1、 新人教版高中數(shù)學(xué)（必修二）重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征；2認(rèn)識(shí)由柱、錐、臺(tái)、球組成的幾何組合體的結(jié)構(gòu)特征；3能用上述結(jié)構(gòu)特征描繪現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)【要點(diǎn)梳理】【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 棱柱的結(jié)構(gòu)特征】要點(diǎn)一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱在棱柱中，兩個(gè)相互平行的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱側(cè)面與底的公共頂點(diǎn)叫做棱

2、柱的頂點(diǎn)棱柱中不在同一平面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線叫做棱柱的對(duì)角線過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱的對(duì)角面2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱3、棱柱的表示方法：用表示底面的各頂點(diǎn)的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、；用棱柱的對(duì)角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行.要點(diǎn)詮釋：有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱如下圖所示的幾何體滿足“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這一

3、條件，但它不是棱柱判定一個(gè)幾何體是否是棱柱時(shí)，除了看它是否滿足：“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這兩個(gè)條件外，還要看其余平行四邊形中“每?jī)蓚€(gè)相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 棱錐的結(jié)構(gòu)特征】要點(diǎn)二：棱錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形叫做棱錐的側(cè)面各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐 ；

4、SSDDCCBBAAECBAS3、棱錐的表示方法：用表示頂點(diǎn)和底面的字母表示，如四棱錐要點(diǎn)詮釋：棱錐有兩個(gè)本質(zhì)特征：（1）有一個(gè)面是多邊形；（2）其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，二者缺一不可【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】要點(diǎn)三：圓柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的底面平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱要點(diǎn)詮釋：（1）用一個(gè)平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是

5、一個(gè)與底面全等的圓面（2）經(jīng)過(guò)圓柱的軸的截面是一個(gè)矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過(guò)圓柱的軸的截面通常叫做軸截面（3）圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸要點(diǎn)四：圓錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐要點(diǎn)詮釋：（1）用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個(gè)比底面小的圓面（2）經(jīng)過(guò)圓錐的軸的截面是一個(gè)等腰三角形，其底

6、邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線（3）圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線都是圓錐側(cè)面的母線【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征】要點(diǎn)五：棱臺(tái)和圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征、定義：用一個(gè)平行于棱錐(圓錐)底面的平面去截棱錐(圓錐)，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)(圓臺(tái))；原棱錐(圓錐)的底面和截面分別叫做棱臺(tái)(圓臺(tái))的下底面和上底面；原棱錐(圓錐)的側(cè)面被截去后剩余的曲面叫做棱臺(tái)(圓臺(tái))的側(cè)面；原棱錐的側(cè)棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺(tái)的母線；棱臺(tái)的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺(tái)的頂點(diǎn)；圓臺(tái)可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成，因此旋轉(zhuǎn)的軸

7、叫做圓臺(tái)的軸.2、棱臺(tái)的表示方法：用各頂點(diǎn)表示，如四棱臺(tái)；3、圓臺(tái)的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺(tái)；要點(diǎn)詮釋：（1）棱臺(tái)必須是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體所以，棱臺(tái)可還原為棱錐，即延長(zhǎng)棱臺(tái)的所有側(cè)棱，它們必相交于同一點(diǎn)（2）棱臺(tái)的上、下底面是相似的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高之比的平方（3）圓臺(tái)可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成.（4）圓臺(tái)的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平方要點(diǎn)六：球的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱球.半圓的半徑叫做球的半徑.半

8、圓的圓心叫做球心.半圓的直徑叫做球的直徑.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要點(diǎn)詮釋：（1）用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是一個(gè)圓面如果截面經(jīng)過(guò)球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經(jīng)過(guò)球心，則截面圓的半徑小于球的半徑（2）若半徑為的球的一個(gè)截面圓半徑為，球心與截面圓的圓心的距離為，則有要點(diǎn)七：特殊的棱柱、棱錐、棱臺(tái)特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長(zhǎng)方體；棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體叫做正方體；特殊的棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐；側(cè)棱長(zhǎng)等

9、于底面邊長(zhǎng)的正三棱錐又稱為正四面體；特殊的棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)；注：簡(jiǎn)單幾何體的分類如下表：要點(diǎn)八：簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征1、組合體的基本形式：由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成的簡(jiǎn)單組合體；由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；2、常見(jiàn)的組合體有三種：多面體與多面體的組合；多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合. 多面體與多面體的組合體 由兩個(gè)或兩個(gè)以上的多面體組成的幾何體稱為多面體與多面體的組合體如下圖（1）是一個(gè)四棱柱與一個(gè)三棱柱的組合體；如圖（2）是一個(gè)四棱柱與一個(gè)四棱錐的組合體；如圖（3）是一個(gè)三棱柱與一個(gè)三棱臺(tái)的組合體 多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體 由一個(gè)多面體與一個(gè)旋轉(zhuǎn)體組合而成

10、的幾何體稱為多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如圖（1）是一個(gè)三棱柱與一個(gè)圓柱組合而成的；如圖（2）是一個(gè)圓錐與一個(gè)四棱柱組合而成的；而圖（3）是一個(gè)球與一個(gè)三棱錐組合而成的 旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體 由兩個(gè)或兩個(gè)以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如圖（1）是由一個(gè)球體和一個(gè)圓柱體組合而成的；如圖（2）是由一個(gè)圓臺(tái)和兩個(gè)圓柱組合而成的；如圖（3）是由一個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成的 要點(diǎn)九：幾何體中的計(jì)算問(wèn)題幾何體的有關(guān)計(jì)算中要注意下列方法與技巧：(1)在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側(cè)面、等腰三角形中的斜高及高與側(cè)棱所構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形，有關(guān)證明及運(yùn)算往往與兩者相關(guān)(2)正四棱臺(tái)

11、中要掌握其對(duì)角面與側(cè)面兩個(gè)等腰梯形中關(guān)于上、下底及梯形高的計(jì)算，有關(guān)問(wèn)題往往要轉(zhuǎn)化到這兩個(gè)等腰梯形中另外要能夠?qū)⒄睦馀_(tái)、正三棱臺(tái)中的高與其斜高、側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來(lái)(3)研究圓柱、圓錐、圓臺(tái)等問(wèn)題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因?yàn)樵谳S截面中，易找到所需有關(guān)元素之間的位置、數(shù)量關(guān)系(4)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)是把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題處理的重要手段之一(5)圓臺(tái)問(wèn)題有時(shí)需要還原為圓錐問(wèn)題來(lái)解決(6)關(guān)于球的問(wèn)題中的計(jì)算，常作球的一個(gè)大圓，化“球”為“圓”，應(yīng)用平面幾何的有關(guān)知識(shí)解決；關(guān)于球與多面體的切接問(wèn)題，要恰當(dāng)?shù)剡x取截面，化“空間”為平面【經(jīng)典例題】類型一：簡(jiǎn)單幾

12、何體的結(jié)構(gòu)特征例1判斷下列說(shuō)法是否正確 （1）棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形； （2）一個(gè)n（n3）棱柱共有2n個(gè)頂點(diǎn)； （3）棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形；（4）如果棱柱有一個(gè)側(cè)面是矩形，則其余各側(cè)面也都是矩形【答案】（1）（2）（3）正確，（4）不正確 【解析】 （1）由棱柱的定義可知，棱柱的各側(cè)棱互相平行，同一個(gè)側(cè)面內(nèi)兩條底邊也互相平行，所以各側(cè)面都是平行四邊形（2）一個(gè)n棱柱的底面是一個(gè)n邊形，因此每個(gè)底面都有n個(gè)項(xiàng)點(diǎn)，兩個(gè)底面的頂點(diǎn)數(shù)之和即為棱柱的頂點(diǎn)數(shù)，即2n個(gè)（3）因?yàn)槔庵粋€(gè)側(cè)面內(nèi)的兩條底邊平行且相等，所以棱柱的兩個(gè)底面的對(duì)應(yīng)邊平行且相等，故棱柱的兩個(gè)底面全等（4）如果棱柱有一

13、個(gè)側(cè)面是矩形，只能保證側(cè)棱垂直于該側(cè)面的底邊，但其余側(cè)面的側(cè)棱與相應(yīng)底邊不一定垂直，因此其余側(cè)面不一定是矩形 故（1）（2）（3）正確，（4）不正確【總結(jié)升華】解決這類與棱柱、棱錐、棱臺(tái)有關(guān)的命題真假判定的問(wèn)題，其關(guān)鍵在于準(zhǔn)確把握它們的結(jié)構(gòu)特征，也就是要以棱柱、棱錐、棱臺(tái)概念的本質(zhì)內(nèi)涵為依據(jù)，以具體實(shí)物和圖形為模型來(lái)進(jìn)行判定舉一反三：【變式1】如下圖中所示幾何體中是棱柱有（ ） A1 B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】C例2有下面五個(gè)命題： （1）側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐； （2）側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐； （3）底面是正方形的棱錐是正四棱錐； （4）正四面體就是正四棱錐； （5）頂

14、點(diǎn)在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是底面多邊形的外心的棱錐必是正棱錐其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 【答案】A 【解析】本題主要考查正棱錐的概念，關(guān)鍵看是否滿足定義中的兩個(gè)條件 命題（1）中的“各側(cè)面都是全等的等腰三角形”并不能保證底面是正多邊形，也不能保證頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱錐，如下圖（1）中的三棱錐S-ABC，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，則此三棱錐的各側(cè)面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱錐；命題（2）中的“側(cè)棱都相等”并不能保證底面是正多邊形，如下圖（2）中的三棱錐P-DEF，可令PD=PE=PF=1，EF=1

15、，三條側(cè)棱都相等，但它不是正三棱錐；命題（3）中的“底面是正方形的棱錐”，其頂點(diǎn)在底面上的射影不一定是底面的中心，如下圖（3），從正方體中截取一個(gè)四棱錐D1-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱錐；命題（4）中的“正四面體”是正三棱錐三棱錐中共有4個(gè)面，所以三棱錐也叫四面體四個(gè)面都是全等的正三角形的正三棱錐也叫正四面體；命題（5）中的“頂點(diǎn)在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心”，說(shuō)明了底面是一個(gè)正多邊形，符合正棱錐的定義 舉一反三：【變式1】如果一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體一定是棱錐這種說(shuō)法是否正確？如果正確說(shuō)明理由；如果不正確，舉出反例【答案】不正確【解析】如圖所示的

16、幾何體由兩個(gè)底面相等的四棱錐組合而成，它有一個(gè)面是四邊形，其余各面都是三角形，但是該幾何體不是棱錐例3判斷下圖所示的幾何體是不是臺(tái)體？為什么？ 【解析】 三個(gè)圖都不是臺(tái)體（1）AA1，DD1交于一點(diǎn)，而B(niǎo)B1，CC1交于另一點(diǎn)，此圖不能還原成錐體，故不是臺(tái)體：（2）中面ABCD與面A1B1C1D1不平行，故也不是臺(tái)體；（3）中應(yīng)O與O1不平行，故也不是臺(tái)體 【總結(jié)升華】判斷一個(gè)幾何體是否為臺(tái)體，必須緊扣臺(tái)體的兩個(gè)本質(zhì)特征：（1）由錐體截得的；（2）截面平行于錐體的底面即棱臺(tái)的兩底面平行，且側(cè)棱必須相交于同一點(diǎn)；圓臺(tái)的兩底面平行，且兩底面圓心的連線與兩底面垂直舉一反三：【變式1】判斷如下圖所示的

17、幾何體是不是臺(tái)體？為什么？ 【答案】都不是臺(tái)體【解析】因?yàn)楹投疾皇怯衫忮F所截得的，故都不是臺(tái)體；雖然是由棱錐所截，但截面不和底面平行，故不是臺(tái)體只有用平行于錐體底面的平面去截錐體，底面與截面之間的部分才是臺(tái)體是一個(gè)臺(tái)體，因?yàn)樗怯闷叫杏趫A錐SO底面的平面截圓錐SO而得的類型二：幾何體中的基本計(jì)算 例4圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，軸截面的面積等于392 cm2，母線與軸的夾角是45，求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長(zhǎng)和底面半徑【答案】14 cm，7 cm和21 cm【解析】圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為x cm和3x cm，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S在RtSOA中，ASO45，則S

18、AO45SOAO3x cm， ，解得x7，圓臺(tái)的高，母線長(zhǎng)，底面半徑分別為7 cm和21 cm【總結(jié)升華】對(duì)于這類旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，其關(guān)鍵在于作出它們的軸截面（即過(guò)旋轉(zhuǎn)鈾的截面），再把它們轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題即可舉一反三：【變式1】已知圓臺(tái)的上、下底面積之比為1：9，圓臺(tái)的高為10，求截得圓臺(tái)的圓錐的高【答案】15【解析】設(shè)圓錐的高為，上、下底半徑為則，解得類型三、簡(jiǎn)單幾何體的組合體例5（1）一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過(guò)球心作一截面，如下圖所示，則截面可能的圖形是（ ） A B C D （2）如右圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切，求兩球半徑之和 【答案】（1）C；

19、（2） 【解析】（1）當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)側(cè)面時(shí)得，當(dāng)截面過(guò)正方體的體對(duì)角線時(shí)得，當(dāng)截面不平行于任何側(cè)面也不過(guò)對(duì)角線時(shí)得，但無(wú)論如何都不能截出 （2）此題的關(guān)鍵在于作截面球不可能與邊AB、CD相切，一個(gè)球在正方體內(nèi)，一般知道作對(duì)角面，而兩個(gè)球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對(duì)角線上，故仍需作正方體的對(duì)角面，得如右圖所示的截面圖球心O1和O2在AC上，過(guò)O1、O2分別作AD、BC的垂線交于E、F兩點(diǎn)設(shè)小球半徑為r，大球半徑為R則由AB=1，得， 【總結(jié)升華】作適當(dāng)?shù)慕孛媸墙鉀Q球與其他幾何體形成的組合體問(wèn)題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】 圓錐底面半徑為1cm，高為，其中有一個(gè)內(nèi)接正方體，求這個(gè)內(nèi)接正方體

20、的棱長(zhǎng).【答案】【解析】過(guò)圓錐的頂點(diǎn)S和正方體底面的一條對(duì)角線CD作圓錐的截面，得圓錐的軸截面SEF，正方體對(duì)角面，如圖所示.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為x，則.作SOEF于O，則，OE=1， ECC1EOS， ，即. ，即內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)為【總結(jié)升華】此題也可以利用SCDSEF而求.兩個(gè)幾何體相接、相切的問(wèn)題，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)一些截面之間的圖形關(guān)系.常常是通過(guò)分析幾個(gè)軸截面組合的平面圖形中的一些相似，利用相似比列出方程而求.注意截面圖形中各線段長(zhǎng)度的計(jì)算.類型四、簡(jiǎn)單幾何體的表面展開(kāi)與折疊問(wèn)題例6長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1（如圖）中，AB=3，BC=4，A1A=5，現(xiàn)有一甲殼蟲(chóng)從A出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到C

21、來(lái)獲取食物，試畫(huà)出它的最短爬行路線，并求其路程的最小值 【答案】【解析】 把長(zhǎng)方體的部分面展開(kāi)，如右圖所示對(duì)甲、乙、丙三種展開(kāi)圖利用勾股定理可得AC1的長(zhǎng)分別為、，由此可見(jiàn)乙是最短線路，所以甲殼蟲(chóng)可以先在長(zhǎng)方形ABB1A1內(nèi)由A到E，再在長(zhǎng)方形BCC1B1內(nèi)由E到C1，也可以先在長(zhǎng)方形AA1D1D內(nèi)由A到F，再在長(zhǎng)方形DCC1D1內(nèi)到F到C1，其最短路程為 【總結(jié)升華】在幾何體表面求最短路徑問(wèn)題，就是要“化折為直”，因此需要把幾何體表面展開(kāi)，本題注意要分三種情況討論舉一反三：【變式1】如圖，在底面半徑為1，高為2的圓柱上A點(diǎn)處有一只螞蟻，它要圍繞圓柱由A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，問(wèn)螞蟻爬行的最短距離是多少？

22、【答案】【解析】把圓柱的側(cè)面沿AB剪開(kāi)，然后展開(kāi)成為平面圖形矩形，如圖所示，連接AB，則AB即為螞蟻爬行的最短距離 ，為底面圓的周長(zhǎng)，且， ，即螞蟻爬行的最短距離為例7根據(jù)下圖所給的平面圖形，畫(huà)出立體圖形 【解析】 將各平面圖形折起后形成的空間圖形如下圖所示 【總結(jié)升華】平面圖形的折疊問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是多面體的表面展開(kāi)問(wèn)題的逆向問(wèn)題（即逆向過(guò)程）這兩類問(wèn)題都是立體幾何中的基本問(wèn)題，我們必須熟練掌握折疊與展開(kāi)這兩個(gè)基本功，并能準(zhǔn)確地畫(huà)出折疊和展開(kāi)前后的平面圖形和立體圖形，找到這兩個(gè)圖形之間的構(gòu)成關(guān)系舉一反三：【變式1】（2016春 吉林期末）如圖都是正方體的表面展開(kāi)圖，還原成正方體后，其中兩個(gè)完全一樣

23、的是（ ）A（1）（2） B（2）（3） C（3）（4） D（1）（4）【答案】B【解析】（1）圖還原后，對(duì)面，對(duì)面，對(duì)面；（2）圖還原后，對(duì)面，對(duì)面，對(duì)面；（3）圖還原后，對(duì)面，對(duì)面，對(duì)面；（4）圖還原后，對(duì)面，對(duì)面，對(duì)面；綜上，可得還原成正方體后，其中兩個(gè)完全一樣的是（2）（3），故選：B【鞏固練習(xí)】1下列說(shuō)法中正確的是（ ） A棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面 B棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行 C棱柱中一條側(cè)棱的長(zhǎng)叫棱柱的高 D棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形2下列說(shuō)法正確的是()A直角三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)

24、旋轉(zhuǎn)體C圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)D通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條母線3下面的圖形可以構(gòu)成正方體的是（ ）4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)，那么，正方體過(guò)P、Q、R的截面是（ ） A三角形 B四邊形 C五邊形 D六邊形5（2016春 湖南月考）一個(gè)長(zhǎng)方體底面為正方形且邊長(zhǎng)為4，高為h，若這個(gè)長(zhǎng)方體能裝下8個(gè)半徑為1的小球和一個(gè)半徑為2的大球，則h的最小值為（ ）A8 B C D66在下面的四個(gè)平面圖形中，哪幾個(gè)是側(cè)棱都相等的四面體的展開(kāi)圖？其序號(hào)是_7圓臺(tái)兩底面半徑分別是2 cm和5 cm，母線長(zhǎng)是3 cm，則它的軸截面的面積是_8已知地

25、球半徑為，北緯緯線的長(zhǎng)度為 。9三棱柱的底面為正三角形，側(cè)面是全等的矩形，內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，已知球的半徑為R，則這個(gè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為_(kāi)10（2016 上海嘉定區(qū)模擬）如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個(gè)圓錐中有一個(gè)高為x的圓柱（1）用x表示此圓柱的側(cè)面積表達(dá)式；（2）當(dāng)此圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求此圓柱的體積11正四棱錐(棱錐底面是正方形，側(cè)面都是全等等腰三角形)有一個(gè)內(nèi)接正方體，它的頂點(diǎn)分別在正四棱錐的底面內(nèi)和側(cè)棱上.若棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，求內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng).12如圖所示為長(zhǎng)方體ABCDABCD，當(dāng)用矩形BCFE把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分后，各部分形成的多面體還是棱柱嗎？如果不是

26、，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果是，指出底面及側(cè)棱【答案與解析】1【答案】B 【解析】棱柱中也存在互相平行的側(cè)面，故A錯(cuò)；棱柱上、下底面的距離叫棱柱的高，若側(cè)棱與底面垂直，則側(cè)棱長(zhǎng)即為高；若側(cè)棱與底面不垂直，則側(cè)棱長(zhǎng)就不是棱柱的高，故C錯(cuò)；長(zhǎng)方體是棱柱，其底面為平行四邊形，故D錯(cuò)綜上選B2【答案】C【解析】圓錐是直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)得到的，如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)就不是圓錐，A不正確，圓柱夾在兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體，故B不正確，通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有且只有一條母線，故D不正確故選C3【答案】C 【解析】 由平面圖形折疊成正方形可知，選C4【答案】D 【解析】 如答圖3，取C1D1的中點(diǎn)H，連接HR

27、，則，再取B1B與D1D的中點(diǎn)M、N，則多邊形HNQPMR是正六邊形5【答案】B【解析】小球半徑為1，下面放4個(gè)小球，中間放大球，上面再放4個(gè)小球，這相h才能最小，下面4個(gè)小球的4個(gè)圓心跟中間大球的圓心形成一個(gè)四棱錐，這四棱錐的四棱錐底面是個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，對(duì)角線的一半是，斜邊是3，這個(gè)四棱錐的高，h的最小值故選：B6【答案】7【答案】63 【解析】畫(huà)出軸截面，如下圖，過(guò)A作AMBC于M，則BM=52=3（cm），（cm），。 8【答案】 【解析】設(shè)北緯60度緯線圈上任一點(diǎn)為A，地心為，A引線垂直于地軸交于，則直角三角形中為60度，故 ,而為地球半徑長(zhǎng)度，所以AB=R/2，故該緯度緯線周長(zhǎng)為

28、。9【答案】 【解析】由題意可知，球內(nèi)接于正三棱柱的截面圖是一個(gè)半徑為的圓內(nèi)接于正三角形，故可求得正三角形的邊長(zhǎng)為，即這個(gè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為。10【答案】（1）（0 x2）；（2）【解析】（1）設(shè)圓柱的半徑為r，則，r=2x，0X22rx=2(2x)x=（0 x2）（2），當(dāng)x=1時(shí)，S圓柱側(cè)取最大值2，此時(shí)，r=1，所以11【解析】作截面，利用相似三角形知識(shí)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，則，解得.12【答案】詳見(jiàn)解析【解析】截面BCFE右側(cè)部分是棱柱，因?yàn)樗鼭M足棱柱的定義它是三棱柱BEBCFC，其中BEB和CFC是底面EF，BC，BC是側(cè)棱，截面BCFE左側(cè)部分也是棱柱它是四棱柱ABEADCFD其中

29、四邊形ABEA和四邊形DCFD是底面AD，EF，BC，AD為側(cè)棱空間幾何體的三視圖和直觀圖【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解平行投影與中心投影，了解在平行投影下畫(huà)空間圖形與在中心投影下畫(huà)空間圖形兩種方法的各自特點(diǎn)，了解空間圖形的不同表現(xiàn)形式；2. 能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱的簡(jiǎn)易組合體）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它們的直觀圖【要點(diǎn)梳理】【空間幾何體的三視圖與直觀圖 395059中心投影與平行投影】要點(diǎn)一：中心投影與平行投影1投影、投影線和投影面由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影其中的光線叫做投影線，留下物

30、體影子的屏幕叫做投影面2中心投影我們把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫做中心投影中心投影的投影線交于一點(diǎn)，它的實(shí)質(zhì)是一個(gè)點(diǎn)光源把一個(gè)物體射到一個(gè)平面上，這個(gè)物體的影子就是它在這個(gè)平面上的中心投影 3中心投影的性質(zhì) （1）中心投影的投影線交于一點(diǎn)； （2）點(diǎn)光源距離物體越近，投影形成的影子越大 4平行投影 我們把在一束平行光線照射下形成的投影叫做平行投影投影線正對(duì)著投影面時(shí)，叫做正投影，否則叫做斜投影 5平行投影的性質(zhì) （1）平行投影的投影線互相平行 （2）在平行投影之下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與這個(gè)平面圖形的形狀和大小完全相同 6中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系 （1）平行投影包括斜二測(cè)畫(huà)

31、法和三視圖中心投影后的圖形與原圖形相比雖然改變較多，但直觀性強(qiáng)，看起來(lái)與人的視覺(jué)效果一致，最像原來(lái)的物體 （2）畫(huà)實(shí)際效果圖時(shí)，一般用中心投影法，畫(huà)立體幾何中的圖形時(shí)，一般用平行投影法要點(diǎn)二：空間幾何體的三視圖【空間幾何體的三視圖與直觀圖 395059 三視圖】1三視圖的概念 把一個(gè)空間幾何體投影到一個(gè)平面上，可以獲得一個(gè)平面圖形，但是只有一個(gè)平面圖形很難把握幾何體的全貌，因此我們需要從多個(gè)角度進(jìn)行投影，這樣才能較好地把握幾何體的形狀和大小通常，我們總是選擇三種投影 （1）光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖； （2）光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾

32、何體的側(cè)視圖； （3）光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖 幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖 2三視圖的畫(huà)法規(guī)則 畫(huà)三視圖時(shí)，以正視圖為準(zhǔn)，俯視圖在正視圖的正下方，側(cè)視圖在正視圖的正右方，正、俯、側(cè)三個(gè)視圖之間必須互相對(duì)齊，不能錯(cuò)位 正視圖反映物體的長(zhǎng)度和高度，俯視圖反映物體的長(zhǎng)度和寬度，側(cè)視圖反映物體的寬度和高度，由此，每?jī)蓚€(gè)視圖之間有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系得到三視圖的畫(huà)法規(guī)則： （1）正、俯視圖都反映物體的長(zhǎng)度“長(zhǎng)對(duì)正”； （2）正、側(cè)視圖都反映物體的高度“高平齊”； （3）俯、側(cè)視圖都反映物體的寬度“寬相等”【空間幾何體的三視圖與直觀

33、圖 395059 斜二測(cè)畫(huà)法及典型例題1】要點(diǎn)三：斜二測(cè)畫(huà)法 在立體幾何中，空間幾何體的直觀圖通常是在平行投影下畫(huà)出的空間圖形要畫(huà)空間幾何體的直觀圖，首先要學(xué)會(huì)水平放置的平面圖形的直觀圖畫(huà)法 對(duì)于平面多邊形，我們常用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)它們的直觀圖，斜二測(cè)畫(huà)法是一種特殊的平行投影畫(huà)法 斜二測(cè)畫(huà)法的步驟： （1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x軸與y軸，兩軸交于點(diǎn)O，且使xOy=45（或135），它們確定的平面表示水平面 （2）已知圖形中，平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x軸、y軸的線段，并使它們和所畫(huà)坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和

34、原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同 （3）已知圖形中，平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半畫(huà)圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了平面圖形的直觀圖要點(diǎn)詮釋：用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)圖的關(guān)鍵是在原圖中找到?jīng)Q定圖形位置與形狀的點(diǎn)并在直觀圖中畫(huà)出一般情況下，這些點(diǎn)的位置都要通過(guò)其所在的平行于x、y軸的線段來(lái)確定，當(dāng)原圖中無(wú)需線段時(shí)，需要作輔助線段要點(diǎn)四：立體圖形的直觀圖 （1）用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的步驟 在已知圖形中，取互相垂直的x軸和y軸，再取z軸，使xOz=90，且yOz=90； 畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸x，y，z，使xOy=45（或135），xOz=90

35、，xOy所確定的平面表示水平平面； 已知圖形中平行于x軸，y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x軸，y軸或z軸的線段； 在已知平面圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半； 擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間幾何體的直觀圖 （2）斜二測(cè)畫(huà)法保留了原圖形中的三個(gè)性質(zhì) 平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；共點(diǎn)性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；平行于x，z軸的長(zhǎng)度不變 （3）畫(huà)立體圖形與畫(huà)水平放置的平面圖形相比多了一個(gè)z軸，其直觀圖中對(duì)應(yīng)于z軸的是z軸，平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示直立平面平行于z軸（或在

36、：軸上）的線段，其平行性和長(zhǎng)度都不變 （4）三視圖與直觀圖的聯(lián)系與區(qū)別 三視圖與直觀圖都是用平面圖形來(lái)刻畫(huà)空間圖形的位置特征與度量特征，二者有以下區(qū)別： 三視圖從細(xì)節(jié)上刻畫(huà)了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，由三視圖可以得到一個(gè)精確的幾何體，如零件、建筑圖紙等都是三視圖 直觀圖是對(duì)空間幾何體的整體刻畫(huà)，可視性高，立體感強(qiáng)，由此可以想象實(shí)物的形狀 要點(diǎn)五：已知三視圖畫(huà)直觀圖 三視圖和直觀圖是空間幾何體的兩種不同的表現(xiàn)形式直觀圖是在某一定點(diǎn)觀察到的圖形，三視圖是投射線從不同位置將物體按正投影向投影面投射所得到的圖形，對(duì)于同一個(gè)物體，兩者可以相互轉(zhuǎn)換 由三視圖畫(huà)直觀圖，一般可分為兩步： 第一步：想象空間幾何體的形狀

37、 三視圖是按照正投影的規(guī)律，使平行光線分別從物體的正面、側(cè)面和上面投射到投影面后得到的投影圖，包括正視圖、側(cè)視圖和俯視圖 正視圖反映出物體的長(zhǎng)和高，側(cè)視圖反映出物體高和寬，所以正視圖和側(cè)視圖可以確定幾何體的基本形狀，如柱體、錐體或臺(tái)體等俯視圖反映出物體的長(zhǎng)和寬對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體來(lái)說(shuō)，當(dāng)俯視圖是圓形時(shí)，該幾何體是旋轉(zhuǎn)體；當(dāng)俯視圖是多邊形時(shí)，該幾何體是多面體 第二步：利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出直觀圖 當(dāng)幾何體的形狀確定后，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出相應(yīng)物體的直觀圖注意用實(shí)線表示看得見(jiàn)的部分，用虛線表示看不見(jiàn)的部分畫(huà)完直觀圖后還應(yīng)注意檢驗(yàn) 【典型例題】類型一、平行投影與中心投影例1下列命題中正確的是（ ）A矩形的平行投影

38、一定是矩形B梯形的平行投影一定是梯形C兩條相交直線的投影可能平行D一條線段的平行投影如果仍是一條線段，那么這條線段中點(diǎn)的投影必是這條線段投影的中心【答案】D【解析】平行投影因投影線的方向變化而不同，因而平行投影改變幾何圖形的形狀，因而A、B不正確兩條直線的交點(diǎn)無(wú)論是平行投影還是中心投影仍是同一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)在兩條直線的投影上，因而兩條直線的投影不可能平行，故C錯(cuò) 兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比，因而D正確【總結(jié)升華】空間圖形經(jīng)過(guò)中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線，如照片中由近到遠(yuǎn)，物體之間的距離越來(lái)越近，最后相交于一點(diǎn)中心投影后的圖形與原圖形相比雖然改變較多，但直觀性

39、強(qiáng)，看起來(lái)與人的視覺(jué)效果一致，最像原來(lái)的物體，所以在繪畫(huà)時(shí)，經(jīng)常使用這種方法例2如下圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、C1D1的中點(diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的射影可能是下圖中的_ 【答案】（1）（2）（3）【解析】要畫(huà)出四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影，只需畫(huà)出四個(gè)頂點(diǎn)A、G、F、E在每個(gè)面上的投影，再順次連接即得在該面上的投影，并且在兩個(gè)平行平面上的投影是相同的由此可得在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是上圖（1）；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是上圖（2）；在面ABB1A1和面DCC1D1上的

40、投影是上圖（3）故填（1）（2）（3） 【總結(jié)升華】畫(huà)出一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點(diǎn)如頂點(diǎn)等，畫(huà)出這些關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再依次連接即可得此圖形在該平面上的投影舉一反三：【變式1】如下圖所示，E、F分別為正方體面ADDA、面BCCB的中心，則四邊形BFDE在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是下圖中的_ 【答案】 類型二、空間幾何體的三視圖例3螺栓是棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體，如下圖，畫(huà)出它的三視圖 【解析】該物體是由一個(gè)正六棱柱和一個(gè)圓柱組合而成的正視圖反映正六棱柱的三個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面，側(cè)視圖反映正六棱柱的兩個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面，俯視圖反映該物體正投影后是一個(gè)正六邊形和一個(gè)圓（中心重合）

41、 它的三視圖如下圖 【總結(jié)升華】（1）對(duì)于簡(jiǎn)單空間幾何體的組合體，一定要認(rèn)真觀察，先認(rèn)識(shí)它的基本結(jié)構(gòu)，然后再畫(huà)它的三視圖 （2）在繪制三視圖時(shí)，應(yīng)注意：若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出（3）畫(huà)簡(jiǎn)單組合體的三視圖應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題：首先，確定正視、側(cè)視、俯視的方向，同一物體放置的位置不同，所畫(huà)的三視圖就可能不同；其次，簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的，并注意它們的構(gòu)成方式，特別是它們的交線位置 例4如下圖（1）所示的是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，畫(huà)出它的立體圖形 【解析】從獎(jiǎng)杯的三視圖可以看出，獎(jiǎng)杯的底座是一個(gè)正棱臺(tái)它的上底面是邊長(zhǎng)為60 mm的

42、正方形，下底面是邊長(zhǎng)為100 mm的正方形，高為20 mm底座的上面是一個(gè)底面對(duì)角線長(zhǎng)為40 mm，高72 mm的正四棱柱，它的底面對(duì)角線分別與棱臺(tái)的底面的兩邊平行，底面的中心在棱臺(tái)上、下底面中心的連線上，獎(jiǎng)杯的最上部是在正四棱柱上底面的中心放了一個(gè)直徑為28 mm的球根據(jù)以上分析，畫(huà)出獎(jiǎng)杯的立體圖形，如右圖所示【總結(jié)升華】由三視圖還原成實(shí)物圖是由實(shí)物圖畫(huà)三視圖的逆向思維，其關(guān)鍵仍然是抓住“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的基本特征，想象視圖中每部分對(duì)應(yīng)的實(shí)物部分的形狀，特別要注意幾何體中與投影面垂直或平行的線及面的位置根據(jù)三視圖想象空間幾何體，是培養(yǎng)空間想象能力的重要方式，這需要根據(jù)幾何體的正視圖、

43、側(cè)視圖、俯視圖的幾何特點(diǎn)，想象整個(gè)幾何體的幾何特征，從而判斷三視圖所描述的幾何體通常是根據(jù)俯視圖判斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖確定具體的幾何結(jié)構(gòu)特征，最終確定是簡(jiǎn)單幾何體還是簡(jiǎn)單組合體舉一反三：【變式1】 右圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形給定下列三個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） 存在三棱柱其正（主）視圖、俯視圖如右圖 存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖 存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖 A3 B2 C1 D0 【答案】A【變式2】一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一角的直觀圖如圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列畫(huà)法正確的是()【答案】A類型三、空間幾何體的直觀圖例5在水平放置的平面內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)

44、為1的正方形ABCD，如圖，其中的對(duì)角線AC在水平位置，已知該正方形是某個(gè)四邊形用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖，試畫(huà)出該四邊形的真實(shí)圖形并求出其面積【答案】【解析】四邊形ABCD的真實(shí)圖形如圖所示，AC在水平位置，ABCD為正方形，DACACB45，在原四邊形ABCD中，DAAC，ACBC，DA2DA2，ACAC，S四邊形ABCDACAD【總結(jié)升華】斜二測(cè)畫(huà)法的作圖技巧：1在已知圖中建立直角坐標(biāo)系，理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都行，但實(shí)際作圖時(shí)，一般建立特殊的直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，以線段的中點(diǎn)或圖形的對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)；2在原圖中平行于軸和軸的線段在直觀圖中仍然平行于軸

45、和軸，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫(huà)出線段的端點(diǎn)再連線，畫(huà)端點(diǎn)時(shí)利用與坐標(biāo)軸平行的線段；3畫(huà)立體圖形的直觀圖，在畫(huà)軸時(shí)，要再畫(huà)一條與平面垂直的軸，平行于軸的線段長(zhǎng)度保持不變舉一反三：【變式1】（2016 河南南陽(yáng)三模）如圖，矩形OABC是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA=6，OC=2，則原圖形的面積為_(kāi)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給的數(shù)據(jù)做出直觀圖形的面積，根據(jù)直觀圖的面積：原圖的面積，得到原圖形的面積【答案】【解析】矩形OABC是一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中OA=6，OC=2，直觀圖的面積是62=12直觀圖的面積：原圖的面積原圖形的面積是故答案為：【總結(jié)升華】求直觀圖的面積的關(guān)鍵是依據(jù)斜二測(cè)

46、畫(huà)法，求出相應(yīng)的直觀圖的底邊和高，也就是原來(lái)實(shí)際圖形中的高線在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成45角且長(zhǎng)度為原來(lái)的一半的線段，以此為依據(jù)求出相應(yīng)的高線即可反過(guò)來(lái)，由一個(gè)平面圖形的直觀圖來(lái)確定原平面圖形的面積，也是依據(jù)這個(gè)規(guī)則來(lái)確定的例6一個(gè)機(jī)器部件，它的下面是一個(gè)圓柱，上面是一個(gè)圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3 cm，高為3 cm，圓錐的高為3 cm，畫(huà)出此機(jī)器部件的直觀圖 【解析】 這個(gè)幾何體（部件）是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，可以先畫(huà)出下面的圓柱，再畫(huà)出上面的圓錐 畫(huà)法：（1）如下圖（1）所示，畫(huà)x軸、，y軸、z軸，使xOy=45，xOz=90 （2）畫(huà)圓柱的兩底面按x、y軸畫(huà)出

47、底面O，使直徑為3 cm，在z軸上截取OO，使OO=3 cm，過(guò)O作Ox的平行線Ox，Oy的平行線Oy，利用Ox與Oy畫(huà)出底面O，使其直徑為3 cm （3）畫(huà)圓錐的頂點(diǎn)在z軸上畫(huà)出點(diǎn)P，使PO等于圓錐的高3 cm （4）成圖連接AA、BB、PA、PB，擦去輔助線，得到此幾何體（部件）的直觀圖，如下圖（2）所示 【總結(jié)升華】解此類題，首先要根據(jù)題目中的條件、尺寸想象出實(shí)物模型，然后建立坐標(biāo)系，按直觀圖的畫(huà)法，作出其對(duì)應(yīng)的直觀圖【鞏固練習(xí)】1在下列關(guān)于用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的說(shuō)法中，正確的命題的個(gè)數(shù)是（ ）相等的角在直觀圖中對(duì)應(yīng)的角仍相等；相等的線段在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線段仍然相等；平行的線段在直觀圖中

48、對(duì)應(yīng)的線段仍然平行；線段的中點(diǎn)在直觀圖中仍然是線段的中點(diǎn)A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)2給出以下命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）如果一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖是完全相同的，則這個(gè)幾何體是球；如果一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長(zhǎng)方體；如果一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是矩形，則這個(gè)幾何是長(zhǎng)方體；如果一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是等腰梯形，則這個(gè)幾何體是圓臺(tái)A1 B2 C3 D43一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于()A BC D4水平放置ABC，有一邊在水平線上，用斜二測(cè)畫(huà)法作出的直觀圖是正三角形A

49、BC，則ABC是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D任意三角形5如下圖所示為一個(gè)平面圖形的直觀圖，則此平面圖可能是下列選項(xiàng)中的（ ） 6將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如下圖所示，則該幾何體的左視圖為（ ） 7如下圖（1）、（2）所示的三視圖代表的立體圖形分別是_ 8（2016春 山東淄博期中）一個(gè)三角形在其直觀圖中對(duì)應(yīng)一個(gè)邊長(zhǎng)為1正三角形，原三角形的面積為_(kāi)9如圖所示，為一個(gè)水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2)，則在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B到x軸的距離為_(kāi)10如圖所示，梯形ABCD中，ABCD，AB4 cm，CD2 cm

50、，DAB30，AD3 cm，試畫(huà)出它的直觀圖11（2016秋 青海西寧月考）根據(jù)給出的空間幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖（寫(xiě)出畫(huà)法，并保留作圖痕跡）12如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖. 請(qǐng)畫(huà)出原來(lái)的平面幾何圖形的形狀，并求原圖形的周長(zhǎng)與面積. 【答案與解析】1【答案】B 【解析】由斜二測(cè)畫(huà)法的定義知，正確2【答案】A 【解析】 正方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是正方形，故不對(duì)；正視圖和俯視圖都是矩形的幾何體還有可能是圓柱，故不對(duì)；正視圖和俯視圖都是等腰梯形的幾何體還有可能是底面是正方形、側(cè)棱相等的四棱臺(tái)，故不對(duì)；顯然正確3【答案】D【解析】如圖1所示，等腰

51、梯形ABCD為水平放置的原平面圖形的直觀圖，作DEAB交BC于E，由斜二測(cè)直觀圖畫(huà)法規(guī)則，直觀圖是等腰梯形ABCD的原平面圖形為如圖2所示的直角梯形ABCD，且AB2，BC，AD1，所以SABCD 圖1 圖2故選：D4【答案】C 【解析】 將ABC還原，由斜二測(cè)畫(huà)法知，ABC為鈍角三角形5【答案】C 【解析】 很明顯平面圖形是梯形，在直觀圖中，右邊的線段與y軸平行，因此平面圖形的上底與右邊的腰應(yīng)垂直6【答案】D 【解析】 被截去的四棱錐的三條可見(jiàn)側(cè)棱中有兩條為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，它們?cè)谟覀?cè)面上的投影與右側(cè)面（長(zhǎng)方形）的兩條邊重合，另一條為體對(duì)角線，它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對(duì)角線重合，對(duì)照各圖

52、，只有選項(xiàng)D符合7【答案】正六棱錐、兩個(gè)圓臺(tái)的組合體 【解析】由三視圖的特征想象原幾何體的特征8【答案】【解析】三角形的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為1正三角形，又故答案為：9【答案】【解析】畫(huà)出直觀圖，則B到x軸的距離為10【答案】詳見(jiàn)解析【解析】（1）如圖a所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy如圖b所示，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的x軸，y軸，使xOy45（2）在圖a中，過(guò)D點(diǎn)作DEx軸，垂足為E在x軸上取ABAB4 cm，cm；過(guò)點(diǎn)E作EDy軸，使，再過(guò)點(diǎn)D作DCx軸，且使DCDC2 cm（3）連接AD、BC，并擦去x軸與y軸及其他一些輔助線，如圖c所示，則四邊形AB

53、CD就是所求作的直觀圖11【解析】畫(huà)法如下： （1）畫(huà)軸如下圖，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使xOy=45，xOz=90（2）畫(huà)圓臺(tái)的兩底面畫(huà)出底面O假設(shè)交x軸于A、B兩點(diǎn)，在z軸上截取O，使OO等于三視圖中相應(yīng)高度，過(guò)O作Ox的平行線Ox，Oy的平行線Oy利用Oy與Oy畫(huà)出底面O，設(shè)O交x軸于A、B兩點(diǎn)（3）成圖連接AA、BB，去掉輔助線，將被遮接的部分要改為虛線，即得到給出三視圖所表示的直觀圖12【解析】逆向運(yùn)用斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則：“水平長(zhǎng)不變，垂直長(zhǎng)增倍”，注意平行于y軸的為垂直.如圖，建立直角坐標(biāo)系在軸上?。辉谳S上??；在過(guò)點(diǎn)的軸的平行線上取.連接各點(diǎn)，即得到了原圖形.由作法可知，為

54、平行四邊形，,平行四邊形OABC的周長(zhǎng)為，面積為.空間幾何體的表面積和體積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)對(duì)柱、錐、臺(tái)體的研究，掌握柱、錐、臺(tái)的表面積和體積的求法；2.能運(yùn)用公式求解柱體、錐體和臺(tái)體的體積，并且熟悉臺(tái)體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；3.了解球的表面積和體積公式推導(dǎo)的基本思想，掌握球的表面積和體積的計(jì)算公式，并會(huì)求球的表面積和體積；4.會(huì)用柱、錐、臺(tái)體和球的表面積和體積公式求簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積.【要點(diǎn)梳理】【空間幾何體的表面積和體積 395219 空間幾何體的表面積】要點(diǎn)一、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積 棱柱、棱錐、棱臺(tái)是多面體，它們的各個(gè)面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個(gè)面的面積之和計(jì)

55、算時(shí)要分清面的形狀，準(zhǔn)確算出每個(gè)面的面積再求和棱柱、棱錐、棱臺(tái)底面與側(cè)面的形狀如下表：項(xiàng)目名稱底面?zhèn)让胬庵矫娑噙呅纹叫兴倪呅蚊娣e=底高棱錐平面多邊形三角形面積=底高棱臺(tái)平面多邊形梯形面積=（上底+下底）高要點(diǎn)詮釋：求多面體的表面積時(shí)，只需將它們沿著若干條棱剪開(kāi)后展開(kāi)成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積要點(diǎn)二、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱、圓錐、圓臺(tái)是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應(yīng)把它們的側(cè)面展開(kāi)為平面圖形，再去求其面積1圓柱的表面積（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)，那么這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)C=2r，寬等

56、于圓柱側(cè)面的母線長(zhǎng)（也是高），由此可得S圓柱側(cè)=C=2r （2）圓柱的表面積：2圓錐的表面積（1）圓錐的側(cè)面積：如下圖（1）所示，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為，那么這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)C=r，半徑等于圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)為，由此可得它的側(cè)面積是（2）圓錐的表面積：S圓錐表=r2+r 3圓臺(tái)的表面積（1）圓臺(tái)的側(cè)面積：如上圖（2）所示，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、r，母線長(zhǎng)為，那么這個(gè)扇形的面積為(r+r)，即圓臺(tái)的側(cè)面積為S圓臺(tái)側(cè)=(r+r)（2）圓臺(tái)的表面積：要點(diǎn)詮釋：求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過(guò)程及其幾何特征入

57、手，將其展開(kāi)后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系4圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系如下圖所示 【空間幾何體的表面積和體積395219 空間幾何體的體積】要點(diǎn)三、柱體、錐體、臺(tái)體的體積1柱體的體積公式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即V棱柱=Sh圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是V圓柱=Sh=r2h綜上，柱體的體積公式為V=Sh2錐體的體積公式棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積；如果底面積半徑是r，用r2表示S，則綜上，錐體的體積公式為3臺(tái)

58、體的體積公式棱臺(tái)的體積：如果棱臺(tái)的上、下底面的面積分別為S、S，高是h，那么它的體積是圓臺(tái)的體積：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r、r，高是h，那么它的體積是綜上，臺(tái)體的體積公式為4柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系如下圖所示 【空間幾何體的表面積和體積395219 球的體積與表面積】要點(diǎn)四、球的表面積和體積1球的表面積（1）球面不能展開(kāi)成平面，要用其他方法求它的面積（2）球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式 S球=4R2即球面面積等于它的大圓面積的四倍2球的體積設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)球的體積公式為要點(diǎn)五、側(cè)面積與體積的計(jì)算1多面體的側(cè)面積與體積的

59、計(jì)算在掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)側(cè)面積公式及其推導(dǎo)過(guò)程的基礎(chǔ)上，對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的幾何組合體的表面積與體積，能夠?qū)⑵浞纸獬芍㈠F、臺(tái)、球，再進(jìn)一步分解為平面圖形（正多邊形、三角形、梯形等），以求得其表面積與體積要注意對(duì)各幾何體相重疊部分的面積的處理，并要注意一些性質(zhì)的靈活運(yùn)用（1）棱錐平行于底的截面的性質(zhì)：在棱錐與平行于底的截面所構(gòu)成的小棱錐中，有如下比例關(guān)系：對(duì)應(yīng)線段（如高、斜高、底面邊長(zhǎng)等）的平方之比要點(diǎn)詮釋：這個(gè)比例關(guān)系很重要，在求錐體的側(cè)面積、底面積比時(shí)，會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程在求臺(tái)體的側(cè)面積、底面積比時(shí)，將臺(tái)體補(bǔ)成錐體，也可應(yīng)用這個(gè)關(guān)系式（2）有關(guān)棱柱直截面的補(bǔ)充知識(shí)在棱柱中，與各側(cè)棱均垂

60、直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及與底面平行的截面棱柱的側(cè)面積與直截面周長(zhǎng)有如下關(guān)系式：S棱柱側(cè)=C直截（其中C直截、分別為棱柱的直截面周長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)），V棱柱=S直截（其中S直截、分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長(zhǎng)）2旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積的計(jì)算（1）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開(kāi)圖的面積，因此弄清側(cè)面展開(kāi)圖的形式及側(cè)面展開(kāi)圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解決有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵（2）計(jì)算柱體、錐體和臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵【典型例題】類型一、簡(jiǎn)單幾何體的表面積例1如右圖，有兩個(gè)相同的直三棱柱，高