1、 “求解幾何體外接球問(wèn)題的關(guān)鍵是什么”教案一、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能：掌握找?guī)缀误w外接球球心的三種方法，從而解決一類與外接球有關(guān)的組合體問(wèn)題2過(guò)程與方法：先尋找到部分頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，再找到所有頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)（即球心），體現(xiàn)從部分到整體的轉(zhuǎn)化思想方法情感態(tài)度與價(jià)值觀：理解從部分到整體的轉(zhuǎn)化關(guān)系，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣和積極性二、教學(xué)過(guò)程師：同學(xué)們，什么是外接球問(wèn)題呢？我們來(lái)看一個(gè)三棱錐的外接球（幾何畫板演示），顯然三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，這時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)球是三棱錐的外接球，這個(gè)三棱錐是球的內(nèi)接三棱錐根據(jù)這一位置關(guān)系，我們不難得到外接球問(wèn)題的性質(zhì)：外接球球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離均相等所

2、以，解決幾何體外接球問(wèn)題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置下面老師介紹三種找?guī)缀误w外接球球心的方法，請(qǐng)往下看例題找法一利用直角三角形斜邊的中點(diǎn)找球心【例1】如圖1,在四邊形ABCD中，AB=BC二CD=1,AB_BD,BC_CD，將LABD沿BD折起，使得平面ABD_平面BCD,則該幾何體的外接球的表面積等于（）DA.3二B.6二CD.2二21，得AB_平面BCD，圖ABD_平面BCD，且AB_BD3:【思路分析】由已知條件平面.AB_CD，又；BC_CDCD_平面ABC，從而CD_ACLACD是直角三角形，又：ABBD，那么AD是RABD和RtACD的公共斜邊，則AD的中點(diǎn)0到A、B、C、D四點(diǎn)距

3、離相等，所以球心就是O點(diǎn)解：如圖1,在四面體A-BCD中，.平面ABD_平面BCD,AB_BD,二AB_平面BCD,ABCD，又：BC_CD,.CD_平面ABC，從而CD_AC,.LACD是直角三角形，又：AB_BD,.AD是RtABD和RtLACD的公共斜邊，取斜邊AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OB,OC，則OA=OB=OC=OD,四面體A-BCD的外接球球心即為O,TOC o 1-5 h zJ32v/32外接球的半徑R=OAAD,S球二4R=4二（）=3二，二選（A）22【解后歸納】（1）如果一個(gè)幾何體的側(cè)面中有直角三角形，那么到該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)一定是斜邊的中點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上再尋找到其

4、它頂點(diǎn)距離也相等的點(diǎn)（球心）；（2）解題時(shí)先觀察這個(gè)幾何體的側(cè)面中有沒(méi)有直角三角形【例2】一個(gè)幾何體的三視圖如圖2所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外TOC o 1-5 h z接球的表面積為（）8二16?.圖2側(cè)視圖圖3【思路分析】由三視圖可知，在直觀圖中底面BCD是直角三角形，側(cè)面ABD是正三角形, HYPERLINK l bookmark6 o Current Document A.B.C.43D.2333且平面ABD_平面BCD，所以斜邊BD的中點(diǎn)01到B、C、D三點(diǎn)的距離相等，又/AOi丄平面BCD,所以球心0定在直線A0上，再在RLIBOQ中，由勾股定理求出外接球的半徑R

5、.解：由三視圖作出原幾何體是三棱錐A-BCD，如圖3所示.由三視圖知，平面ABD_平面BCD，取BD的中點(diǎn)01，連結(jié)A01,CQ,V_ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，LBCD是等腰直角三角形，且BC二CD=、2,/BCD90,二A01_平面BCD，則球心0在直線AO1上，連結(jié)B0，設(shè)外接球的半徑為R，在RtBOO1中，：B02二B0,200：,二R2=12（,3-R）2，解得R二亙，S求二4-R2=4二纟二空，二選（B）.TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 33【解后歸納】（1）如果幾何體有一個(gè)側(cè)面是直角三角形，那么外接球

6、的球心一定在過(guò)直角三角形斜邊的中點(diǎn)且與該直角三角形所在平面垂直的直線上；（2）設(shè)出球心0后，在直角三角形中由勾股定理可求得外接球的半徑R.找法二利用多邊形的外心找球心【例3】設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為表面積為（）2721122A.二aB.二aC.二aD.5二a圖4a, HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 33【思路分析】由題意知這是一個(gè)直三棱柱，且上、下底面都是正三角形，那么球心0定在連接上、下底面中心（即外心）0和02的直線0i02的中點(diǎn)處，再在RtAOOl中，由勾股定理求出外接球半徑.解：如圖4,設(shè)正三角形ABC和ABiCi的中

7、心（即外心）分別為0i和02，連結(jié)O1O2，0A,01A，取QO2的中點(diǎn)0,則0到三棱柱ABA1B1C1各頂點(diǎn)的距離都相等，球心就是0,TOC o 1-5 h z_、21在RtA001中，外接球半徑R=0A二.0012A012a,6-S球=4二r2=4a?=二a?,選（B）.123【解后歸納】（1）因?yàn)橥庑牡饺切稳齻€(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以球心一定在過(guò)三角形ABC外心。1且垂直于平面ABC的直線O1O2上，這是利用多邊形的外心找球心；（2）這里的多邊形可以是三角形也可以是四邊形【例4】直三棱柱ABCABG的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,NBAC=120:則此球的表面積等于.【思路

8、分析】由題意知這是一個(gè)直三棱柱，且上、下底面都是鈍角三角形，那么球心O定在連接上、下底面外心O1和02的直線O1O2的中點(diǎn)處，先用正弦定理求出LABC的外接圓半圖5徑，再在rLaoo.|中，由勾股定理求出外接球半徑解：如圖5,設(shè)三角形ABC和ABG的外心分別為01和02,連結(jié)0。2,0A,O1A，取O1O2的中點(diǎn)0,則0到直三棱柱ABC-ABQ各頂點(diǎn)的距離都相等，.球心即為0,由余弦定理，TBC2二AB2AC2-2ABACcosBAC=12,BC=2.3，設(shè)LABC外接圓的BC1半徑為r，則由正弦定理，；2r4,r=2，在rLA00中，外接球的半sinNBAC徑R二A0二，A01200j,5,

9、S求二4R2二4二（、,5）2二20二.【解后歸納】（1）本題找球心的方法與例3相似，但因?yàn)楸绢}上、下底面都是鈍角三角形，所以外心在三角形的外面，這一點(diǎn)有所不同；（2）在求底面三角形外接圓半徑的時(shí)候可能要用到正弦定理或余弦定理找法三利用正方體或長(zhǎng)方體的中心找球心【例5】已知正三棱錐P_ABC，點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為.3的球面上，若PA,PB,PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為.【思路分析】由已知條件可知，正三棱錐P-ABC恰好是正方體的一個(gè)角，所以可以把它補(bǔ)成一個(gè)正方體，此時(shí)正三棱錐P-ABC的外接球與正方體的外接球相同，所以外接球的球心剛好是正方體的中心解：把正三棱錐補(bǔ)成正方體

10、，如圖6，則球心O就是正方體的中心，正方體的體對(duì)角線丨等于球的直徑，I=2、3，又平面ABC把正方體的體對(duì)角線三等分，設(shè)球的半徑為R，則球心O到截面ABC的距離d二R_|工丄丨-丄|二丄I二二.32363【解后歸納】（1）凡是能補(bǔ)成正方體的幾何體都可以用這種方法找球心，球心為正方體體對(duì)角線的中點(diǎn)；（2）求解本題還要知道平面ABC把正方體的體對(duì)角線三等分.【例6】（課本習(xí)題改編）在三棱錐A-BCD中，AB=CD=aAC=BD=b,AD=BC=c，則該三棱錐的外接球的表面積為D【思路分析】對(duì)棱長(zhǎng)相等的四面體可以補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖7,此時(shí)三棱錐A-BCD的外接球與長(zhǎng)方體的外接球相同，所以外接球的球

11、心剛好是長(zhǎng)方體的中心.解：把三棱錐A-BCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖7,則球心O就是長(zhǎng)方體的中心設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別x,y,z,球半徑為R，則x2y2=a2,x2zb2,y2zc2,x2y2z2-，設(shè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2a2b2cI，則I2=x2y2ab-,V2R=l,.(2R)22a2b2c222a2b2c22.22S球=4:r2=4：a-c3二（a2b2C2）.【解后歸納】（1）凡是能補(bǔ)成長(zhǎng)方體的幾何體都可以用這種方法找球心，球心為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的中點(diǎn)；（2）求解本題還要知道長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)公式三、本講總結(jié)求解外接球問(wèn)題的關(guān)鍵：找球心！找外接球球心的方法：（1）利用直角三角形斜邊的中點(diǎn)找球心；（有直角三角形時(shí)）（2）利用多邊形的外心找球心；（多邊形可