不是嫌疑犯，否那么不能將張某排除。設(shè)T(t)表示t時辰尸體的溫度，并記晚上8:20為t=0，那么T(0)=32.6，T(1)=31.4。假設(shè)受害者死亡時體溫是正常的，即T=37是要確定受害者死亡的時間，也就是求T(t)=37的時辰，進(jìn)而確定張某能否是嫌疑犯。人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)理。人死亡后體溫調(diào)理的功能消逝，尸體的溫度受外界環(huán)境溫度的影響。假設(shè)尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫

40、度的變化律與他同周圍的溫度差成正比。即 k是常數(shù)，分別變量積分得： 由T(0)=21.1+a=32.6 得a=11.5；由T(1)=21.1+ae-k=31.4 得e-k115/103，即k=0.11，所以 T(t)=21.1+11.5e-0.11t .當(dāng)T=37時，有t=-2.95 小時-2小時57分，8小時20分2小時57分5小時23分。即死亡時間大約在下午5:23，因此張某不能被排除在嫌疑犯之外。二、一階微分方程初值問題數(shù)值解1、導(dǎo)入課程：微分方程的定解問題中著重思索的一階方程的初值問題函數(shù)滿足利普希茨條件：3-1的解存在并且獨一。常微分方程的解析方法只能用來求解一些特殊類型的方程，實踐

41、問題中主要靠數(shù)值解法。所謂數(shù)值解法，就是尋求解y(x)在一系列離散節(jié)點上的近似值相鄰兩個節(jié)點的間隔 稱為步長，節(jié)點為初值問題3-1的數(shù)值解法都采用提高式，即只需給出用知信息就能給出計算的遞推公式。2、歐拉方法的遞推公式：它的根本思想是在小區(qū)間上用差商替代導(dǎo)數(shù)，而方程右端函數(shù)中的在小區(qū)間的端點上取值，得到方程的近似表達(dá)式，稱為歐拉公式。向前歐拉公式：n=0,1,2. 1被稱作向前歐拉公式或顯式歐拉公式。2向后歐拉公式： 2被稱作向后歐拉公式或隱式歐拉公式。3梯形公式：n=0,1,2, (3)被稱作梯形公式。4改良的歐拉公式: (4)被稱作改良的歐拉公式。例1、求解初值問題 3.3解1向前歐拉公式

42、的方法詳細(xì)方式為：取步長h=0.1，計算結(jié)果見表31。0.11.10001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.73212用改良的歐拉公式為仍取h=0.1，計算結(jié)果比較見表32 0.11.09591.09540.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61531.61250.41

43、.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.73213、Runge-kutta(龍格庫塔)方法它的根本思想是將在x處進(jìn)展泰勒展開，并取其前面幾項來近似而得到公式：由上式產(chǎn)生的迭代公式：假設(shè)，那么稱以上述公式為P階公式，P的大小反映出精度的高低。二階Rungekutta公式(5)其中為待定系數(shù)，它滿足：上式被稱作是二階RK公式。四階Rungekutta公式 (6)其中待定系數(shù)共13個，由于計算復(fù)雜，直接給出一組的值，得 (7)稱作四階R-K公式。例3.2 設(shè)取步長h=0.2，從x=0直到x=1用四階龍格庫塔方法求解初值問題(3-3)。解

44、 四階龍格-庫塔公式表3-3列出計算結(jié)果，表中仍表示準(zhǔn)確解。 表3-30.21.18321.18320.41.61251.34160.61.48331.48320.81.61251.61251.01.73211.7321比較例3.3和例3.2的計算結(jié)果，顯然以龍格庫塔方法的精度為高。值得指出：龍格庫塔方法的推導(dǎo)基于泰勒展開方法，因此它要求所求的解具有較好的光滑性質(zhì)。假設(shè)解的光滑性差，運用四階龍格庫塔方法求得的數(shù)值解，其精度能夠不如改良的歐拉法，實踐計算時，我們該當(dāng)針對問題的詳細(xì)特點選擇適宜的算法。3.2 豬的最正確銷售與天然氣儲量問題一、豬的最正確銷售時機問題：1、問題的提出：對于豬的商業(yè)性豢

45、養(yǎng)和銷售，人們總是希望獲得最大的利潤，在市場需求不變的情況下，假設(shè)我們不思索豬的豢養(yǎng)技術(shù)、程度，豬的類型等要素的影響，那么影響銷售利潤的主要要素，就是銷售時機問題，由于隨著豬的生長，單位時間耗費的豢養(yǎng)費用逐漸增多，而豬的體重增長卻逐漸變慢，因此對豬的豢養(yǎng)時間過長是不合算的。假定一頭豬在開場豢養(yǎng)時的分量為x0，在豢養(yǎng)后恣意時辰t的分量為x(t)，對于某一種類的豬，它的最大分量假定為X0，豬的最小出賣體重為xs，相應(yīng)的豢養(yǎng)時間為ts。一頭豬從開場豢養(yǎng)到時辰t所需的費用為y(t)，同時我們假定反映豬體重變化速度的參數(shù)為，豬在到達(dá)最大體重后，單位時間的豢養(yǎng)費為y，反映豢養(yǎng)費用變化大小的參數(shù)為，請根據(jù)上

46、面的假設(shè)，建立起豬的最正確銷售時機的數(shù)學(xué)模型，并用下面所給的數(shù)據(jù)驗證他的模型。假設(shè)X0=200kg，xs=75kg，=0.5kg/天，豬的市場銷售價設(shè)為c=6元/kg，=1.5元/天，=1元/天，x0=5kg。2、問題分析：由于豬在進(jìn)展豢養(yǎng)時已具有一定的體重，而其體重的添加隨豢養(yǎng)時間的延伸逐漸減慢，因此由Logistic模型可得；又由于豬的體重添加，單位時間耗費的豢養(yǎng)費用就越多，到達(dá)最大體重后，豢養(yǎng)費用為常數(shù)，所以有，因此，得到微分方程：求解可得： 1養(yǎng)豬能否獲利，主要看豬從出生到ts時，假設(shè)出賣能否可以獲利，因此，獲利的充要條件為： 2其中c0為仔豬的價錢。由1式可得：，解之可得：，將1，2

47、式代入可得： 3所以只需3式成立，豢養(yǎng)就會獲利。設(shè)豬的最正確出賣時機為t*，由1式求導(dǎo)可得： 4由盈虧平衡原理：即單位時間內(nèi)由豬添加體重所獲得的利潤與耗費的豢養(yǎng)費用相等，可得由4式可得：，解之可得。假設(shè)時，故豬應(yīng)在時出賣。假設(shè)時，故豬應(yīng)在時出賣由于豬必需長到xs。豬的最正確銷售時機問題的計算。下面給出Mathematica計算程序：%最正確銷售時機ch411%文件名：ch411.mX=200.0;xs=75.0;x0=5.0;c=6.0;alpha=0.5;bet=1.0;gama=1.5;temp=gama*X/(X-xs)-(c*alpha+bet);t=iftemp0,X/alpha*L

48、og(c*alpha+bet)*(X-x0)/(gama*X),X/alpha*Log(X-x0)/(X-xs)執(zhí)行后輸出Out1=True,382.205,177.874即豬的最正確出賣時間為豢養(yǎng)到382天左右。3.3 天然氣儲量問題一、 天然氣儲量問題1 、 問題的提出:天然氣資源是現(xiàn)代社會重要的根底能源之一，應(yīng)合理的開發(fā)和利用。對開發(fā)公司而言，準(zhǔn)確地預(yù)測天然氣的產(chǎn)量和可采儲量，一直是一項重要而又困難的任務(wù)，下面是某天然氣公司在19571976年20年間對某氣田產(chǎn)量的統(tǒng)計資料。 某氣田1957年至1976年產(chǎn)量表年 度1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1

49、964 1965 1966產(chǎn)量108m3 19 43 59 82 92 113 148 151 157年 度1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976產(chǎn)量108m3 158 155 109 89 79 70 60 53 45試根據(jù)所給的數(shù)據(jù)資料，建立起該氣田產(chǎn)量的預(yù)測模型，并驗證所建立模型的合理性。2、模型假設(shè)及符號闡明1假設(shè)該氣田的產(chǎn)量是延續(xù)的，沒有階段性停產(chǎn)景象。2假設(shè)所提供的數(shù)據(jù)是正常消費情況下，氣田的產(chǎn)量。3假設(shè)沒有因不測事故或自然災(zāi)禍呵斥停產(chǎn)或減產(chǎn)的情況。4假設(shè)rt為天然氣產(chǎn)量的增長率。5假設(shè)Nt為天然氣田的累積產(chǎn)量。6假設(shè)Q為

50、氣田的年產(chǎn)量。7假設(shè)氣田的可采儲量為NR，相對應(yīng)的開發(fā)時間tR。3、問題分析及數(shù)學(xué)模型根據(jù)所給的實踐問題，預(yù)測氣田的產(chǎn)量和可采儲量，在這方面，目前國內(nèi)外的方法很多，但各種預(yù)測方法中有一種簡單而適用的指數(shù)增長模型，它是自創(chuàng)英國人口學(xué)家Malthus馬爾薩斯于1798年提出的人口增長模型，而得到的。假設(shè)假設(shè)天然氣產(chǎn)量的增長率為rt，它是時間t的延續(xù)函數(shù)。氣田的累積產(chǎn)量設(shè)為Nt，那么它們滿足如下的關(guān)系：而氣田的年產(chǎn)量，于是上述方程變?yōu)椋河薪y(tǒng)計資料顯示，氣田的每年產(chǎn)量與累積產(chǎn)量之比與氣田的開發(fā)時間t存在如下關(guān)系，即 5或?qū)懗桑海渲校杭僭O(shè)氣田的可采儲量為NR，相對應(yīng)的開發(fā)時間為tR，由上面的分析可得到

51、方程：解之可得 ： 6對上式求導(dǎo)預(yù)測模型為 74 、 模型的分析與計算1模型3中a , b的計算由于，所以關(guān)鍵問題在于求出A，B的值。由1式，設(shè)，其中為第i年的產(chǎn)量，為第i年之前的累積產(chǎn)量，時間t以年為單位，那么由所給數(shù)據(jù)可得根據(jù)線性回歸的最小二乘估計，令為使LA，B最小，取L分別關(guān)于A，B的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?。解此方程可得 其中： 從而。6模型7中NR的計算對2式兩邊取常用對數(shù)可得 ： 8其中：。由8式和所給的數(shù)據(jù)，建立回歸方程同上，可求得、，從而計算出油田的可采儲量略。3模型的求解將根據(jù)上述求得的a，b，NR的值代入模型67式便可計算出相應(yīng)年份累積產(chǎn)量Nt和年產(chǎn)量Q的預(yù)測值。氣田儲量的m

52、athematica計算程序：%氣田儲量ch42%文件名：ch42.mdata1=19.0,43.0,59.0,82.0,92.0,113.0,.0,148.0,151.0,157.0,158.0,155.0,.0,109.0,89.0,79.0,70.0,60.0,53.0,45.0;data2=Table0,n,20;i=2;Fordata21=data11,i=20,i+,data2i=data2i-1+data1idata3=Table0,m,20,n,2;Fori=1,i=20,i+,data3i=i,Log10,data1i/data2iFitdata3,1,t,taa=-0.02

53、15995;bb=0.0809426;a=10aa;b=Log10.0*bb;c=a/b;data4=Table0,m,20,n,2;Fori=1,i=20,i+,data4i=Exp-b*i,Log10,data2iFitdata4,1,x,xalpha=3.36832;bet=2.35678;Nr=10alpha;Qpt_:=a*Nr*Exp-c*Exp-b*t-b*t;Npt_:=Nr*Exp-c*Exp-b*t;data5=TableQpt,t,1,20;data6=TableNpt,t,1,20;compdata1=Table0,m,20,n,2;Fori=1,i=20,i+,com

54、pdata1i=data1i,data5i;compdata2=Table0,m,20,n,2;Fori=1,i=20,i+,compdata2i=data2i,data6i;f1=ListPlotdata1;f2=PlotQpt,t,0,20;f3=ListPlotdata2;f4=PlotNpt,t,0,20;Showf1,f2Showf3,f4MatrixFormcompdata1MatrixFormcompdata2執(zhí)行后輸出A=-0.0215995 B=0.0809426NR=10alpha alpha=3.36832實踐值與預(yù)測值對照表年份TaQ108m3/aNP108m3實踐值預(yù)

55、測值實踐值預(yù)測值19571958195919601961196219631964196519661967196819691970197119721973197419751976123456789101112131415161718192019.043.059.082.092.0113.0.0148.0151.0157.0158.0155.0.0109.089.079.070.060.053.045.026.67445.45768.60393.527117.186.899150.897152.492159.935156.116148.242.580125.282112.29899.35186.9

56、4775.40964.91455.53447.26519.062.0121.0203.0295.0408.0546.0694.0845.01002.01160.01315.01452.01561.01650.01729.01799.01859.01912.01957.069.365126.117207.160312.745440.207584.626739.855899.5521057.9701210.4303.5201485.0501603.8601709.6601802.7501883.8401953.9102021.0402065.350從結(jié)果看計算比較準(zhǔn)確。3.4 最優(yōu)捕魚戰(zhàn)略問題的提

57、出：這是1996年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的A題，問題如下：為維護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源如漁業(yè)、林業(yè)等資源的開發(fā)必需適度。一種合理、簡化的戰(zhàn)略是，在實現(xiàn)可繼續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最正確效益。思索對某種魚的最優(yōu)捕撈戰(zhàn)略：假設(shè)這種魚分4個年齡組：稱一齡魚、二齡魚、三齡魚、四齡魚。各年齡組每條魚的平均分量分別為5.07，11.55，17.86，22.99克；各年齡組魚的自然死亡率均為0.81/年；這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁衍，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109105個，3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月；卵孵化并成活為1齡魚，成活率為1

58、齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比1.221011/(1.221011+n)。漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期的前8個月內(nèi)進(jìn)展捕撈作業(yè)。假設(shè)每年投入的捕撈才干如魚船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不防稱為捕撈強度系數(shù)。通常運用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強度系數(shù)之比為0.42:1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。1建立數(shù)學(xué)模型分析如何實現(xiàn)可繼續(xù)捕撈即每年開場捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變，并且在此前提下得到最高的年收獲量捕撈總分量。2某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年，合同要求5年后魚群的消費才干不能遭到太大破壞。

59、知承包時各年齡組魚群數(shù)量分別為：122，29.7，10.1，3.29109條。假設(shè)仍用固定努力量的捕撈方式，該公司采用怎樣的戰(zhàn)略才干使總收獲量最高。2、 模型假設(shè)及符號闡明1假設(shè)只思索一種魚的繁衍和捕撈，魚群增長過程中不思索魚的遷入與遷出。2假設(shè)各年齡組的魚在一年內(nèi)的任何時間都會發(fā)生自然死亡，產(chǎn)卵可在后四個月內(nèi)任何時間發(fā)生。3假設(shè)3、4齡魚全部具有生殖才干，或者雖然雄魚不產(chǎn)卵，但平均產(chǎn)卵量掩蓋了這一差別。4假設(shè)產(chǎn)卵期魚的自然死亡率發(fā)生于產(chǎn)卵之后。5假設(shè)各年齡組的魚經(jīng)過一年后，即進(jìn)入高一級的年齡組，但4齡魚經(jīng)過一年后仍視為4齡魚。6假設(shè)對魚的捕撈用固定努力量捕撈方式，每年的捕撈強度系數(shù)堅持不變，

60、且捕撈只在前八個月進(jìn)展。7假設(shè)t時辰i齡魚的數(shù)量為。8假設(shè)第k年初i齡的數(shù)量為；第k年底i齡魚的數(shù)量為i=1，2，3，4。9假設(shè)魚的自然死亡率為r；4齡魚的平均產(chǎn)卵量為c。10假設(shè)第i齡魚的平均分量為Mii=1，2，3，4。11假設(shè)第k年度魚的產(chǎn)卵總量為。12假設(shè)對第i齡魚的捕撈強度系數(shù)為bi；對i齡魚的年捕撈量為aii=1，2，3，4。13假設(shè)年總收獲量為M，即M=M3a3+M4a4。14假設(shè)5年的總收獲量為MM，即。3 問題分析及數(shù)學(xué)模型由知條件，可得，E為捕撈努力量，r為自然死亡率，在t，t+t內(nèi)，根據(jù)死亡率的定義，由于不捕撈1、2齡魚，所以變形可得 1解得。對于3、4齡魚由于捕撈在前8