1、琴生不等式的高維推廣李世杰 吳光耀(衢州市教育局教研室 浙江 324002 )單保良(衢州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 324000 ) 摘 要：將琴生(Jensen)不等式作了高維推廣，并由它得到了m維空間的一系列不同類型的函數(shù)不等式，它們是算術(shù)幾何平均值不等式、柯西不等式等的聯(lián)合推廣. 關(guān)鍵詞：琴生不等式，函數(shù)不等式，高維推廣.Higher Dimensional Generalization of Jensen InequalityLi Shijie Wu Guangyao（Department of Teaching Research，Quzhou Education Committee，Zhe

2、jiang， 324002，China）Dan Baoliang（Quzhou College of Vocational Techuology，Zhejiang， 324000，China）Abstract：The higher dimensional generalization of Jensen inequality is established. As by-products, a series of different function inequalities on m-dimensional space is obtained which extend the A-G mean

3、 inequality and Cauchys inequality. Key words：Jensen inequality； function inequality；higher dimensional generalization1引言1905年，丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen ，18591925）證明了如下聞名的琴生不等式1：設(shè)f (x)是定義在實數(shù)集M上的函數(shù)，且對任意的xl、x2 M，都有 ， (1.1)則對任意的xi M（i = 1，2，n），有 ， (1.2)在文2中，李世杰證明了如下的“母”函數(shù)不等式：設(shè)f (x)的定義域為 M（M為a，b，或（a，b），或無窮區(qū)間），(x)是

4、 M上的連續(xù)函數(shù)，且存在反函數(shù)若對任意的xl、x2 M，都有 ， (1.3)則對任意的xi M（i = 1，2，n），有 ， (1.4) 若 (1.3) 中等式成立的條件是x1=x2，則 (1.4) 中等式成立的條件是 x1= x2 = =xn本文下面先給出不等式 (1.4) 的一個高維推廣，為方便計，引入下列記號:設(shè)M = M1M2Mm（Mi為 ai，bi，或（ai，bi），或無窮區(qū)間，m1）. 特不地， 收稿日期：作者簡介：李世杰， (1960-)，男，浙江東陽人，漢,中學(xué)高級教師，理學(xué)士, 研究方向：解析不等式及數(shù)學(xué)教學(xué)若Mi = R+ = ，i = 1，2，m，則M記作. 關(guān)于，表示m

5、維向量:其它符號意義依次類推.2要緊結(jié)論定理1 設(shè)f (X)的定義域為 M， i (x)是定義在 Mi上的連續(xù)函數(shù)，且存在反函數(shù)，i = 1，2，m若對X1、X2M，和常數(shù)，都有， 且 ， (2.1)等式成立的條件是X1=X2. 則對XiM ( ，n2 )，都有 (2.2)那個地點p是滿足的整數(shù)，(2.2)中等式成立的條件是X1=X2 = =Xn下面用反向數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式.證明 首先證明n =2 p ( pN，p2 ) 時，結(jié)論成立.當(dāng)n = 2時，由 (2.1) 及其等式成立的條件知結(jié)論成立.假設(shè)n =2 k ( kN，k2 ) 時，結(jié)論成立，即對 XiM ()，有 ， (2.3)等

6、式成立的條件是X1=X2 = =. 則對Xi M ( )，有 ， (2.4)等式成立的條件是 又依照n = 2時的結(jié)論，在 (2.1) 中作置換，可得+即+， (2.5)等式成立的條件是，.聯(lián)合(2.3)、(2.4)、(2.5)得 (2.6)等式成立的條件是 ，由于存在反函數(shù)，必一一對應(yīng)，故由上面方程組可推得不等式 (2.6)中等式成立的條件是X1=X 2 = =因此對n =2 p ( pN，p2 )結(jié)論恒成立.當(dāng)時，前面已證成立結(jié)論: (2.7)當(dāng)時，取Xn+1=Xn +2 = ，則Xn+1=Xn +2 = ，代入（2.7）式化簡后即可得到（2.2）式.綜上，我們就證明了不等式（2.2）結(jié)論

7、對n2恒成立. 定理2 設(shè)f (X)的定義域為 M， i (x)是定義在 Mi上的連續(xù)函數(shù)，且存在反函數(shù)，i = 1，2，m若對X1、X2M和常數(shù)，都有，且 ， (2.8)等式成立的條件是X1=X2. 則對XiM ( ，n2 )，有 (2.9)那個地點p是滿足的整數(shù)，(2.9)中等式成立的條件是X1=X2 = =Xn證明 與定理1相似，首先證明n =2 p ( pN，p2 ) 時結(jié)論成立，再如對(2.7)式取特值，即可獲證，過程略去.定理3 設(shè)f (X)的定義域為 M， i (x)是定義在 Mi上的連續(xù)函數(shù)，且存在反函數(shù)，i = 1，2，m若對X1、X2M，和常數(shù)，都有，且 ， 等式成立的條件

8、是X1X2. 則對任意的XiM ( ，n2 )，有 那個地點p是滿足的整數(shù)，等式成立的條件是X1=X2 =Xn證明 與定理1相似，略.3應(yīng)用定理4 設(shè)f (X)的定義域為 M， i (x)是定義在 Mi上的連續(xù)函數(shù)，且存在反函數(shù)，i = 1，2，m若對X1、X2M，都有 ， （3.1）等式成立的條件是X1=X2. 則對XiM ( ，n2 )，都有 (3.2)等式成立的條件是X1=X2 = =Xn證明 在定理1中，取，由于i (x)是定義在 Mi上的連續(xù)函數(shù)，必有故由定理1即可得定理4中結(jié)論.定理5 設(shè)f (X)的定義域為 M， i (x)是定義在 Mi上的連續(xù)函數(shù)，且存在反函數(shù)，i = 1，2

9、，m若對X1、X2M，都有 ， (3.3)等式成立的條件是X1=X2. 則對XiM ( ，n2 )，有 (3.4)那個地點p是滿足的整數(shù)，(3.4)中等式成立的條件是X1=X2 = =Xn證明 同定理4證明過程，在定理2中取即可得證.取i (x)= x，定理5就變成琴生（ Jensen）不等式（1.2）.定理6 （均值型函數(shù)不等式）設(shè)f (X)的定義域為，若對任意的X1、X2，都有， （3.5）等式成立的條件是X1X2. 則關(guān)于Xi ( ，n2 )，有， (3.6)等式成立的條件是X1X2 = Xn. 證明 在定理5中令，, 則代入定理5中(3.3)(3.4)式即可得(3.5)(3.6).注

10、在定理6中若令，由于對正數(shù)，由于不等式恒成立，定理6就變?yōu)樗阈g(shù)幾何平均值不等式：，同理，若再令，由聞名的柯西（Cauchy）不等式可得其推廣形式取，得文3中證明的新的函數(shù)不等式.定理1和定理2中的函數(shù)不等式是m維空間某些函數(shù)不等式的一個共同來源，我們可把它們稱為高維的“母”函數(shù)不等式.由它們我們還可得到乘積型、方冪型函數(shù)不等式等，限于篇幅，這些結(jié)果就不再一一列出了. 參考文獻(xiàn)1匡繼昌.常用不等式（第三版）.山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004年1月.P348-380.2李世杰.一個重要的“母”函數(shù)不等式 J.撫州師專學(xué)報，1999（3）：3740.3黃仁壽.一個新的函數(shù)不等式J.數(shù)學(xué)通訊，1993（6）：23.4CONSTANTIN P, Convexity According to the geometric meanJ.Mathematical Inequalities Applications ,2000,(2):155-167.5李世杰.凸函數(shù)Jensen不等式的一個推廣及應(yīng)用J.江西:撫州師專學(xué)報（自然科學(xué)版）,1988,(3):3037.作者簡介：李世杰， 1960年12月生，男，浙江省東陽人，中學(xué)高級教師，理學(xué)